新疆維吾爾自治區(qū)慕華·優(yōu)策2024屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1新疆維吾爾自治區(qū)慕華·優(yōu)策2024屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋瑒t，故.故選：B.2.已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2 C.4 D.5〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，共三個(gè)元素.故選：A.3.已知向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（）A. B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，又，故，則.故選：D.4.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：（其中），則下列說(shuō)法正確的是（）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由題意知：甲：數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，充分性：當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，其前項(xiàng)和，故充分性成立；必要性：當(dāng)時(shí)，得，，將上述兩式相減得，即，所以，，兩式相減，得，即，，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故必要性成立.綜上所述：甲是乙的充要條件，故C正確.故選：C.5.若的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由，有，令，即，故，即，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.6.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)，且，，，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，故，則有、、，又，故，又，故，則，則，，故，即，即，即，則.故選：B.7.已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意定義域?yàn)榍覇握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，所以只需，所以，當(dāng)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有極大值且為最大值，所以，故B正確.故選：B.8.在中，角的對(duì)應(yīng)邊是，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以由余弦定理可得，利用正弦定理邊化角得，因?yàn)?，所以，且，由得，所以，整理得，解得或，所以或，又，所以，所?故選：B二、多項(xiàng)選擇題9.定義在上的函數(shù)滿足，且均有，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.時(shí)，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列C.在上單調(diào)遞增D.〖答案〗ABC〖解析〗令，，則有，由，故，即，故A正確；令，，則有，即，即，又，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B正確；令，，則有，由，，故、、，則，即當(dāng)時(shí)，有恒成立，故在上單調(diào)遞增，故C正確；由數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，即，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.拋物線與圓在第一象限交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.中點(diǎn)的坐標(biāo)為C.直線方程為D.設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的斜率為2〖答案〗AC〖解析〗將代入，得，有，，又，故，有，，則，故A正確；有，則，故中點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；，故，化簡(jiǎn)得，故C正確；由，故，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.長(zhǎng)方體中，，為棱的中點(diǎn)，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.長(zhǎng)方體外接球的表面積為 B.C.到平面距離為 D.的軌跡長(zhǎng)度為〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，長(zhǎng)方體的外接球直徑為，所以，長(zhǎng)方體外接球的表面積為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，所以，，，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，且，所以，點(diǎn)到平面的距離為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，取線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離為，故點(diǎn)到平面的距離為，所以，點(diǎn)的軌跡是平面截以點(diǎn)為球心，半徑為的球所得圓，且截面圓的半徑為，因此，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，D對(duì).故選：AD.12.已知任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望，方差均存在，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，有，即表示事件“”的概率下限估計(jì)值為．現(xiàn)有隨機(jī)變量，則下列說(shuō)法正確的有（）A若，則B.C.若，則取最大值時(shí)或D.若有不低于的把握使，則的最小值為625〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，B正確；當(dāng)時(shí)，則，由，解得或，C正確；若，則，，即，由題知，，由解得，D正確.故選：BCD三、填空題13.若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗的定義域?yàn)镽，，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，所以恒成立，故，即.故〖答案〗為：14.已知一個(gè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為和，且它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的面積為，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為，解得，取該圓臺(tái)的軸截面等腰梯形，如下圖所示：分別過(guò)點(diǎn)、作、，因?yàn)?，，，所以，，所以，，因?yàn)椋?，，所以，四邊形為矩形，則，，所以，，所以，該圓臺(tái)的高為，故該圓臺(tái)的體積為.故〖答案〗為：.15.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且，定點(diǎn)，則取最大值時(shí)直線的方程為_(kāi)_____．〖答案〗或〖解析〗設(shè)點(diǎn)，由，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，且點(diǎn)在圓外，當(dāng)取最大值時(shí)即等價(jià)于過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，圓心到直線距離，解得，此時(shí)直線為，即或，故〖答案〗為：或.16.若存在正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗存在正實(shí)數(shù)滿足，不等式兩邊同除以得，令，則，即，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極大值，也是最大值，故，即，綜上，，解得，故，，故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.非零數(shù)列滿足，且．（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和．（1）證明：由，得對(duì)于恒成立，所以，即，所以，而，故，所以數(shù)列是以1為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列.（2）解：由（1）知，，即，整理得，由累乘法得，即，又，所以，則，所以.18.如圖：在四棱錐中，，，平面，，為的中點(diǎn)，，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成夾角．（1）證明：由，，故，又平面，、平面，故、，故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中軸，由題意可得、、、、，則，，，，，由為的中點(diǎn)，故，則，，則，故，故；（2）解：由（1）知、、，且、，故，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有、，即、，不妨分別取，，則可得、，則，故，即平面與平面所成夾角為.19.某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機(jī)會(huì)獲得5分，10分或20分的積分，且每次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，三次游戲?yàn)橐惠啠惠営螒蚪Y(jié)束后，計(jì)算本輪游戲總積分．（1）求某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過(guò)25分的概率（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的概率取得最大值時(shí)，求一輪游戲累計(jì)積分的數(shù)學(xué)期望．解：（1）某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過(guò)25分的情況為：①三次游戲都獲得5分；②兩次游戲獲得5分，一次游戲獲得10分；③一次游戲獲得5分，兩次游戲獲得10分；所以其概率為：.（2）依題意，記一輪游戲累計(jì)積分為，而某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的情況有分和分兩種情況，則，，記某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的概率為，則，，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；此時(shí)每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，由題意可知的所有可能取值為，，，，，，，，，，則的數(shù)學(xué)期望為.20.在銳角中，的對(duì)應(yīng)邊分別是，且．（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍．解：（1），由，故，由，故，則，由為銳角三角形，故，即，則有，，，可得，故，即；（2）由，，則，由（1）知，故，故，即.21.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為、，下頂點(diǎn)為，且橢圓過(guò)，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，直線、、斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列，試探究點(diǎn)是否在某定直線上，若存在，求出該定直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）解：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，易知點(diǎn)、，則，，因?yàn)?，則，整理可得，解得，則，因此，橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，，因?yàn)橹本€、、斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列，即，所以，，即，將，代入上述等式可得，顯然，所以，，整理可得，可得，即，即對(duì)任意的恒成立，所以，，解得或，顯然，故；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則、為橢圓短軸的端點(diǎn)，不妨設(shè)、、，其中，，，，則，滿足條件.綜上所述，點(diǎn)在定直線上.22.（1）討論的單調(diào)性；（2）記，試探究是否存在使在處取得極小值且恒成立，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，可得或，故當(dāng)，即時(shí)，恒成立，故恒成立，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，在或時(shí)小于，在時(shí)大于，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，在或時(shí)小于，在時(shí)大于，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上