淺談數(shù)學(xué)分析中反例的幾個應(yīng)用畢業(yè)論文

學(xué)號：哈爾濱師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文題目淺談數(shù)學(xué)分析中反例的幾個應(yīng)用學(xué)生指導(dǎo)教師年級專業(yè)系別學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文開題報告論文題目淺談數(shù)學(xué)分析中反例的幾個應(yīng)用學(xué)生姓名指導(dǎo)教師年級專業(yè)學(xué)院2021年3月說明本表需在指導(dǎo)教師和有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)審查批準(zhǔn)的情況下，認(rèn)真填寫。說明課題的來源〔自擬題目或指導(dǎo)教師承當(dāng)?shù)目蒲腥蝿?wù)〕、課題研究的目的和意義、課題在國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和開展趨勢。假設(shè)課題因故變動時，應(yīng)向指導(dǎo)教師提出申請，提交題目變動論證報告。課題來源：由系論文指導(dǎo)委員會提供課題研究的目的和意義：目的：數(shù)學(xué)分析在數(shù)學(xué)研究中占有絕對的根底地位。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中，我發(fā)現(xiàn)一些抽象的概念和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交碚撟屓撕茈y理解。文章淺談了反例在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用。主要目的就是通過介紹數(shù)學(xué)分析中數(shù)列、函數(shù)、積分等的反例加深對問題的理解，并幫助初學(xué)者更深入理解有關(guān)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)，另外擴(kuò)充了用一些常見題型構(gòu)造反例解決問題。這不僅能讓初學(xué)者增加知識、拓寬思路也能提高分析問題和解決問題的能力，并且通過構(gòu)造反例培養(yǎng)發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維。意義：通過對本文的學(xué)習(xí)能讓初學(xué)者加深對知識的理解和掌握，并且反例在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用有能夠加深對正確結(jié)論的全面理解。為學(xué)者更好掌握各種理論知識和強(qiáng)化概念提供一個的強(qiáng)有力的工具。國內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及開展趨勢：縱觀數(shù)學(xué)的開展史，新思想往往都是與事實(shí)相悖的結(jié)果。而反例的應(yīng)用正是這一思想的一步步進(jìn)化。通過研究國內(nèi)外數(shù)學(xué)分析中反例的文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)：大局部都是研究，某命題的條件有悖于該命題的具體事例；某命題的結(jié)論有悖于該命題條件的具體事例；判定某一命題為虛假的特殊的具體事例。對于數(shù)學(xué)分析中的一些概念、定理、公式、和法那么的條件，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例從側(cè)面抓住本質(zhì)從而加深對知識的理解。反例思想是貫穿數(shù)學(xué)分析中的主要思想。在數(shù)學(xué)、物理等各領(lǐng)域都有著重要應(yīng)用。反例思想不僅對概念、性質(zhì)的理解有著重要作用，還對問題的研究與論證有著不可替代的作用。熟練掌握反例在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的根本要求之一。反例思想貫穿于數(shù)學(xué)分析中?？嫉臄?shù)列、函數(shù)、級數(shù)、積分等題中。說明了反例在數(shù)學(xué)分析中極其重要。課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決方法：本課題研究的主要是在數(shù)學(xué)分析中反例的幾個應(yīng)用。學(xué)生對于數(shù)學(xué)分析中抽象的概念和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交碚摾斫獾煤芾щy。反例思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用,關(guān)鍵是要針對多數(shù)定理及命題用逆向思維，并通過文章介紹的幾個反例應(yīng)用掌握反例思想。關(guān)于數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用教材和輔導(dǎo)用書都沒有做歸納和總結(jié);或者少有涉及,但是解答的不夠全面。學(xué)生學(xué)過之后,會對一些根本的概念和理論模糊不清,做題更是無從下手。在研究的過程中碰到的問題不知道應(yīng)該用什么方法來解決時，通過與同學(xué)的研究和導(dǎo)師的講解得到了問題的解決方法。在此我將通過提引數(shù)列、函數(shù)、級數(shù)等的反例進(jìn)行總體研究，并總結(jié)與歸納反例的各種技巧。引出用一些常見題型構(gòu)造反例解決問題的方法。本課題研究的主要是數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用，而學(xué)習(xí)這一思想關(guān)鍵在于從問題的反面出發(fā)，從側(cè)面抓住本質(zhì)加深對定義、性質(zhì)等的理解與運(yùn)用。課題研究起止時間和進(jìn)度安排：1.選定課題〔2021.1.10—2021.1.11〕2.收集資料,研究有關(guān)課題(2021.1.11—2021.2.28)3.完成開題報告(2021.3.1—2021.3.10)4.完成初稿(2021.3.13—2021.3.30)5．請指導(dǎo)教師指導(dǎo)完成論文(2021.4.1—2021.4.30)課題研究所需主要設(shè)備、儀器及藥品：外出調(diào)研主要單位，訪問學(xué)者姓名：指導(dǎo)教師審查意見：指導(dǎo)教師〔簽字〕年月教研室〔研究室〕評審意見：______________教研室〔研究室〕主任〔簽字〕年月院〔系〕審查意見：________________院〔系〕主任〔簽字〕年月學(xué)士學(xué)位論文題目淺談數(shù)學(xué)分析中反例的幾個應(yīng)用學(xué)生指導(dǎo)教師年級專業(yè)系別學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)2021年4月目錄摘要 1關(guān)鍵詞1第一章反例的類型11.1根本類型的反例11.2關(guān)于充分條件假言判斷的反例11.3關(guān)于必要條件的假言判斷反例21.4條件性反例2第二章反例對加深概念的理解作用22.1函數(shù)的連續(xù)性42.2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用52.3可積函數(shù)6第三章反例對掌握定理的作用63.1最值定理73.2拉格朗日中值定理8第四章數(shù)列中的反例8第五章函數(shù)中的反例9第六章級數(shù)中的反例13第七章反例的構(gòu)造方法15第八章反例在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用16參考文獻(xiàn) 17淺談數(shù)學(xué)分析中反例的幾個應(yīng)用摘要:文章對數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用進(jìn)行了全面的概括，并闡述了反例在數(shù)學(xué)分析中所起的重要作用。重點(diǎn)放在應(yīng)用反例掌握極限、收斂、可導(dǎo)、可積等概念，以及數(shù)列、函數(shù)、級數(shù)、積分等各種重要反例的應(yīng)用，難點(diǎn)是要準(zhǔn)確運(yùn)用和構(gòu)造反例解決實(shí)際問題，加深學(xué)生對概念、定理、公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。關(guān)鍵詞:極限；數(shù)列；函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；積分；級數(shù)；收斂；可導(dǎo)；可積數(shù)學(xué)分析中的反例思想的應(yīng)用占有重要地位。在微分學(xué)中用于解決的是概念間的關(guān)系問題和學(xué)習(xí)中的錯誤問題兩大問題。本文主要探討數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用，下面首先從反例的類型談起：第一章反例的類型簡單地說，數(shù)學(xué)分析中的反例就是指一種指出某命題不成立的例子。反例概念的產(chǎn)生與數(shù)學(xué)命題的結(jié)構(gòu)的密切相關(guān)，常見的反例類型有根本形式的反例，充分條件假言判斷的反例，必要條件假言判斷的反例，條件變化型反例。1.1根本形式的反例數(shù)學(xué)命題有以下四種根本形式：全稱肯定判斷、全程否認(rèn)判斷、特稱肯定判斷、特稱否認(rèn)判斷。其中全稱肯定判斷與特稱否認(rèn)判斷可以互為反例，全程否認(rèn)判斷與特稱肯定判斷也可以互為反例。例1.1“所有初等函數(shù)在定義域內(nèi)都連續(xù)，故都存在原函數(shù)，且原函數(shù)都可以用初等函數(shù)表示。〞對上述全稱肯定的判斷，可舉一個特稱否認(rèn)判斷的反例。如：在處連續(xù)，但其原函數(shù)卻不能用初等函數(shù)表示。1.2關(guān)于充分條件假言判斷的反例充分條件假言判斷是某事物情況是另一事物情況的充分條件的假言判斷，可表達(dá)為。即“有前者必有后者〞，但是“沒有前者不一定沒有后者〞，可舉反例“沒有前者卻又后者〞說明之。例1.2可導(dǎo)函數(shù)必連續(xù)，但連續(xù)函數(shù)卻不一定可導(dǎo)。如：函數(shù)有即不存在。但在處卻連續(xù)，即沒有可導(dǎo)的條件仍有連續(xù)的結(jié)論。1.3關(guān)于必要條件的假言判斷反例必要條件的假言判斷是判定某事物情況是另一種事物情況必要條件的假言判斷，可表示為“即沒有前者，就沒有后者〞，但是“有了前者，不一定有后者〞,可舉反例“有了前者，就沒有后者〞說明之。例1.3級數(shù)收斂，那么反之不然?？梢娡椱吔诹銜r級數(shù)收斂的必要條件，但通項趨近于零級數(shù)未必收斂，如的一般項—，但發(fā)散。1.4條件性反例數(shù)學(xué)命題的條件改變時，但結(jié)論不一定正確，條件變化包括條件減少，增加或改變等幾種情況，考察條件變化所引起的結(jié)論的變化，對數(shù)學(xué)科學(xué)研究和教學(xué)均有益的。例1.4羅爾定理的三個條件分別為：1)在連續(xù)2〕在可導(dǎo)3〕結(jié)論為至少存在一點(diǎn)使=0.如：條件1不滿足時，可舉反例，，此函數(shù)在除處均連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且。但羅爾定理結(jié)論不成立。條件2不滿足時，可舉反例，上連續(xù)，除外均可導(dǎo)，且，但它在不可導(dǎo)，這時羅爾定理也不成立。條件3不滿足時，可舉反例，，此函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，但，這時羅爾定理仍不成立。第二章反例對加深概念的理解作用2.1函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中一類重要函數(shù)。學(xué)生對于函數(shù)連續(xù)的局部性〔在一點(diǎn)的連續(xù)性〕的概念，理解不清楚而造成一些概念的錯誤。任何一個函數(shù)以及自變量的一個完全確定的值，假設(shè)函數(shù)反映的某一種連續(xù)過程的話，那么對應(yīng)于跟相差很小的值應(yīng)該是跟函數(shù)在點(diǎn)的值相差很小的函數(shù)值。因此，假設(shè)自變量的增量很小，那么相應(yīng)的函數(shù)增量也應(yīng)該很小。也可以說，假設(shè)自變量的增量趨于零，那么函數(shù)增量也應(yīng)該趨于零。即亦即〔*〕分析以上定義，在點(diǎn)連續(xù)需要滿足以下三個條件：〔1〕在點(diǎn)有定義〔2〕在點(diǎn)的極限存在〔3〕極限值等于函數(shù)值這三個條件是缺一不可的，下面分別用一反例說明條件的必要性。〔1〕假設(shè)在點(diǎn)沒定義，那么在點(diǎn)不連續(xù)。例2.1=在處沒定義，可知在處不連續(xù)。〔2〕在點(diǎn)的極限不存在，那么在點(diǎn)不連續(xù)。例2.2可知在處不連續(xù)?！?〕假設(shè)的極限值不等于函數(shù)值，那么在點(diǎn)不連續(xù)。例2.3可知在處不連續(xù)。為了加深對連續(xù)概念的理解，舉了一下幾個反例1)僅在一點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)例2.4只在連續(xù)2)僅在個點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)例2.5當(dāng)時，在在右側(cè)取有理數(shù)列及無理數(shù)列使于是不存在，因此是的不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)時，，當(dāng)時，是的連續(xù)點(diǎn)。在每個無理點(diǎn)連續(xù)而在每個有理點(diǎn)間斷的函數(shù)例2.6在中的無理點(diǎn)處連續(xù)、有理點(diǎn)處不連續(xù)。注：不存在于每個有理點(diǎn)處連續(xù)而無理點(diǎn)處間隔的函數(shù)。4〕是定義在上的函數(shù)，取遍與之間的任意值，是否必在上連續(xù)？有些學(xué)生的答復(fù)此題是肯定的，其實(shí)答案是否認(rèn)的。例2.7因?yàn)槿≈g的一切值，對任意，，所以取與之間的一切值，但在處不連續(xù)。2.2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1〕導(dǎo)數(shù)于某點(diǎn)大于零的可微函數(shù)，但在該點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)都不是單調(diào)的。例2.8在點(diǎn)，，但在原點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)的值都時正時負(fù)。2〕假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有極大值，在此點(diǎn)的鄰域內(nèi)不一定有在點(diǎn)的左側(cè)上升右側(cè)下降。例2.9對于且，而，在的任意小的鄰域內(nèi)都時正時負(fù)，即在的左、右兩側(cè)的任意鄰域內(nèi)都是振蕩的。2.3可積函數(shù)1〕在上可積，但不存在原函數(shù)例2.10只在間隔，其它點(diǎn)均連續(xù)，因此，在上可積，但上不存在原函數(shù)。2〕任何可積函數(shù)都是有界的，但有界不一定可積。例2.11在上有界，但不可積。3〕假設(shè)、可積，但不一定可積。例2.12，它們在任意有限閉區(qū)間上均可積，但在任意區(qū)間上不可積。第三章反例對掌握定理的作用數(shù)學(xué)分析中一些定理的條件學(xué)生易忽略從而導(dǎo)致錯誤的結(jié)論，這是通過適當(dāng)?shù)姆蠢墒菍W(xué)生加深對定理的理解。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，要求函數(shù)必須在閉區(qū)間上連續(xù)，結(jié)論才成立。以最值定理為例，假設(shè)閉區(qū)間為非閉區(qū)間，或在上不連續(xù)，那么結(jié)論不一定成立。3.1最值定理最值定理：假設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，那么在上取得最大、最小值?！?〕假設(shè)改為無界區(qū)間。例3.1=，，顯然在上連續(xù)，但在上沒有最大、最小值。〔2〕假設(shè)改為有界非閉區(qū)間。例3.2=顯然，=在上連續(xù)，但上沒有最大、最小值?！?〕在上不連續(xù)例3.3在點(diǎn)處處連續(xù)，而在處，所以在=0點(diǎn)不連續(xù)，顯然，在上無最大值。3.2拉格朗日中值定理假設(shè)閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少存在一使得〔1〕假設(shè)在開區(qū)間上連續(xù)，不一定有，使得〔1〕是成立。例3.4在間斷，在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，但不存在，使得=1〔2〕假設(shè)在開區(qū)間內(nèi)部可導(dǎo)，結(jié)論不一定成立。例3.5=在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)吃不可導(dǎo)，顯然這是〔1〕不成立。第四章數(shù)列中的反例定義1設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)，假設(shè)對任何的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時有那么稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限。假設(shè)數(shù)列沒有極限，那么稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列。例4.1判斷以下兩個論斷是否與極限的定義等價。有無窮多個，對于每個，存在當(dāng)時，有。對任意正數(shù)，無限多個，使。事實(shí)上，1和2兩個論斷都與數(shù)列極限的定義不等價。論斷1無視了的最根本屬性“任意小正數(shù)〞，例如數(shù)列：盡管有無窮多個〔如=3,4,5，〕，可以使〔這里可以是0或1〕小于每一個〔如=3,4,5，〕，但不能使比任意小的正數(shù)還要小。論斷2對任意，雖然有無窮多個，使得，但它無視了對每一個，都必須滿足，例如數(shù)列=。對任意正數(shù)，有無限多個〔只要〕，在0的鄰域內(nèi)；但在中無論從那一項開始，其后總有不含在內(nèi)的項。例：收斂數(shù)列的四那么運(yùn)算是有限定條件的，否那么可能不成立。例4.2數(shù)列和，通項分別為=，〔那么數(shù)列收斂，發(fā)散，=故其積發(fā)散。然而并不是只有收斂數(shù)列的運(yùn)算結(jié)果才是收斂的，某些發(fā)散數(shù)列經(jīng)過四那么運(yùn)算，結(jié)果也是收斂的。數(shù)列有界性僅是數(shù)列收斂的必要條件，不是充要條件，即數(shù)列有界但不一定收斂。反例數(shù)列有界，但它發(fā)散。例4.3數(shù)列與均為發(fā)散數(shù)列，通項分別為，〔〕但〔〕，因而數(shù)列收斂于零。例4.4兩個非負(fù)的發(fā)散數(shù)列，其和卻是一個收斂數(shù)列。取數(shù)列及數(shù)列顯然，這兩個數(shù)列都發(fā)散，但其對應(yīng)相加所組成的數(shù)列是它是一個收斂數(shù)列。第五章函數(shù)中的反例定義2：設(shè)為定義在上的函數(shù)，假設(shè)對任何正數(shù),都存在,使,那么稱為上的無界函數(shù)。無界函數(shù)的定義與函數(shù)趨于無窮的的定義有些相似。然而，這兩個概念有本質(zhì)上的差異。假設(shè)時，，那么在點(diǎn)的每個鄰域內(nèi)必定無界。反之，函數(shù)在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)都是無界的，但當(dāng)時，并不趨于無窮大。設(shè)=，那么對無論多大的正數(shù),總有充分接近于的點(diǎn)，使例5.1取，那么，故當(dāng)時，就有。因此，函數(shù)在的任何鄰域內(nèi)都是無界的。然而，假設(shè)取，那么當(dāng)時，，此時，即并不趨于無窮大。在研究函數(shù)性質(zhì)時，函數(shù)的定義域及值域有時用區(qū)間表示，有時又用集合表示，此時我們易產(chǎn)生這樣一種誤解，即數(shù)集的區(qū)間與集合表示是等同的。其實(shí)不然，此時可用如下反例加以澄清。例5.2設(shè)我們知道：，當(dāng)時是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，但假設(shè)，那么就不是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)了。事實(shí)上：當(dāng),那么，而，究其原因是由于集合表示k取遍所有整數(shù)的符合條件的x的全體，而間那么表示k沒取一確定的區(qū)間。因而數(shù)集的區(qū)間表示與集合表示并不完全等同。例5.3在學(xué)習(xí)無窮大量和無界量概念時。我們對：任意的,存在，時和在的某鄰域內(nèi)無界：對任意的,存在，使得，這兩個概念理解不清，對于定義的理解，我們可以得出：無窮大量是無界量，但無界量不一定是無窮大量，下面舉例說明。例5.4在的任何鄰域都是無窮的，但當(dāng)時，卻不是無窮大量。例5.5在處連續(xù)，是否存在的某鄰域，使得在該鄰域內(nèi)連續(xù)，我們構(gòu)建=，易知函數(shù)只在處連續(xù)，在其他任何地方都不連續(xù)。數(shù)學(xué)分析中的很多定理是充分而非必要條件。在說明其命題是否成立時，如果考慮一般情況很難說明，如果能舉一些反例，那么既簡單又明了，這樣我們很容易掌握。例5.6定理假設(shè)函數(shù)在a點(diǎn)出連續(xù)，那么在a點(diǎn)出也連續(xù)。要說明其逆命題是否成立，可以設(shè)函數(shù)為例。因?yàn)樵谔庍B續(xù)，而在處不續(xù)。第六章級數(shù)中的反例定義3有實(shí)數(shù)項組成的無窮級數(shù)，對于數(shù)項級數(shù)，令稱為級數(shù)的n項和。假設(shè)存在，那么稱級數(shù)為收斂的，并稱s為級數(shù)的和，記作=s在相反的情形，就稱級數(shù)為發(fā)散的。級數(shù)收斂的必要條件是。例6.1如果級數(shù)收斂，那么其局部和數(shù)列有界且。這個命題顯然是成立的，而他的逆命題卻不成立，一個發(fā)散數(shù)列，其局部和數(shù)列有界且。設(shè)為，那么，且對每一個n，都有，其中然而，由于中有無窮多個取值為0，又有無窮多個取值為1，因而并不存在，即級數(shù)發(fā)散。例6.2如果，，，，試問級數(shù)是否一定收斂？答：不一定，例如級數(shù)，雖然對任意的,，但發(fā)散。例6.3證明：任意的〔當(dāng)〕，有收斂，那么絕對收斂。分析：問題等價于：假設(shè)發(fā)散，那么至少存在一個序列〔當(dāng)〕，使得級數(shù)發(fā)散。如此，問題歸結(jié)為條件出發(fā)，構(gòu)造所需的序列的問題。證明：〔反證法〕假設(shè)，那么，,()，使得如此，對，，,使得。對，，，使得，由此我們可以得到使得，取〔當(dāng)時，〕，那么不管怎么大，只要時，恒有,“片段〞此即說明〔當(dāng)〕，使得發(fā)散，與條件矛盾。第七章反例的構(gòu)造方法7.1特例構(gòu)造法特例構(gòu)造法是利用一些典型的反例來科學(xué)的湊合，就可提出所需反例。例7.1在處連續(xù)，是否存在的鄰域，使在該鄰域內(nèi)連續(xù)。分析：答復(fù)是否認(rèn)的，如何反例。我們知道Dirichlet函數(shù)，處處不連續(xù)。例7.2，易知只在連續(xù)，在其他任何地方均不連續(xù)。7.2.性質(zhì)構(gòu)造法性質(zhì)構(gòu)造法就是根據(jù)所需反例本身的性質(zhì)和特征，用一定的技巧構(gòu)造反例的方法。例7.3Schwardz不等式：與在可積，那么〔1〕事實(shí)上與線性相關(guān)僅是〔1〕成立的充分條件?？膳e反例找兩個線性無關(guān)的函數(shù)，但滿足Schwardz不等式。例7.4上的函數(shù)，當(dāng)，〔互質(zhì)的正整數(shù)，〕時，；當(dāng)時；當(dāng)x為無理數(shù)時，=0。用積分上和和和下和容易證明在可積，且，于是有。取〔c為常數(shù)〕。那么=0。即〔1〕式等號成立。但與在上線性無關(guān)，因?yàn)椴粸槌?shù)。7.3類比構(gòu)造法:根據(jù)反例的特點(diǎn)與思維方法，在新的范圍內(nèi)構(gòu)造