專題5.4 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（九個重難點(diǎn)突破）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題5.4正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象定義域值域R周期最小正周期為奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在開區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增注意：（1）正切函數(shù)的單調(diào)性:正切函數(shù)在每一個開區(qū)間上,都是從增大到,故正切函數(shù)在每一個開區(qū)間上是增函數(shù),但不能說函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù).（2）正切函數(shù)的對稱性:由函數(shù)的奇偶性和周期性以及圖象可知,正切函數(shù)的每支圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,兩支圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,所以正切函數(shù)的對稱中心為（3）畫正切函數(shù)圖象常用“三點(diǎn)兩線法”，找三個關(guān)鍵點(diǎn),兩條平行線重難點(diǎn)1正切（型）函數(shù)的圖象問題1．函數(shù)在一個周期內(nèi)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷，【詳解】由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，圖象為A，故選：A2．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是.（填相應(yīng)序號）

【答案】④【分析】分段取絕對值，然后由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).綜上，，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知④正確.故答案為：④3．作出函數(shù)的圖象.【答案】圖見解析【分析】依題意是將在軸下方部分的圖象關(guān)于軸翻折上去，即可得到的函數(shù)圖象；【詳解】解：函數(shù)是將在軸下方部分的圖象關(guān)于軸翻折上去，所以的圖象如下所示：4．作函數(shù)的圖象.【答案】答案見解析.【分析】根據(jù)奇偶性可得答案.【詳解】先作出的圖象，因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，圖象關(guān)于軸對稱，可作出的圖象，所以的圖象如下所示：

5．畫出函數(shù)在上的簡圖．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)五點(diǎn)作圖法畫圖即可.【詳解】令，，可得，，又，所以直線是該函數(shù)圖象的一條漸近線．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．描點(diǎn)，，，，畫虛線，根據(jù)正切曲線的趨勢，畫出簡圖，如圖所示．

重難點(diǎn)2解正切不等式6．不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像和周期性直接求解.【詳解】由題意得，，得.故選：C7．若，則不等式的解集為.【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性及特殊角三角函數(shù)值直接求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且在上單調(diào)遞增，；綜上所述：的解集為.故答案為：.8．不等式的解集為．【答案】【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性列不等式即可得出.【詳解】不等式的解集為.由可得，解得，不等式的解集為故答案為：9．若，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】由，則，，又，所以，即的取值范圍是.故答案為：10．根據(jù)正切函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x值的集合：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）根據(jù)給定條件，借助正切函數(shù)的圖象性質(zhì)解不等式得解.【詳解】（1）不等式，化為，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出正切函數(shù)在上的圖象和直線，如圖：

顯然在上，滿足，由圖可知在上，使不等式成立的x的取值范圍是，所以使不等式成立的x的集合為.（2）不等式，化為，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出正切函數(shù)在上的圖象和直線，如圖：

顯然在上，滿足，由圖可知在上，使不等式成立的x的取值范圍是.所以使不等式成立的x的集合為.11．解不等式.【答案】.【分析】解出正切不等式在一個周期內(nèi)的解集，由周期性可得不等式的解集.【詳解】作出函數(shù)，的圖像，如圖所示．觀察圖像可得：在內(nèi)，滿足條件的x為，由正切函數(shù)的周期性可知，滿足不等式的x的解集為.重難點(diǎn)3正切（型）函數(shù)的定義域問題12．函數(shù)的定義域是()A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)式中真數(shù)大于零，列出不等式，從而求解.【詳解】由題意得，即，所以，，所以，，故B項(xiàng)正確.故選:B.13．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】由，，即，，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.15．函數(shù)的定義域是.【答案】【分析】由正切函數(shù)的定義域，整體思想可求得函數(shù)的定義域.【詳解】由正切函數(shù)的定義域可得，，，得，，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.16．函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)函數(shù)定義域的求法結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，且．

由圖可得，即．所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?17．求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)且.(2)且(3)(4)【分析】利用具體函數(shù)定義域的求法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以且，故的定義域?yàn)榍?（2）因?yàn)?，所以，即，所以且，故的定義域?yàn)榍?（3）因?yàn)?，令，得，故的定義域?yàn)?（4）因?yàn)?，所以，即，顯然，故的定義域?yàn)?重難點(diǎn)4正切（型）函數(shù)的周期問題18．函數(shù)是（

）A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的奇函數(shù)C．周期為的偶函數(shù) D．周期為的奇函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性確定正確答案.【詳解】由解得,的定義域是，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.，所以是偶函數(shù)，由此排除BD選項(xiàng).，所以的一個周期為，A選項(xiàng)正確.，所以不是的周期，所以C選項(xiàng)錯誤.故選：A19．函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期性求解．【詳解】的最小正周期為.故選：C.20．函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正切函數(shù)求最小正周期公式求解.【詳解】函數(shù)的最小正周期，直接利用公式，可得．故選：A21．（多選）下列函數(shù)，最小正周期為的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用三角函數(shù)的周期性求出各個選項(xiàng)的周期，即可得出結(jié)論.【詳解】對于A，因?yàn)榱?，，令，，所以的最小正周期不是；對于B，的最小正周期為，所以的最小正周期為；對于C，，則最小正周期為；對于D，的最小正周期為，則小正周期為.故選：BCD.22．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是.【答案】【分析】利用正切函數(shù)最小正周期公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期?故答案為：.23．函數(shù)的周期為．【答案】/【分析】直接根據(jù)正切函數(shù)的周期公式計(jì)算可求解.【詳解】由題意得的周期為，所以的周期為.故答案為：.重難點(diǎn)5正切（型）函數(shù)的奇偶性問題24．下列四個函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性，從而得解.【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，故A錯誤；由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，故B錯誤；由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知為偶函數(shù)，故C正確；由正切函數(shù)的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，故D錯誤；故選：C.25．已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】依題意可得，令，，即可得到是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解:，令，，于是，所以是奇函數(shù)，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.故選：B26．，若，則．【答案】0【分析】代入計(jì)算并運(yùn)用函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：0.27．已知，則“函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求出函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱所滿足的條件，和進(jìn)行比較【詳解】關(guān)于軸對稱，則關(guān)于原點(diǎn)對稱，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱是的必要不充分條件故選：B重難點(diǎn)6正切（型）函數(shù)的對稱性問題28．下列函數(shù)中，沒有對稱中心的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)圖像及性質(zhì)分別判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】的對稱中心是,A不正確;的對稱中心是,B不正確;的對稱中心是,C不正確;結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的圖像可知函數(shù)無對稱中心,D選項(xiàng)正確.故選：D.29．設(shè)函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正切函數(shù)的對稱中心得到，，再對各選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)分析即可.【詳解】根據(jù)題意得，，則，又，則，，對于A，若是的最小正周期，則，得，與矛盾，故A錯誤；對于B，由得，滿足條件，故B正確；對于C，由得，與矛盾，故C錯誤；對于D，由得，與矛盾，故D錯誤.故選：B.30．（多選）下列坐標(biāo)所表示的點(diǎn)中，是函數(shù)圖像的對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】令，求出對稱中心橫坐標(biāo)，對四個選項(xiàng)一一進(jìn)行判斷.【詳解】令，解得，A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故對稱中心為，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故對稱中心為，B正確；C選項(xiàng)，令，解得，不合要求，舍去，C錯誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故對稱中心為，D正確；故選：ABD31．已知函數(shù)，則的對稱中心為.【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心公式，結(jié)合整體法即可求解.【詳解】，所以的對稱中心為,所以的對稱中心為.故答案為：.32．“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】分別求出與的對稱中心，比較兩個中心關(guān)系.【詳解】的對稱中心為，的對稱中心為，的對稱中心不一定為的對稱中心；的對稱中心一定為的對稱中心.故選：B．重難點(diǎn)7正切（型）函數(shù)的單調(diào)性問題33．下列說法正確的是（

）A．正切函數(shù)在定義域上是增函數(shù)B．正切函數(shù)在第一、四象限是增函數(shù)C．正切函數(shù)在每一個區(qū)間上都是增函數(shù)D．正切函數(shù)在某一區(qū)間上是減函數(shù)【答案】C【分析】由正切函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，正切函數(shù)在每一個區(qū)間上都是增函數(shù)，正切函數(shù)在定義域上不單調(diào)，正切函數(shù)在第一、四象限不單調(diào)，正切函數(shù)不存在減區(qū)間，ABD錯，C對.故選：C.34．（多選）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由的范圍，求出的范圍，由題意可得，解方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，函?shù)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以.故選：BC.35．已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值集合為.（用列舉法表示）【答案】【分析】由正切函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可得，由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與周期性可得，再對的值進(jìn)行逐一驗(yàn)證即可得出答案.【詳解】由在區(qū)間上是減函數(shù)，則，且，解得因?yàn)?，所以或或或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無意義，故不成立.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故滿足題意.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故滿足題意.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無意義，故不成立.故答案為:36．已知函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，，即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，，，.故答案為：37．求函數(shù)的定義域和單調(diào)增區(qū)間.【答案】；.【分析】求正切型函數(shù)的定義域和遞增區(qū)間，首先都要把角看成整體角，再利用正切函數(shù)的定義域和遞增區(qū)間處理即可.【詳解】由函數(shù)有意義可得：，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋河钟煽傻茫?，即函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為：.38．若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】解出正切型函數(shù)單調(diào)區(qū)間，則得到的范圍.【詳解】令，，解得，，令，則其一個單調(diào)增區(qū)間為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.重難點(diǎn)8比較正切值的大小39．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由誘導(dǎo)公式得，再根據(jù)正弦函數(shù)，正切函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】，因?yàn)?，又因在上單調(diào)遞增，所以，又，在上單調(diào)遞增，所以，所以．故選：A40．.（用“”、“”或“”填空）【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，因?yàn)椋?故答案為：.41．比較下列正切值的大?。?1)與；(2)tan與tan．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及正切函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）解：由，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以，所以.（2）由，因?yàn)楹瘮?shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以，即42．比較下列各組中三角函數(shù)值的大?。?1)與；(2)與．【答案】(1)(2)【分析】由正切函數(shù)的單調(diào)性即可判斷大小.【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以；（2）因?yàn)?，，且，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.43．已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為，．【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因?yàn)?，則，即，則.不妨取，即滿足題意.故答案為：.重難點(diǎn)9正切（型）函數(shù)的值域問題44．函數(shù)且的值域是()A． B．C． D．【答案】B【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴.即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是．故選：B.45．已知在區(qū)間上的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再根據(jù)解方程即可.【詳解】因?yàn)?，即，又，所以，所以，所以，．故選：A．46．函數(shù)，的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥糠治龊瘮?shù)單調(diào)性求出值域即可.【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?47．函數(shù)在x∈[]上的最大值為4，則實(shí)數(shù)a為