2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第29講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（講）

第29講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量的加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法：①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.題型歸納題型1平面向量基本定理及其應(yīng)用【例11】（2020春?荊州期末）中，，點(diǎn)在上，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．【分析】由題意，可設(shè)，結(jié)合條件整理可得，得到關(guān)于與的方程組，解出即可．【解答】解：如圖，因?yàn)椋詣t，因?yàn)樵谏希环猎O(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，故選：．【例12】（2020春?密云區(qū)期末）如圖，在中，．若，則的值為，是上的一點(diǎn)，若，則的值為．【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用和向量共線的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：如圖：在中，．所以：，故．由于點(diǎn)、、三點(diǎn)共線．所以，則：，整理得：，故：．所以，解得．故．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020?黃州區(qū)校級(jí)三模）在中是直線上一點(diǎn)，且，若，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，畫出圖象，可知．進(jìn)而求得和的值，算出的值．【解答】解：如圖所示：．，，．．故選：．【跟蹤訓(xùn)練12】（2020春?金安區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知，，，，則A． B． C． D．【分析】由圖可得，再由，代入化簡(jiǎn)即可【解答】解：因?yàn)椋?，所以，，由圖可得，因?yàn)?，則上式可得，故選：．【跟蹤訓(xùn)練13】（2020春?運(yùn)城期末）如圖，在中，，，若，則的值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的基本定理結(jié)合向量加法的三角形分別進(jìn)行分解即可．【解答】解：由圖可得，所以，，則，故選：．【名師指導(dǎo)】平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．題型2平面向量的坐標(biāo)表示【例21】（2020?黔東南州模擬）若向量，，則A． B． C． D．【分析】把代入可得，，從而求出．【解答】解：，，，，，，，故選：．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020春?南崗區(qū)校級(jí)期末）設(shè)，則A． B． C． D．【分析】可以得出，然后帶人的坐標(biāo)，進(jìn)行向量坐標(biāo)的減法和數(shù)乘運(yùn)算即可．【解答】解：．故選：．【跟蹤訓(xùn)練22】（2020春?紹興期末）平面向量，，則A． B． C． D．【分析】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解．【解答】解：向量，，，，，．故選：．【名師指導(dǎo)】求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題的一般思路(1)向量問(wèn)題坐標(biāo)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．(2)巧借方程思想求坐標(biāo)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用．(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù)．題型3平面向量共線的坐標(biāo)表示【例31】（2020?全國(guó)Ⅰ卷模擬），為原點(diǎn)，，，則點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，由向量加法的平行四邊形法則可得，求出、的坐標(biāo)，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，中，有，又由，，則，，則，則；故選：．【例32】（2020?九江三模）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理，列方程求出的值．【解答】解：向量，，所以，；又，所以，解得．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020?廣州二模）已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為．【分析】根據(jù)題意，由向量共線的坐標(biāo)表示公式可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，若與共線，則有，解可得；故答案為：2．【跟蹤訓(xùn)練32】（2020?河南模擬）已知向量，，，若，則．【分析】根據(jù)題意，用坐標(biāo)表示出，根據(jù)兩直線平行的坐標(biāo)表示列式子計(jì)算即可得答案．【解答】解：由題，，，，，．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練33】（2020春?山西月考）已知向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則．【分析】推導(dǎo)出，，由此能求出．【解答】解：向量，，，，，，三點(diǎn)共線，，，解得．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練34】（2020春?樂(lè)山期中）已知平行四邊形的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】由平行四邊形得，根據(jù)向量相等求點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)，由