（參考答案）2024屆高二期末 圓錐曲線與方程 分類匯編

屆高二期末圓錐曲線與方程分類匯編求橢圓的標準方程1．（2023·江蘇連云港期末）經過兩點的橢圓的標準方程為______.【答案】【分析】由待定系數(shù)法求方程即可.【詳解】設橢圓為，代入兩點得，解得.故橢圓的標準方程為.故答案為：.2.（2023·江蘇灌云期末）已知橢圓方程為，點在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，若，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質可得，則橢圓方程可求.【詳解】由點在橢圓上得，由橢圓的對稱性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.3.（2023·江蘇灌南高級中學期末）已知橢圓的焦點為，且該橢圓過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓上的點滿足，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用兩點間距離公式求得P到橢圓的左右焦點的距離，然后根據(jù)橢圓的定義得到a的值，結合c的值，利用a,b,c的平方關系求得的值，再結合焦點位置，寫出橢圓的標準方程．（2）利用向量的數(shù)量積，求得點滿足的條件，再結合橢圓的方程，解得的值．【小問1詳解】設橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，因為，所以，即，又因為c=2，所以，又因為橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，所以該橢圓的標準方程為.【小問2詳解】，因為，所以，即，又，所以，即.與橢圓有關的軌跡問題1.（2023·江蘇鹽城高中期末）已知圓，為圓內一點，將圓折起使得圓周過點(如圖)，然后將紙片展開，得到一條折痕，這樣繼續(xù)下去將會得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由圖形可知結果為定值，進而根據(jù)橢圖的定義推斷出點的軌跡方程.【詳解】，，點關于折痕對稱點在圓周上，折痕為線段的垂直平分線，折痕與相交于點，如圖所示：則有，可知，所以點的軌跡是以為左、右焦點的橢圓，其中長軸，焦距，所以點的軌跡方程為，即折痕圍成輪廓的圓錐曲線的方程為.故選：A2.在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足，記的軌跡為.（1）求的方程；（2），直線過點交于，兩點.并且，求直線方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義判斷軌跡，直接得到橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)的關系及的坐標關系得解.【小問1詳解】因為,所以由橢圓的定義可知，軌跡是以點，為焦點，長軸長為的橢圓，設橢圓方程為，則，∴，又∵，則，∴橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率不為0，設直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得：，設，，則，，∵，即，∴，即，∴，，∴，且，∴，解得，∴直線方程為或.3.下列說法正確的是（）A.若動圓與圓外切，且與圓內切，則動圓的圓心的軌跡是一個完整的橢圓B.若動點到的距離是到直線的距離的，則動點的軌跡是一個完整的橢圓C.將橢圓上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t得到的曲線是一個完整的橢圓D.已知點，，直線相交于點，且它們的斜率之積是，則點的軌跡是一個完整的橢圓【答案】BC【解析】【分析】利用橢圓的定義，結合橢圓軌跡方程的求解方法一一求解即可判斷.【詳解】對A，如圖，設動圓的半徑為，根據(jù)動圓與圓外切，且與圓內切，可得，，所以，所以動圓的圓心的軌跡是一個橢圓，方程為但不包含點，因為此時動圓變成了一個點，不滿足題意，A錯誤；對B，設，根據(jù)題意可得，，整理得，，表示完整的橢圓，B正確；對C，將橢圓上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮玫奖硎就暾臋E圓，C正確；對D，設，，整理得，，但因為均存在，所以，所以不是完整的橢圓，D錯誤；故選:BC4.如圖所示，一個底面半徑為的圓柱被與其底面所成的角為的平面所截，截面是一個橢圓，則（）A.橢圓的長軸長為4B.橢圓的離心率為C.橢圓的方程可以為D.橢圓上的點到焦點的距離的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】結合圖象根據(jù)橢圓的長軸，短軸的幾何意義求橢圓的，由此判斷各選項.【詳解】設橢圓的長半軸長為，橢圓的長半軸長為，半焦距為，由圖象可得，∴，又，，∴，∴橢圓的長軸長為4，A對，橢圓的離心率為，B錯，圓的方程可以為，C對，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，D對，故選：ACD.5.已知，，，動點滿足.（1）求動點的軌跡方程；（2）設直線不經過點且與動點的軌跡相交于，兩點.若直線與直線的斜率和為.證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意可得動點的軌跡為橢圓，焦點在軸上，可得，從而可求出，進而可得動點的軌跡方程；（2）設直線與直線的斜率為，經分析直線的斜率存在，設直線，設，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關系，再結合可得，從而可求得與的關系，進而可證得結論【詳解】（1）解：由題意得，則動點的軌跡為橢圓，焦點在軸上，可設為．，，故動點的軌跡方程為．（2）證明：設直線與直線的斜率為．如果直線與軸垂直，設，由題設可得，且，可得的坐標分別為，．則，得，不符合題設．從而可設直線，將代入，得，由題意可得，設，則，而，由題意得，故，即，解得．當且僅當時，，，即，所以過定點．橢圓的幾何性質1.（2023·江蘇鎮(zhèn)江丹陽高中期末）橢圓的焦距為4，則的值為A.12 B.4 C.12或4 D.10或6【答案】C【解析】【分析】由橢圓的標準方程即可求解.【詳解】因為雙曲線的焦距為，則，由，當焦點在軸上時，即，解得，當焦點在軸上時，即，解得.故或.故選：C【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，需熟記之間的關系，屬于基礎題.2.（2023·江蘇鹽城高中期末）已知橢圓:，則橢圓的焦點坐標為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先確定焦點位置是在軸還是在軸，再由標準方程求得即可求得焦點坐標.【詳解】因為橢圓方程是，所以，所以，即，又因為橢圓焦點在軸上，所以焦點坐標為.故選：B.直線與橢圓的交點問題1.（2023·江蘇揚中第二高中期末）已知橢圓，的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與交于，兩點，的周長是13，則_____．【答案】6【解析】【分析】由題意可知為等邊三角形，為線段的垂直平分線，利用定義轉化的周長為4a，即可求出a，b，c，設的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】如圖，連接，因為的離心率為，所以，即，所以，因為，所以為等邊三角形，又，所以直線為線段的垂直平分線，所以，，則的周長為，，而，所以直線的方程為，代入橢圓的方程，得，設，，則，所以，故答案為：6.2.已知橢圓的左頂點為.橢圓的離心率為并且與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）斜率存在且不為0的直線交橢圓于，兩點（異于點），且.則直線是否恒過定點，如果過定點求出該定點坐標，若不過定點請說明理由.【答案】（1）（2）直線恒過定點.【解析】【分析】（1）由離心率的值可得的關系，將直線與橢圓聯(lián)立，由判別式為可得的值，進而求出橢圓的方程；（2）設直線的方程與橢圓聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由向量模的關系，可得，即，求出數(shù)量積的表達式，將兩根之和及兩根之積代入，可得直線恒過的定點.【小問1詳解】由題意可得，可得，所以橢圓的方程為：，即，聯(lián)立，整理可得：，由題意可得，解得，，所以橢圓的方程為：；【小問2詳解】因為，可得，即，由（1）可得，由題意設直線的方程為：，，，，聯(lián)立，整理可得：，，即，且，，所以，整理可得：，解得或（舍），即時，不論為何值都符合，所以直線的方程為，則直線恒過定點.3.如圖，已知點分別是橢圓的左右焦點，是橢圓上不同的兩點，且（），連接，且，交于點.（1）當時，求點的橫坐標；（2）若的面積為，試比較與的大小，說明理由.【答案】（1）（2），理由見解析【解析】【分析】（1）設點、的坐標，利用和點、均在橢圓上建立方程，然后解出方程即可；（2）先利用基本不等式得出（），再檢驗當時是否滿足題意，進而求出點、、的坐標，最后求出即可【小問1詳解】易知，，設點，可得：，，，可得：又點在橢圓上，可得：，，解得：故點的橫坐標為【小問2詳解】由基本不等式，可得：（）當且僅當時，取得等號，設點，，當時，可得：可得：，又點在橢圓上，可得：，解得：，或，，不妨設，，可得：可得：，同理，當，時，也有：故，可得：【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確直線、橢圓的條件；（2）強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．4.已知橢圓：，的左右焦點，是雙曲線的左右頂點，的離心率為，的離心率為，點在上，過點E和，分別作直線交橢圓于，和，點，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.【答案】（1）：；：（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，根據(jù)條件先求曲線的方程，再求曲線的方程；（2）首先設，表示直線和的斜率之積，即可求解定值；（3）首先表示直線與方程聯(lián)立消，利用韋達定理表示弦長，以及利用直線和的斜率關系，表示弦長，并證明為定值.【小問1詳解】由題設知，橢圓的離心率為解得，∴，，∵橢圓的左右焦點，是雙曲線的左右頂點，∴設雙曲線：，∴的離心率為解得.∴：，：；【小問2詳解】證明：∵點在上，∴設，則，∴.∴直線和的斜率之積為定值1；【小問3詳解】證明：設直線和的斜率分別為，，則設，，：與方程聯(lián)立消得“*”則，是“*”的二根則，則同理∴.橢圓中的焦點三角形問題1．（2023·江蘇連云港期末）已知橢圓上一點，橢圓的左?右焦點分別為，則（）A．若點的橫坐標為2，則B．的最大值為9C．若為直角，則的面積為9D．若為鈍角，則點的橫坐標的取值范圍為【答案】BCD【分析】對A，可直接解出點P坐標，求兩點距離；對B，最大值為對C，設，則，列勾股定理等式，可求面積；對D，所求點在以原點為圓心，為半徑的圓內，求出橢圓與該圓的交點橫坐標即可判斷.【詳解】橢圓的長半軸為，半焦距為，∴對A，時，代入橢圓方程得，，，A錯；對B，的最大值為，B對；對C，為直角，設，則，則有，則的面積為，C對；對D，以原點為圓心，為半徑作圓，則為圓的直徑，則點P在圓內時，為鈍角，聯(lián)立，消y得，故點的橫坐標的取值范圍為，D對.故選：BCD2.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用橢圓定義以及標準方程即可得出結果.【詳解】由題知，橢圓，則長軸，焦距，的周長為.故選：D3.（2023·江蘇揚州江都高中期末）已知是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于兩點，且，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將與橢圓的左、右焦點連接起來，由橢圓的對稱性得到一個平行四邊形，利用橢圓的定義和余弦定理，結合重要不等式可得離心率的范圍.【詳解】如圖設分別為橢圓的左、右焦點，設直線與橢圓相交于，連接.根據(jù)橢圓的對稱性可得：四邊形為平行四邊形.由橢圓的定義有：，由余弦定理有：，即所以，當且僅當時取等號，又的斜率存在，故不可能在軸上.所以等號不能成立,即即，所以，故選：A【點睛】本題考查橢圓的對稱性和焦點三角形，考查利用橢圓的定義和余弦定理、重要不等式求橢圓的離心率的范圍，屬于難題.橢圓的離心率問題1.（2023·江蘇常州第三中學期末）已知，是橢圓C：的兩個焦點，P為C上一點，且，，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，在中，利用余弦定理求得的關系，從而可得出答案.【詳解】在橢圓C：中，由橢圓的定義可得，因為，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以，所以C的離心率.故選：A.2.（2023·江蘇響水灌江高中期末）若橢圓和圓（c為橢圓的半焦距）有四個不同的交點，則橢圓的離心率的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】當圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間時，橢圓和圓有四個不同的焦點，由此列不等式，解不等式求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由于橢圓和圓有四個焦點，故圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間，即.由得，兩邊平方并化簡得，即①.由得，兩邊平方并化簡得，解得②.由①②得.故填.【點睛】本小題主要考查橢圓和圓的位置關系，考查橢圓離心率取值范圍的求法，屬于中檔題.3．（2023·江蘇連云港期末）已知點在橢圓上，為橢圓的右焦點，直線與圓相切，且（為原點），則橢圓的離心率為______.【答案】【分析】如圖，左焦點為，由幾何性質得，即可由相似求得，即可由勾股定理，及橢圓定義建立齊次式，從而求得離心率.【詳解】如圖所示，左焦點為，設圓的圓心為，切圓C于A，則半徑.∵，∴，則，∴，∴，化簡得.∴橢圓的離心率為.故答案為：.4.（2023·江蘇常州第一中學期末）橢圓焦點為，，過的最短弦PQ長為10，的周長為36，則此橢圓的離心率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：設橢圓方程為其焦點坐標為(-c,0)，由已知P、Q坐標為：M(-c,),N(-c,-)，所以，2·=10，；△PQ的周長為36|P|=|Q|==13,c=6，=+36，所以(a-9)(a+4)=0，因為a>0,所以，a=9，橢圓的離心率為，故選C．考點：本題主要考查了橢圓的標準方程、幾何性質．點評：過的最短弦PQ垂直于x軸，另外，由橢圓的對稱性，△PQ是一直角三角形．5.（2023·江蘇揚州江都高中期末）已知橢圓：與圓：，若在橢圓上不存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設過點的兩條直線與圓分別切于點，由兩條切線相互垂直，可知，由題知，解得，又即可得出結果.【詳解】設過的兩條直線與圓分別切于點，由兩條切線相互垂直，知：，又在橢圓C1上不存在點P，使得由P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，所以，即得，所以，所以橢圓C1的離心率，又，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：首先假設過P所作圓C2的兩條切線互相垂直求出，再由橢圓的有界性構造含橢圓參數(shù)的不等關系，即可求離心率范圍.6.（2023·江蘇鹽城實驗高中期末）已知橢圓，分別為它的左右焦點，點是橢圓上一個動點，下列結論中錯誤的是（）A.點到右焦點的距離的最大值為 B.焦距為C.點到原點的距離的最大值為 D.橢圓的離心率為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程可得的值，根據(jù)橢圓的幾何性質依次判斷各個選項即可.【詳解】由橢圓方程得：，，；對于A，點到右焦點距離的最大值為，A正確；對于B，焦距為，B錯誤；對于C，點到的距離的最大值為，C正確；對于D，橢圓的離心率，D正確.故選：B.7.（2023·江蘇鹽城高中期末）已知是橢圓上三個點，為坐標原點，兩點關于原點對稱，經過右焦點，若且，則該橢圓的離心率是_____．【答案】##【解析】【分析】方法一：設橢圓的左焦點為，由條件證明四邊形為矩形，設，結合橢圓的定義求，，利用勾股定理列方程可得關系由此可求離心率.方法二：設，，由可得，由可得，結合點的坐標滿足橢圓方程列方程，消元可得關系由此可求離心率.【詳解】方法一：設橢圓的半焦距為，左焦點為，則因為兩點關于原點對稱，所以，又，所以，所以四邊形為矩形，設，因為，所以，由橢圓的定義可得，，在，，，，所以，所以，故，，在中，，所以，所以，所以離心率.方法二：設橢圓的半焦距為，點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為，點的坐標為，且①，②，②×4－①可得，，因為經過右焦點，，所以，所以，故，所以，又，所以，因為，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以，所以離心率.故答案為：.【點睛】方法點睛：橢圓離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．橢圓的中點弦問題1.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，且橢圓過點，過點A作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點．（1）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由；（2）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值．【答案】（1）存在，（2）【解析】【分析】（1）先求橢圓方程，設直線l：，與橢圓方程聯(lián)立可求得B，P點坐標，由l方程可求得C點坐標，設存在定點，利用分析可得對任意恒成立，可求得定點坐標；（2）設直線OM:，與橢圓方程聯(lián)立可求得M點橫坐標，利用弦長公式整理可得，利用基本不等式可求得最小值.【小問1詳解】由題意可得，，則，則，則橢圓C的方程為，設過點A作斜率為的直線l為：，，則，聯(lián)立方程，消去y整理得，易知，可得，解得，則，，可得，假設存在定點，則，由題意可得恒成立，整理得對任意恒成立，則，解得，即.【小問2詳解】設過O點作直線l的平行線為，設，聯(lián)立方程，解得，則，又，，則，當且僅當，即時，等號成立，所以最小值為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.與橢圓有關的綜合問題1.（2023·江蘇揚州江都高中期末）已知為橢圓：的左焦點，直線：與橢圓交于，兩點，軸，垂足為，與橢圓的另一個交點為，則（

）A.的最小值為3 B.面積的最大值為C.直線的斜率為 D.為銳角【答案】BC【解析】【分析】先由橢圓與過原點直線的對稱性知，，再利用1的代換、利用基本不等式可判斷A；由直線與橢圓方程聯(lián)立，解得交點坐標，得出面積關于k的函數(shù)關系式，再求函數(shù)最值可判斷B；由對稱性，可設，則，，則可得直線的斜率與k的關系可判斷C；先由A、B對稱且與點P均在橢圓上，可得，又由C項可知，得，即，可判斷D.【詳解】對于A，設橢圓的右焦點為，連接，，則四邊形為平行四邊形，，，當且僅當時等號成立，故A錯誤；對于B，由得，，的面積，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C，設，則，，故直線的斜率，故C正確；對于D，設，直線的斜率為，直線的斜率為，則，又點和點在橢圓上，①，②，①②得，易知，則，得，，，故D錯誤.故選：BC.2.已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說明理由，【答案】（1）（2）是；【解析】【分析】（1）由離心率和焦點三角形周長可求出，結合關系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當平行于軸時，設過的直線為，聯(lián)立橢圓方程，令化簡得關于的二次方程，由韋達定理即可求解.【小問1詳解】由題可知，，解得，又，解得，故橢圓的標準方程為：；【小問2詳解】如圖所示，當平行于軸時，恰好平行于軸，，，；當不平行于軸時，設，設過點的直線為，聯(lián)立得，令得，化簡得，設，則，又，故，即.綜上所述，.3.在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知橢圓：的離心率為，橢圓上的點與點的最大距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的上、下頂點分別為，過點的直線與橢圓交于點（異于點），與軸交于點，直線與直線交于點，試探究：是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由.【答案】（1）橢圓的標準方程為；（2），理由見解析.【解析】【分析】(1)表示橢圓上的點到點的距離，求其最大值，解方程求，根據(jù)離心率及關系可求，由此可得橢圓方程；(2)由條件知可設直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程可得的坐標關系，求點的縱坐標并化簡，由此證明為定值.【小問1詳解】設橢圓的半焦距為，設點為橢圓上一點，則，，因為，所以，所以當時，取最大值，最大值為，由已知，所以，又橢圓的離心率為，所以，所以，故，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】若直線的斜率不存在，則，與已知矛盾，故設直線的方程為，令可得，故點的坐標為，聯(lián)立，消可得，，方程的判別式，設，則，因為為橢圓的上、下頂點，所以，所以直線的方程為，直線的方程為，設，聯(lián)立直線和直線的方程可得，點的縱坐標為，又，即，所以，所以，【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．4.（2023·江蘇常州第三中學期末）法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則（）A.橢圓的離心率為B.面積的最大值為C.到的左焦點的距離的最小值為D.若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則【答案】ABD【解析】【分析】由條件可得，由此可求橢圓的離心率，由此判斷A，由條件可得為圓的直徑，確定面積的表達式求其最值，由此判斷B，由條件確定的表達式求其范圍，由此判斷C，結合點差法判斷D.【詳解】依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；因為點，，都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B正確；設，的左焦點為，連接，因為，所以，又，所以，則到的左焦點的距離的最小值為，故C不正確；由直線經過坐標原點，易得點，關于原點對稱，設，，則，，，又，所以，所以，所以，故D正確故選：ABD．【點睛】橢圓的蒙日圓及其幾何性質過橢圓上任意不同兩點，作橢圓的切線，若兩切線垂直且相交于，則動點的軌跡為圓，此圓即橢圓的蒙日圓．橢圓的蒙日圓有如下性質：性質1：．性質2：平分切點弦．性質3：的最大值為，的最小值為．5.（2023·江蘇南京師范大學附中期末）已知直線與橢圓交于，兩點，若是直線上一點，為坐標原點，則下列結論正確的有（）A.橢圓的離心率B.C.D.若是橢圓的左右焦點，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程即可求離心率，從而判斷A；根據(jù)直線與橢圓相交弦長求解公式，利用“聯(lián)消判韋”即可求得長，從而判斷B；根據(jù)向量的數(shù)量積結合交點坐標關系即可判斷C；利用對稱性，結合三角形三邊關系即可得最大值，從而判斷D.【詳解】解：由橢圓知，，則，所以，故離心率，故A正確；設，則，所以，則，故，故B正確；則，所以與不垂直，故C不正確；因為是橢圓的左右焦點，所以，若是直線上一點，如圖：設關于直線對稱的點為，設，則，解得，即；則，又由三角形三邊關系可得，又，即，故D正確.故選：ABD.6．（2023·江蘇淮安期末）已知橢圓E：的離心率為，A，B為橢圓的左、右頂點，C為橢圓的上頂點，原點O到直線AC的距離為．（1）求橢圓E的方程；（2）P為橢圓上一點，直線AC與直線PB交于點Q，直線PC與x軸交于點T，設直線PB，QT的斜率分別為，，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)條件建立關于的方程組，即可求解；（2）解法一：首先設點，利用點的坐標表示直線PB的斜率，以及直線的方程，并利用直線方程聯(lián)立求得點和的坐標，代入并化簡直線的斜率，計算的值；解法二：設直線PB：，與直線方程聯(lián)立求點的坐標，并于橢圓方程聯(lián)立求點的坐標，再求直線方程，得到點的坐標，即可求直線的斜率，并計算的值.【小問1詳解】原點O到直線AC：即的距離，又，，解之得，，所以橢圓E的方程為．【小問2詳解】解法一：設，則，直線PB的斜率，因為，，，所以PC：，令得，所以，又AC：，PB：，聯(lián)立可得，直線QT的斜率，所以．解法二：因為，，，所以AC：，與PB：聯(lián)立可得，將PB：代入得，所以，則，，所以，則直線PC的斜率為，所以PC：，令得，則，所以QT斜率為，則．7.（2023·江蘇南大附中期末）已知橢圓過點，且焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過直線（不經過點交橢圓于點，，試問直線與直線的斜率之和為，求證：過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進行分類討論，根據(jù)化簡求得定點坐標.【小問1詳解】由題意可得，解得，橢圓的方程：.【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，設其方程為，且，則，所以，解得（舍去），所以直線的斜率存在.設直線的方程為，其中，聯(lián)立方程，消去得：，設，則，，所以，整理得，直線的方程為，所以直線恒過定點.【點睛】根據(jù)已知條件求解橢圓的方程，關鍵點在于列方程組來求得，要注意“隱藏條件”.求解直線過定點問題，可先設出直線方程，然后根據(jù)已知條件列方程，求得直線方程中參數(shù)的關系，從而求得定點的坐標.8.（2023·江蘇鹽城伍佑高中期末）在平面直角坐標系中，已知點，在橢圓上，且直線，的斜率之積為，則（）A.1 B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】因為點、在橢圓上得，直線，的斜率之積為得，兩邊平方化簡得，代入可得答案.【詳解】因為點，在橢圓上，所以，因為直線，的斜率之積為，所以，可得，化簡得，則.故選：A.求雙曲線的標準方程1.（2023·江蘇灌南高級中學期末）經過兩點的雙曲線的標準方程是________．【答案】【解析】【分析】設雙曲線的標準方程將點坐標代入求參數(shù)，即可確定標準方程.【詳解】令，則，可得，令，則，無解．故雙曲線的標準方程是.故答案為：.2.（2023·江蘇南京師范大學附中期末）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設雙曲線的方程為，再代點解方程即得解.【詳解】由得，所以橢圓的焦點為.設雙曲線的方程為，因為雙曲線過點，所以.所以雙曲線的方程為.故選：D求雙曲線的離心率1．（2023·江蘇淮安期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的左支上，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．7【答案】A【分析】根據(jù)題意得，，，，由余弦定理解決即可.【詳解】由雙曲線定義知，，因為，所以，，因為，，所以中，由余弦定理得，即，化簡得，所以，故選：A2.（2023·江蘇揚州高中期末）雙曲線的一條漸近線方程：，則其離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程得出與的關系，即可求解出離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程：，，雙曲線的離心率為：，故選：A.3.（2023·江蘇鹽城實驗高中期末）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.2【答案】BD【解析】【分析】由題意可得漸近線和x軸的夾角是30°或60°，所以有或，再利用可求得離心率.【詳解】∵雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，兩漸近線關于x軸對稱，∴漸近線和x軸的夾角是30°或60°.又漸近線方程為，斜率為.則或，當時，；當時，．故選：BD．4.（2023·江蘇南京師范大學附中期末）已知點為雙曲線右支上一點，分別為的左，右焦點，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點，連接,由條件可證明，說明，利用點到直線的距離求，中，根據(jù)勾股定理可得，整理為，再求雙曲線的離心率.【詳解】取的中點，連接,由條件可知，是的中點，，又，,根據(jù)雙曲線的定義可知，，直線的方程是：，即，原點到直線的距離，中，，整理為：，即，解得：，或（舍），故選：C【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，意在考查轉化和化歸，計算能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構造法：根據(jù)條件，可構造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關于的方程.5.（2023·江蘇響水清源高中期末）設，分別為雙曲線：的左?右焦點，為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】聯(lián)立與求出，進而的正切可求，得出的關系，從而進一步解出答案.【詳解】依題意得,以線段為直徑的圓的方程為,雙曲線的一條漸近線的方程為.由以及解得或不妨取,則.因為,所以,又,所以,所以,所以該雙曲線的離心率.故選：D.6.（2023·江蘇鎮(zhèn)江丹陽高中期末）已知圓的一條切線與雙曲線有兩個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圓心到直線距離等于半徑可構造方程求得切線斜率，由此可得切線方程；根據(jù)直線與雙曲線交點個數(shù)可得，根據(jù)可求得離心率取值范圍.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，則圓心到切線的距離，解得：，切線方程為；與雙曲線有兩個交點，，，即雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：D.與雙曲線有關的軌跡問題1.方程表示的曲線中，可以是（）A.雙曲線 B.橢圓 C.圓 D.拋物線【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)圓錐曲線方程的含義一一分析即可.【詳解】因為，則該曲線不表示圓，故C錯誤；若，即時，方程表示的曲線是雙曲線，故A正確；若，即時，方程表示的曲線是橢圓，故B正確；該方程為二元二次方程，則不可能表示拋物線，故D錯誤；故選：AB.2.已知以雙曲線的實軸、虛軸為兩條對角線的四邊形的面積為，且雙曲線的兩條漸近線將坐標平面四等分，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意，得到雙曲線的漸近線方程，推出，再由以實軸、虛軸為兩條對角線的四邊形面積為8，求出，即可得出結果.【詳解】因為雙曲線的兩條漸近線將坐標平面四等分，所以漸近線方程為：，因此，則實軸與虛軸相等，又以雙曲線的實軸、虛軸為兩條對角線的四邊形的面積為，則，即，因此該雙曲線的方程為.故選：B.直線與雙曲線的交點問題1．（2023·江蘇連云港期末）設為實數(shù)，已知雙曲線，直線.（1）若直線與雙曲線有且僅有一個公共點，求的值；（2）若直線與雙曲線相交于兩點，且以為直徑的圓經過坐標原點，求的值.【答案】（1）的值為（2）【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由直線與雙曲線有且僅有一個公共點列出方程即可得到結果；（2）根據(jù)題意，由直線與雙曲線相交于兩點列出方程，再由即可解得的值.【小問1詳解】，消去得當時，，成立；當時，，得綜上：的值為【小問2詳解】設由（1）知有兩個不同的實根，則，由韋達定理可得解得由題意知，即,，其中即,，將韋達定理代入得，，解得，成立.2.已知雙曲線經過點，其漸近線方程為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點的直線與曲線分別交于點和（點和都異于點），若滿足，求證：直線過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由漸近線方程和雙曲線過點，求出的值，求出雙曲線方程；（2）先考慮直線斜率存在時，設出其方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用得到或，排除不合要求的情況，求出所過定點，再考慮直線斜率不存在時，設，則，由求出或1，去掉不合要求的情況，證明出結論.【小問1詳解】由題意得：，漸近線方程為，故，故雙曲線標準方程為；【小問2詳解】當直線斜率存在時，設直線，聯(lián)立雙曲線方程得：，則要滿足，且，解得：且，設，則，，，其中，即，所以，整理得：，解得：或，當時，直線，此時過點，則兩點有一點與重合，不合題意，舍去；當時，此時直線，恒過點，滿足要求，當直線斜率不存在時，設，則，且，此時，解得：或1，因為點和都異于點，故時不合要求，舍去，故，此時直線經過點，綜上：直線過定點，定點坐標為.【點睛】處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設為），（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯(lián)系，得到有關與的等式，（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關于與的等式進行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關系，可消去變?yōu)槌?shù).由雙曲線的標準方程求幾何性質1.雙曲線的漸近線方程是_________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的求法，求得雙曲線的漸近線.【詳解】雙曲線的漸近線為，所以雙曲線的漸近線方程是.故答案為【點睛】本小題主要考查雙曲線漸近線方程的求法，屬于基礎題.2．（2023·江蘇連云港期末）設k為實數(shù)，若雙曲線的一個焦點坐標為，則k的值為（）．A．1 B． C． D．【答案】B【分析】將雙曲線方程化為標準式，由于雙曲線的一個焦點為，可得，解出即可【詳解】根據(jù)焦點坐標可判斷雙曲線焦點在縱軸上，則雙曲線化為，雙曲線的一個焦點為，，解得．故選：B．3.（2023·江蘇揚州江都高中期末）雙曲線的頂點為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，直接計算得到該雙曲線的定點.【詳解】由得，，所以，該雙曲線的頂點為.故答案為：4.（2023·江蘇揚州江都高中期末）已知，當為何值時：（1）方程表示雙曲線；（2）表示焦點在軸上的雙曲線；（3）表示焦點在軸上的雙曲線．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】根據(jù)雙曲線標準方程中的分母的正負解決即可．【小問1詳解】因為，即，方程表示雙曲線，所以，解得或；所以或；【小問2詳解】因為，即，焦點在軸上的雙曲線，則，解得，所以；【小問3詳解】因為1，即，焦點在y軸上的雙曲線，則，解得，所以.5.（2023·江蘇灌云期末）已知雙曲線經過點，并且它的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則下列結論正確的是（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線為C.若雙曲線的頂點為，則D.直線與有兩個公共點【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意解得雙曲線方程為，即可判斷ABC，聯(lián)立方程，消去得，由即可判斷D.【詳解】由題知，雙曲線，焦點在軸上，所以漸近線方程為，即，因為圓，所以圓心為，半徑為，因為雙曲線經過點，并且它的一條漸近線記為被圓所截得的弦長為，所以圓心到的距離為，所以，解得，即，所以，所以，解得，所以，即雙曲線方程為，所以雙曲線的離心率為，雙曲線的漸近線為，故A正確，B錯誤；因為雙曲線的頂點為，所以，故C正確；聯(lián)立方程，消去得，因為，所以直線與有1個公共點，故D錯誤；故選：AC6.（2023·江蘇鹽城高中期末）“黃金雙曲線”是指離心率為“黃金分割比”的倒數(shù)的雙曲線（將線段一分為二，較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值，則這個比值稱為“黃金分割比”），若黃金雙曲線的左右兩頂點分別為，虛軸上下兩端點分別為，左右焦點分別為，為雙曲線任意一條不過原點且不平行于坐標軸的弦，為的中點.設雙曲線的離心率為，則下列說法正確的有（）A.B.C.直線與雙曲線的一條漸近線垂直D.【答案】ACD【解析】【分析】對選項逐個分析判斷：對于A由黃金雙曲線的定義即可求得離心率，對于B由點差法即可得出的值，對于C分別求出直線及漸近線的斜率，求得斜率之積是否為，對于D將所給線段長度由代入，再由之間的關系化簡即可判斷.【詳解】對于A：若是黃金雙曲線，則，故A正確；對于B：設，，其中，又在雙曲線上，即兩式相減得，即，則得，故B錯誤；對于C：，漸近線得斜率，則，即，則直線與雙曲線的一條漸近線垂直，故C正確；對于D：因為，，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD.7.（2023·江蘇南大附中期末）在平面直角坐標系中，已知雙曲線，則（）A.離心率為2B.漸近線方程為C.實軸長為2D.右焦點到漸近線的距離為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程確定的值，即可一一判斷各選項，即得答案.【詳解】由雙曲線的方程可得，，，，所以，，，實軸長，離心率，所以A正確，C不正確，所以，漸近線方程為，所以B正確，因為右焦點為，不妨取漸近線，即，則到漸近線距離為，所以D正確.故選：ABD.8.（2023·江蘇揚中第二高中期末）已知雙曲線的離心率為，右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，則有A.漸近線方程為 B.漸近線方程為C. D.【答案】BC【解析】【分析】由離心率公式化簡可得漸近線方程，通過求圓心A到漸近線的距離結合直角三角形可得到的值.【詳解】雙曲線離心率為故漸近線方程為，取MN的中點P,連接AP,利用點到直線的距離公式可得,則，所以則故選BC【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，考查雙曲線的漸近線和離心率的應用，考查圓的有關性質，屬于中檔題.求雙曲線的漸近線方程1.（2023·江蘇常州第三中學期末）雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的方程即可求出雙曲線漸近線.【詳解】由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B2.（2023·江蘇秦淮科技高中期末）已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】，故，即，故漸近線方程為.【考點】本題考查雙曲線的基本性質，考查學生的化歸與轉化能力.3.（2023·江蘇秦淮科技高中期末）若圓與雙曲線:的漸近線相切,則_____;雙曲線的漸近線方程是_____.【答案】①.②.【解析】【詳解】雙曲線：的漸近線方程為圓的圓心為，半徑為,由直線和圓相切，可得，解得則漸近線方程為點睛：本題主要考查的知識點是雙曲線的簡單性質．屬于基礎題．首先求出雙曲線的漸近線方程，以及圓的圓心和半徑的值，運用直線和圓相切的條件，解方程可得，進而得到漸近線方程．4.（2023·江蘇響水灌江高中期末）雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線標準方程可知：，該雙曲線的焦點坐標為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點到漸近線的距離為：，故選：A雙曲線的離心率1.（2023·江蘇灌南高級中學期末）若雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.10【答案】A【解析】【分析】由已知設雙曲線方程為：，代入求得，計算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，設雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A2.（2023·江蘇響水灌江高中期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標原點，為雙曲線在第一象限上的點，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的定義可設，，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值．【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結合雙曲線性質可以得到，而，結合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結合，故，對三角形，用余弦定理，得到，結合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結合離心率滿足，即可得出，故選：D．3.（2023·江蘇南大附中期末）已知為雙曲線的右焦點，為的左頂點，過點且斜率為的直線與交于另一點，且垂直于軸．則的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意先求出，，再根據(jù)可得到關于，的關系式，進而即可得到雙曲線的離心率．【詳解】聯(lián)立，解得，所以，依題可得，，即，整理得，所以雙曲線的離心率為．故選：B．4.（2023·江蘇灌云期末）設為實數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為_____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線離心率公式進行求解即可【詳解】因為表示雙曲線的方程，所以有，因此，因為，所以由,，即k的取值范圍為，故答案為：.5.（2023·江蘇秦淮科技高中期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條漸近線的垂線，垂足為點，與另一漸近線交于點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意設出直線的方程，然后分別聯(lián)立直線方程求解出坐標，根據(jù)向量共線對應的縱坐標關系求解出的關系，則離心率可求.【詳解】不妨設過的直線與垂直，所以，因為，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，故選：B.【點睛】方法點睛：求解雙曲線離心率的值或范圍的常用方法：（1）根據(jù)雙曲線的方程直接求解出的值，從而求解出離心率；（2）構造關于的齊次方程，求解出的值，從而離心率可知；（3）根據(jù)離心率的定義以及雙曲線的定義求解離心率；（4）利用雙曲線及圖形的幾何性質構建關于的不等式，從而的范圍可求.6.（2023·江蘇揚州高中期末）過雙曲線（）的左焦點作直線與雙曲線交兩點，使得，若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】求出直線垂直于x軸時線段AB長，再根據(jù)這樣的直線有且僅有兩條列出不等式，求出的范圍作答.【詳解】令雙曲線半焦距為c，則，由解得，即雙曲線的通徑長為，而雙曲線實軸長為，由于過左焦點作直線與雙曲線交兩點，使得的直線有且僅有兩條，則當直線與雙曲線兩支相交時，，解得，，當直線與雙曲線左支相交于兩點時，，解得，，所以離心率的取值范圍是.故答案為：【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．求拋物線的標準方程1．（2023·江蘇淮安期末）以直線為準線的拋物線標準方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，直接寫出拋物線標準方程作答.【詳解】因為拋物線的準線是直線，則該拋物線焦點在y軸上，開口向下，其標準方程為，所以所求拋物線標準方程為.故選：C直線與拋物線的交點問題1.（2023·江蘇鎮(zhèn)江丹陽高中期末）過拋物線C：的焦點F作直線交拋物線C于A，B兩點，則（）A.的最小值為4 B.以線段為直徑的圓與y軸相切C. D.當時，直線的斜率為【答案】ACD【解析】【分析】設直線方程為并聯(lián)立拋物線方程，應用韋達定理，結合拋物線的定義及性質判斷各項的正誤.【詳解】由題設，由焦點F作直線交拋物線C于A，B兩點，設直線方程為，所以，則，而，所以，，故，，因為，故當時，A正確；以線段為直徑的圓，圓心為，即，半徑為，顯然該圓與拋物線準線相切，與y軸相交，B錯誤；由，故C正確；由，即，故，所以，則，可得或，當時，顯然不合題意；當時，如圖知：，，所以直線的斜率為，根據(jù)對稱性易知：也滿足，D正確.故選：ACD2.（2023·江蘇灌云期末）已知圓，拋物線的焦點坐標為（1）過圓外一點作直線與圓相切于點，且，求點的軌跡方程；（2）過點與圓相切的直線交拋物線于兩點，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，利用切線長的求法結合即可求解；（2）利用可得，設直線，根據(jù)相切可得，然后切線與拋物線進行聯(lián)立，利用韋達定理可得利用拋物線的焦點弦公式即可求解【小問1詳解】設點，由得，所以，即【小問2詳解】因為拋物線的焦點坐標為，所以，所以，由題意可得直線的斜率存在且不為0，設直線，即，因為直線與圓相切，所以，即，由于對稱性，不妨取直線，設，由得，所以所以，所以3.（2023·江蘇揚州高中期末）若拋物線的準線與圓相切，則___________.【答案】或0【解析】【分析】先求得拋物線的準線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得.【詳解】拋物線的準線方程為，圓的圓心為，半徑，由于圓與準線相切，所以，解得或0.故答案為：或0求拋物線的幾何性質1.（2023·江蘇灌南高級中學期末）拋物線的焦點坐標是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】變換得到，得到焦點坐標.【詳解】拋物線，即，，，故焦點坐標為.故選：D2.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標準方程可得出拋物線的焦點坐標.【詳解】由題意可知，拋物線的焦點坐標為，故選C.【點睛】本題考查拋物線焦點坐標的求解，考查計算能力，屬于基礎題.3.（2023·江蘇秦淮科技高中期末）已知拋物線的焦點為，焦點到準線的距離為4，點在拋物線上，點，則的最小值為（）A.3 B.5 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】由題可得，進而利用拋物線的定義及數(shù)形結合即得.【詳解】因為拋物線的焦點到準線的距離為4，所以，所以拋物線的方程為.因為等于點到準線的距離，所以當垂直于準線時，取得最小值，且最小值為.故選：B.4.（2023·江蘇揚州江都高中期末）試在拋物線上求一點，使其到焦點的距離與到的距離之和最小，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出拋物線焦點坐標和準線方程，將轉為點到拋物線準線的距離，由拋物線的定義，可得，轉化為求的最小值，結合圖形，即可求解.【詳解】由題意得拋物線的焦點為，準線方程為.過點作于點，由拋物線的定義可得，所以，由圖形可得，當，，三點共線時，最小，最小值為點A到準線的距離.故選：A.拋物線幾何性質的應用1．（2023·江蘇連云港期末）若拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，則點到原點的距離為（）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】設，由拋物線定義列式求得，即可依次求，即點到原點的距離.【詳解】由題得焦點坐標為，則準線方程為，設，根據(jù)拋物線定義有有，∴，∴點到原點的距離為.故選：D.2.（2023·江蘇鹽城伍佑高中期末）已知為拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于，兩點，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，結合韋達定理和拋物線的定義求解即可.【詳解】拋物線的方程為，則其焦點，設直線的方程為，由，可得：，，，根據(jù)拋物線定義，，因為，所以，所以即，解得：.故選：B.3.（2023·江蘇鹽城高中期末）在平面直角坐標系中，若是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，則________．【答案】【解析】【分析】將點的坐標代入拋物線方程，求出的值，可得出點的坐標，再利用拋物線的定義可求得.【詳解】將點的坐標代入拋物線方程可得，即點，易知點，由拋物線的定義可得.故答案為：.4.（2023·江蘇常州第三中學期末）已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，則___________.【答案】【解析】【分析】先求出拋物線標準方程，求出焦點坐標，即可求出.【詳解】因為點為拋物線上一點，所以，解得：.所以焦點.所以.故答案為：5.（2023·江蘇灌云期末）若拋物線上的點到焦點的距離為8，則點到軸的距離是（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】求出焦點坐標和準線方程，利用拋物線定義列出方程，求出點到軸的距離.【詳解】焦點坐標為，準線方程為，由拋物線定義可知：點到焦點的距離等于到準線的距離，即，解得：，即點到軸的距離是6.故選：B6.（2023·江蘇南京師范大學附中期末）設拋物線的焦點，若拋物線上一點到點的距離為6，則___.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義得，由點在拋物線上，代方程即可解決.【詳解】由題知，拋物線的焦點，拋物線上一點到點的距離為6，所以，得，所以拋物線為，所以，解得，故答案：7.（2023·江蘇鹽城伍佑高中期末）阿基米德不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學之神”的稱號.拋物線上任意兩點處的切線交于點，稱為“阿基米德三角形”.已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，拋物線在處的切線交于點，則為“阿基米德三角形”，下列結論正確的是（）A.在拋物線的準線上 B.C. D.面積的最小值為4【答案】ACD【解析】【分析】對A：根據(jù)題意利用導數(shù)求切線的方程，進而求交點坐標，結合韋達定理分析運算；對B：利用韋達定理可得，即可得結果；對C：分和兩種情況討論，分析運算可得，即可得結果；對D：根據(jù)題意可求面積，分析運算即可.【詳解】對A：拋物線焦點為，準線為.設直線的方程為，聯(lián)立方程組得，則.因為，所以，故在處切線的斜率，則直線的方程為，即，同理可得：直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，所以，故在拋物線的準線上，A正確；對B：因為，所以，則，故B錯誤；對C：當時，則直線的斜率不存在，故；當時，則直線的斜率，則，所以；綜上所述：.則，所以，C正確；對D：設的中點為，則，∴面積，當且僅當，即時等號成立，所以面積的最小值為4，D正確.故選：ACD.8.（2023·江蘇鹽城伍佑高中期末）已知拋物線的焦點F與雙曲線的右焦點重合，與的公共點為M，N，且，則的離心率是_____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)拋物線和雙曲線的對稱性可得，，且，利用雙曲線的定義可得的值，進而求解.【詳解】因為與交于點M，N，所以M，N關于x軸對稱，所以，所以．因為，所以軸.記橢圓的另一焦點為，所以，所以，所以．故答案為：.9.（2023·江蘇響水清源高中期末）已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩點，則下列結論正確的是（）A.以為直徑的圓與拋物線的準線相切B.C.D.若直線的傾斜角為，且，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦點弦性質，拋物線定義，數(shù)形結合思想解決即可.【詳解】拋物線的焦點坐標為，準線方程是，由題意知，直線的斜率一定存在，設其方程為，聯(lián)立消去得，設線段的中點，所以，所以點到準線的距離，所以以為直徑的圓與拋物線的準線相切，故A正確；由韋達定理，得，故B錯誤；，所以，故C正確；若直線的傾斜角為，且，則點在點左側，如圖，直線與準線交于點，分別表示點到準線的距離，則，設，則，又，所以，所以，故D正確.故選:ACD.10.（2023·江蘇鹽城實驗高中期末）已知拋物線過點．（1）求拋物線的標準方程；（2）過拋物線焦點作直線與拋物線交于兩點，已知線段的中點橫坐標為4，求弦的長度．【答案】（1）；（2）10.【解析】【分析】（1）把給定點的坐標代入拋物線方程，求出p值作答.（2）由（1）求出焦點，再根據(jù)給定中點橫坐標求出橫坐標和，結合拋物線定義求解作答.【小問1詳解】因為拋物線過點，則有，解得，所以拋物線的標準方程為.小問2詳解】由（1）知，拋物線的焦點，準線方程為，設點的橫坐標分別為，而線段的中點橫坐標為4，則有，因為點是過拋物線焦點的直線與拋物線的兩個交點，因此，所以弦的長度為10.12.（2023·江蘇揚州高中期末）已知為坐標原點，拋物線的方程為的焦點為，直線與交于兩點，且的中點到軸的距離為2，則下列結論正確的是（）A.的最大值為6B.的焦點坐標為C.若，則直線的方程為D.若,則面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A：利用拋