第6章《三角》教材解讀講義-高一數(shù)學(xué)（2020）3

【原卷版】正弦余弦定理及其應(yīng)用【滬教版2020】數(shù)學(xué)必修第二冊教材解讀在平面幾何中我們已經(jīng)知道，在一個三角形中，大角對大邊，但這只是一個關(guān)于邊與角之間關(guān)系的定性性質(zhì)；為了定量地刻畫三角形的邊與角之間的關(guān)系，為測量、航海及天文等方面的實際應(yīng)用提供依據(jù)，需要引入一個角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角學(xué)的基本理論；在初中，當(dāng)一個角為銳角時，已經(jīng)對有關(guān)的概念及結(jié)論做了初步的討論，并介紹了求解直角三角形的方法及其應(yīng)用；本章將拓展角的概念，并對一個任意給定的角給出其相應(yīng)的正弦、余弦、正切、余切的定義，學(xué)習(xí)使用三角恒等變換化簡三角表達(dá)式，進(jìn)一步探討三角形中邊與角之間的定量關(guān)系，從而有效地解決有關(guān)的實際問題，并為下章學(xué)習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)以及學(xué)習(xí)解析幾何、立體幾何等后續(xù)章節(jié)奠定基礎(chǔ)；【本章教材目錄】第6章三角6.1正弦、余弦、正切、余切：6.1.1銳角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4誘導(dǎo)公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角；6.2常用三角公式：6.2.1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角變換的應(yīng)用；6.3解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；【本章內(nèi)容提要】1、正弦、余弦、正切、余切弧度制：弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做弧度的角.用“弧度”作為單位來度量角的單位制稱為弧度制；扇形弧長與面積：記扇形的半徑為，圓心角為弧度，弧長為，面積為，則有，；單位圓：單位圓泛指半徑為個單位的圓．本章中，在平面直角坐標(biāo)系中，特指出以原點為圓心、以為半徑的圓為單位圓；正弦、余弦、正切及余切的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的正半軸重合，在角的終邊上任取異于原點的一點，就有，，（），（）；同角三角公式：，，，；誘導(dǎo)公式：（），，，；誘導(dǎo)公式，其規(guī)律為口訣：奇變偶不變，符號看象限.2、常用三角公式和角與差角公式：，，；倍角公式：，，；3、解三角形正弦定理：；余弦定理：，，；三角形面積公式：；【要點方法解讀】解讀點035對正弦定理的理解與推導(dǎo)1、正弦定理三角形的各邊和它所對角的正弦之比相等；即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).【說明】1、正弦定理的適用范圍是：正弦定理對任意三角形都成立．2、在△ABC中，eq\f(a,sinA)、eq\f(b,sinB)、eq\f(c,sinC)各自等于：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為三角形的外接圓半徑)．3、解斜三角形（1）解斜三角形是指由六個元素(三條邊和三個角)中的三個元素(至少有一個是邊)，求其余未知元素的過程．（2）利用正弦定理可以解決的兩類解斜三角形的問題：①已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角；②已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)；4、正弦定理的主要功能是：實現(xiàn)了三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；【典例】1、在鈍角△ABC中，證明正弦定理．2、如圖所示，銳角△ABC的外接圓O半徑為R，證明eq\f(a,sinA)＝2R.【說明】1、注意與任意角的三角比的定義溝通邊與角內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘這些聯(lián)系可以使理解更深刻，記憶更牢固；2、要證eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，只需證asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都對應(yīng)CD.初看是神來之筆，仔細(xì)體會還是有跡可循的，通過體會思維的軌跡，可以提高我們的分析解題能力；解讀點036利用正弦定理已知兩角及一邊解三角形【典例】1、在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求邊c；2、在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解這個三角形．【說明】已知三角形的兩角和任一邊解三角形的思路：1、若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對的邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角；2、若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊；解讀點037利用正弦定理已知兩邊及一邊的對角解三角形【典例】1、在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，BC＝3，AB＝eq\r(6)，則角C等于()A．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)2、在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解這個三角形；【說明】已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路：1、首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；2、如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角；3、如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論；解讀點038利用正弦定理判別三角形形狀【典例】1、在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀；2、在△ABC中，若b＝acosC，試判斷△ABC的形狀；【說明】1、判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行，既可以轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系．2、注意在邊角互化過程中，正弦定理的變形使用，如eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)等；3、由eq\f(a,sinA)＝2R，eq\f(b,sinB)＝2R，eq\f(c,sinC)＝2R可以得到哪些變形形式？這些變形形式有什么功能？【解析】(角化邊)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，(邊化角)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，(邊角互化)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.4、三角形中常見邊角之間的關(guān)系有哪些？【解析】在△ABC中，①a＋b＞c，|a－b|＜c；②a＞b?A＞B?sinA＞sinB；③A＋B＋C＝π?sin(A＋B)＝sinC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；解讀點039利用正弦定理對三角形解的個數(shù)的判斷【典例】1、滿足B＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一個，則k的取值范圍是()A．k＝8eq\r(3)B．0＜k≤12C．k≥12D．0＜k≤12或k＝8eq\r(3)2、已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答．（1）a＝10，b＝20，A＝80°；（2）a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°.【說明】對三角形解的個數(shù)的判斷已知三角形的兩角和任意一邊，求另兩邊和另一角，此時有唯一解，三角形被唯一確定．已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定，現(xiàn)以已知a，b和A解三角形為例說明圖形關(guān)系式解的個數(shù)A為銳角①a＝bsinA；②a≥b一解bsinA<a<b兩解a<bsin_A無解解讀點040利用正弦定理求三角形的面積【典例】1、在△ABC中，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面積S.2、在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積等于________．【說明】已知三角形的兩邊和夾角可求三角形的面積，三角形的面積公式為S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；解讀點041利用余弦定理已知兩邊與一角解三角形【典例】1、在△ABC中，a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，B＝45°，解這個三角形．2、在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，求角A，角C和邊a；【說明】已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理已知兩邊和一邊的對角求解；若用正弦定理求解，需對角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題在0，π上，余弦值所對角的值是唯一的，故用余弦定理求解較好；解讀點042利用余弦定理已知三邊解三角形【典例】1、在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.2、已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC的各角的大?。菊f明】1、已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一；2、若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解；解讀點043正、余弦定理的綜合應(yīng)用【典例】1、在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判斷△ABC的形狀．2、在△ABC中，若acosA＋bcosB＝ccosC，判斷△ABC的形狀．【說明】判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀；解讀點044正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用【典例】1、如圖所示，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.（1）求：cos∠CBE的值；（2）求：AE.2、如圖，在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，AC＝2eq\r(5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).（1）(1)求sin∠BAC的值；（2）設(shè)BC的中點為D，求中線AD的長；【說明】角形中幾何計算問題的解題思路1、正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運算是解題要點，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理，只需通過解三角形，一般問題便能很快解決；2、此類問題突破的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件【針對性即時練】1、在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，則c＝________.2、已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角所對的邊，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，則sinA＝________.3、在單位圓上有三點A，B，C，設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，則eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________.4、已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________________5、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.△ABC的面積為4eq\r(3)，且2bcosA＋a＝2c，a＋c＝8，則其周長為6、在△ABC中，AC＝2，BC＝2eq\r(2)，∠ACB＝135°，過點C作CD⊥AB交AB于點D；則CD＝7、在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形8、銳角△ABC中，b＝1，c＝2，則a的取值范圍是()A．1<a<3 B．1<a<5C．eq\r(3)<a<eq\r(5) D．不確定9、在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求三邊長．10、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4)；（1）求sinC的值；（2）當(dāng)a＝2,2sinA＝sinC時，求b及c的長．【解析版】正弦余弦定理及其應(yīng)用【滬教版2020】數(shù)學(xué)必修第二冊教材解讀在平面幾何中我們已經(jīng)知道，在一個三角形中，大角對大邊，但這只是一個關(guān)于邊與角之間關(guān)系的定性性質(zhì)；為了定量地刻畫三角形的邊與角之間的關(guān)系，為測量、航海及天文等方面的實際應(yīng)用提供依據(jù)，需要引入一個角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角學(xué)的基本理論；在初中，當(dāng)一個角為銳角時，已經(jīng)對有關(guān)的概念及結(jié)論做了初步的討論，并介紹了求解直角三角形的方法及其應(yīng)用；本章將拓展角的概念，并對一個任意給定的角給出其相應(yīng)的正弦、余弦、正切、余切的定義，學(xué)習(xí)使用三角恒等變換化簡三角表達(dá)式，進(jìn)一步探討三角形中邊與角之間的定量關(guān)系，從而有效地解決有關(guān)的實際問題，并為下章學(xué)習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)以及學(xué)習(xí)解析幾何、立體幾何等后續(xù)章節(jié)奠定基礎(chǔ)；【本章教材目錄】第6章三角6.1正弦、余弦、正切、余切：6.1.1銳角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4誘導(dǎo)公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角；6.2常用三角公式：6.2.1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角變換的應(yīng)用；6.3解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；【本章內(nèi)容提要】1、正弦、余弦、正切、余切弧度制：弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做弧度的角.用“弧度”作為單位來度量角的單位制稱為弧度制；扇形弧長與面積：記扇形的半徑為，圓心角為弧度，弧長為，面積為，則有，；單位圓：單位圓泛指半徑為個單位的圓．本章中，在平面直角坐標(biāo)系中，特指出以原點為圓心、以為半徑的圓為單位圓；正弦、余弦、正切及余切的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的正半軸重合，在角的終邊上任取異于原點的一點，就有，，（），（）；同角三角公式：，，，；誘導(dǎo)公式：（），，，；誘導(dǎo)公式，其規(guī)律為口訣：奇變偶不變，符號看象限.2、常用三角公式和角與差角公式：，，；倍角公式：，，；3、解三角形正弦定理：；余弦定理：，，；三角形面積公式：；【要點方法解讀】解讀點035對正弦定理的理解與推導(dǎo)1、正弦定理三角形的各邊和它所對角的正弦之比相等；即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).【說明】1、正弦定理的適用范圍是：正弦定理對任意三角形都成立．2、在△ABC中，eq\f(a,sinA)、eq\f(b,sinB)、eq\f(c,sinC)各自等于：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為三角形的外接圓半徑)．3、解斜三角形（1）解斜三角形是指由六個元素(三條邊和三個角)中的三個元素(至少有一個是邊)，求其余未知元素的過程．（2）利用正弦定理可以解決的兩類解斜三角形的問題：①已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角；②已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)；4、正弦定理的主要功能是：實現(xiàn)了三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；【典例】1、在鈍角△ABC中，證明正弦定理．【解析】如圖，過C作CD⊥AB，垂足為D，D是BA延長線上一點，根據(jù)正弦函數(shù)的定義知：eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).故eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).2、如圖所示，銳角△ABC的外接圓O半徑為R，證明eq\f(a,sinA)＝2R.【證明】連接BO并延長，交外接圓于點A′，連接A′C，則圓周角∠A′＝∠A.∵A′B為直徑，長度為2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝eq\f(BC,A′B)＝eq\f(a,2R)，∴sinA＝eq\f(a,2R)，即eq\f(a,sinA)＝2R；【說明】1、注意與任意角的三角比的定義溝通邊與角內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘這些聯(lián)系可以使理解更深刻，記憶更牢固；2、要證eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，只需證asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都對應(yīng)CD.初看是神來之筆，仔細(xì)體會還是有跡可循的，通過體會思維的軌跡，可以提高我們的分析解題能力；解讀點036利用正弦定理已知兩角及一邊解三角形【典例】1、在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求邊c；【解析】由三角形內(nèi)角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝a·eq\f(sinC,sinA)＝5·eq\f(sin105°,sin30°)＝5·eq\f(sin60°＋45°,sin30°)＝5·eq\f(sin60°cos45°＋cos60°sin45°,sin30°)＝eq\f(5,2)(eq\r(6)＋eq\r(2)).2、在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解這個三角形．【解析】因為A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得a＝eq\f(csinA,sinC)＝10×eq\f(sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).因為sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，所以b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10×sinA＋C,sin30°)＝20×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝5eq\r(2)＋5eq\r(6).【說明】已知三角形的兩角和任一邊解三角形的思路：1、若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對的邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角；2、若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊；解讀點037利用正弦定理已知兩邊及一邊的對角解三角形【典例】1、在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，BC＝3，AB＝eq\r(6)，則角C等于()A．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)【答案】C；【解析】由正弦定理，得sinC＝eq\f(sinA·AB,BC)＝eq\f(\r(2),2).因為BC＞AB，所以A＞C，則0＜C＜eq\f(π,3)，故C＝eq\f(π,4)；2、在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解這個三角形；【解析】因為eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)×sin45°,2)＝eq\f(\r(3),2)；因為0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝60°時，B＝75°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin75°,sin60°)＝eq\r(3)＋1；當(dāng)C＝120°時，B＝15°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin15°,sin120°)＝eq\r(3)－1.所以b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.【說明】已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路：1、首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；2、如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角；3、如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論；解讀點038利用正弦定理判別三角形形狀【典例】1、在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀；【提示】解決本題的關(guān)鍵是利用sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)把sin2A＝sin2B＋sin2C轉(zhuǎn)化為三角形三邊的關(guān)系，從而判定出角A，然后再利用sinA＝2sinBcosC求解；【解析】方法1：(利用角的互余關(guān)系)根據(jù)正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝eq\f(\r(2),2).∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．方法2：(利用角的互補關(guān)系)根據(jù)正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形；2、在△ABC中，若b＝acosC，試判斷△ABC的形狀；【解析】∵b＝acosC，由正弦定理，得sinB＝sinAcosC．(*)∵B＝π－(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)，從而(*)式變?yōu)閟in(A＋C)＝sinAcosC，∴cosAsinC＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，A＝eq\f(π,2)，即△ABC是直角三角形；【說明】1、判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行，既可以轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系．2、注意在邊角互化過程中，正弦定理的變形使用，如eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)等；3、由eq\f(a,sinA)＝2R，eq\f(b,sinB)＝2R，eq\f(c,sinC)＝2R可以得到哪些變形形式？這些變形形式有什么功能？【解析】(角化邊)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，(邊化角)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，(邊角互化)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.4、三角形中常見邊角之間的關(guān)系有哪些？【解析】在△ABC中，①a＋b＞c，|a－b|＜c；②a＞b?A＞B?sinA＞sinB；③A＋B＋C＝π?sin(A＋B)＝sinC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；解讀點039利用正弦定理對三角形解的個數(shù)的判斷【典例】1、滿足B＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一個，則k的取值范圍是()A．k＝8eq\r(3)B．0＜k≤12C．k≥12D．0＜k≤12或k＝8eq\r(3)【答案】D；【解析】已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，首先求出另一邊的對角的正弦值，由正弦值求角時，需對角的情況進(jìn)行討論：當(dāng)AC＜BCsinB，即12＜ksin60°，即k＞8eq\r(3)時，三角形無解；當(dāng)AC＝BCsinB，即12＝ksin60°，即k＝8eq\r(3)時，三角形有一解；當(dāng)BCsinB＜AC＜BC，即eq\f(\r(3),2)k＜12＜k，即12＜k＜8eq\r(3)時，三角形有兩解；當(dāng)0＜BC≤AC，即0＜k≤12時，三角形有一解綜上，0＜k≤12或k＝8eq\r(3)時，三角形有一解；2、已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答．（1）a＝10，b＝20，A＝80°；（2）a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°.【解析】（1）a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°，討論如下：∵bsinA＝20sin80°>20sin60°＝10eq\r(3)，∴a<bsinA，∴本題無解．（2）a＝2eq\r(3)，b＝6，a<b，A＝30°<90°，∵bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，∴bsinA<a<b，∴三角形有兩解．由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(6sin30°,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.當(dāng)B1＝60°時，C1＝90°，c1＝eq\f(asinC1,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin90°,sin30°)＝4eq\r(3)；當(dāng)B2＝120°時，C2＝30°，c2＝eq\f(asinC2,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin30°,sin30°)＝2eq\r(3).∴B1＝60°時，C1＝90°，c1＝4eq\r(3)；B2＝120°時，C2＝30°，c2＝2eq\r(3).【說明】對三角形解的個數(shù)的判斷已知三角形的兩角和任意一邊，求另兩邊和另一角，此時有唯一解，三角形被唯一確定．已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定，現(xiàn)以已知a，b和A解三角形為例說明圖形關(guān)系式解的個數(shù)A為銳角①a＝bsinA；②a≥b一解bsinA<a<b兩解a<bsin_A無解解讀點040利用正弦定理求三角形的面積【典例】1、在△ABC中，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面積S.【提示】根據(jù)C＝eq\f(π,4)及coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，利用sinA＝sin(B＋C)求出sinA的值，然后利用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)求出c值，利用S＝eq\f(1,2)acsinB求解；【解析】∵coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，∴cosB＝2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(3,5)；∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinB＝eq\f(4,5).∵C＝eq\f(π,4)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(7\r(2),10).∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2,\f(7\r(2),10))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(10,7).∴S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(10,7)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,7).2、在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積等于________．【答案】eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)；【解析】由正弦定理得sinC＝eq\f(AB·sinB,AC)＝eq\f(\r(3)×\f(1,2),1)＝eq\f(\r(3),2)，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4).]【說明】已知三角形的兩邊和夾角可求三角形的面積，三角形的面積公式為S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；解讀點041利用余弦定理已知兩邊與一角解三角形【典例】1、在△ABC中，a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，B＝45°，解這個三角形．【解析】根據(jù)余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(2eq\r(3))2＋(eq\r(6)＋eq\r(2))2－2×2eq\r(3)×(eq\r(6)＋eq\r(2))×cos45°＝8，∴b＝2eq\r(2).又∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq\f(1,2)，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°；2、在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，求角A，角C和邊a；【解析】方法1：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3eq\r(3))2－2a×3eq\r(3)×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.當(dāng)a＝3時，A＝30°，∴C＝120°.當(dāng)a＝6時，由正弦定理sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(6×\f(1,2),3)＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.方法2：由b<c，B＝30°，b>csin30°＝3eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(3\r(3),2)知本題有兩解．由正弦定理sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或120°，當(dāng)C＝60°時，A＝90°，由勾股定理a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(32＋3\r(3)2)＝6，當(dāng)C＝120°時，A＝30°，△ABC為等腰三角形，∴a＝3.【說明】已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理已知兩邊和一邊的對角求解；若用正弦定理求解，需對角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題在0，π上，余弦值所對角的值是唯一的，故用余弦定理求解較好；解讀點042利用余弦定理已知三邊解三角形【典例】1、在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.【解析】∵a>c>b，∴A為最大角，由余弦定理的推論，得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝eq\f(\r(3),2).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得：sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，∴最大角A為120°，sinC＝eq\f(5\r(3),14)；2、已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC的各角的大?。咎崾尽恳阎切稳叺谋?，可設(shè)出三邊的長，從而問題轉(zhuǎn)化為已知三邊求三角，可利用余弦定理求解；【解析】設(shè)a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k>0)，利用余弦定理，有cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6k2＋\r(3)＋12k2－4k2,2\r(6)\r(3)＋1k2)＝eq\f(\r(2),2)，∴A＝45°.同理可得cosB＝eq\f(1,2)，B＝60°.∴C＝180°－A－B＝75°；【說明】1、已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一；2、若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解；解讀點043正、余弦定理的綜合應(yīng)用【典例】1、在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判斷△ABC的形狀．【解析】方法1：(角化邊)∵(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由正、余弦定理可得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC為直角三角形或等腰三角形．方法2：(邊化角)根據(jù)正弦定理，原等式可化為：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA.∴sin2B＝sin2A.∴2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC是等腰三角形或直角三角形；2、在△ABC中，若acosA＋bcosB＝ccosC，判斷△ABC的形狀．【解析】由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知條件得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形．【說明】判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀；解讀點044正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用【典例】1、如圖所示，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.（1）求：cos∠CBE的值；（2）求：AE.【解析】（1）因為∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°.所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).（2）在△ABE中，AB＝2，由已知和(1)知∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝45°－15°＝30°，∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋15°＝105°，由正弦定理，得eq\f(AE,sin30°)＝eq\f(2,sin105°)，∴AE＝eq\f(2sin30°,sin105°)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq\r(6)－eq\r(2).2、如圖，在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，AC＝2eq\r(5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).（1）(1)求sin∠BAC的值；（2）設(shè)BC的中點為D，求中線AD的長；【提示】（1）由平方關(guān)系，可以求得sinC，再利用兩角和的正弦求得sin∠BAC；（2）由正弦定理求得BC，求得，再求得AD；【解析】（1）因為cosC＝eq\f(2\r(5),5)，且C是三角形的內(nèi)角，所以sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(\r(5),5).所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),10).（2）在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sinB)，則BC＝eq\f(AC,sinB)×sin∠BAC＝eq\f(2\r(5),\f(\r(2),2))×eq\f(3\r(10),10)＝6，所以CD＝eq\f(1,2)BC＝3.又在△ADC中，AC＝2eq\r(5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，所以由余弦定理得，AD＝eq\r(AC2＋CD2－2AC·CD·cosC)＝eq\r(20＋9－2×2\r(5)×3×\f(2\r(5),5))＝eq\r(5).【說明】角形中幾何計算問題的解題思路1、正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運算是解題要點，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理，只需通過解三角形，一般問題便能很快解決；2、此類問題突破的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件【針對性即時練】1、在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，則c＝________.【答案】eq\f(\r(2),2)；【解析】由題意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(1×sin30°,sin45°)＝eq\f(\r(2),2).2、已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角所對的邊，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，則sinA＝________.【答案】eq\f(1,2)【解析】∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，∴由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3))；∴sinA＝eq\f(1,2).3、在單位圓上有三點A，B，C，設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，則eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________.【答案】7；【解析】∵△ABC的外接圓直徑為2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝2＋1＋4＝7.4、已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________________