2024年中考數(shù)學總復習第五部分真題分類匯編第五章四邊形第2節(jié)矩形、菱形與正方形 第1課時 矩形

5.2矩形、菱形與正方形2.(2022.貴州銅仁)如圖，在矩形ABCD中，A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),則D的坐標為()A.(-2,-1)B.(4,-1)C.(-3,-2)D.(-3,-1)3.(2022·山東日照)如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E,當水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，A.27°B.53°C.57°4.(2022·山東菏澤)如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知∠ABC=36°,則∠D?ADA.48°B.66°C.7205.(2023·四川德陽)如圖，@ABCD的面積為12,AC=BD=6,AC與BD交于點0.分別過點C,D作BD,AC的平行線相交于點F,點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，則PG的最小值是()A.16.(2023·江蘇南通)如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以點B,D為圓心，線段BC,DC長為半徑畫弧，兩弧相交于點E,連接BE,DE,BD.若AB=4,BC=8,則∠ABE的正切值為()7.(2022.青海)如圖矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O,過點O的直線分別交AD和BC于點E,F,AB=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積為8.(2022.四川自貢)如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動；若EF=1,則GE+CF的最小值為9.(2022·浙江臺州)如圖，△ABC的邊BC長為4cm.將△ABC平移2cm得到△A'B'C’,且BB'⊥BC,則陰影部分的面積為cm2.10.(2022-湖南婁底)九班級融融伴隨父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖(照實物圖)比較美觀，通過手繪(如圖)、測量、計算發(fā)覺點E是AD的黃金分割點，即DE≈0.618AD.延長HF與AD相交于點G,則EG≈DE.(精確到0.001)11.(2022·吉林)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,點E是邊AD的中點，點F在對角線AC連接EF,若AC=10,則EF=13.(2022.遼寧阜新)如圖，在矩形ABCD中，E的面積是3,則△BCF的面積是14.(2023·黑龍江哈爾濱)矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,點F在矩形ABCD邊上，連接OF.若∠ADB=.15.(2022·湖北隨州)如圖1,在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E,F分別為AB,AD的中點，連接EF.如的度數(shù)為,DH的長為.圖1圖2PE⊥AC于點E,則DE的最小值為三、解答題17.(2023·黑龍江大慶)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點，連接AC,AE,延長AE,BC交于點F,連接DF,∠ACF=90°.(2)若CD=13,CF=5,求四邊形ABCE的面積.18.(2023·浙江)某數(shù)學愛好小組活動，預備將一張三角形紙片(如圖)進行如下操作，并進行猜想和證明.(1)用三角板分別取AB,AC的中點D,E,連接DE,畫AF⊥DE于點F;(2)用(1)中所畫的三塊圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移拼出一個四邊形(無縫隙無重疊),并用三角板畫出示意圖；(3)請推斷(2)中所拼的四邊形的外形，并說明理由.19.(2023·四川樂山)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,點D為AB邊上任意一點(不與點A、B重合),過點D作DEIIBC,DFIAC,分別交AC、BC于點E、F,連接EF.(1)求證：四邊形ECFD是矩形；20.(2023-新疆)如圖，AD和BC相交于點0,∠ABO=∠DCO=90°,OB=OC.中點.(2)當∠A=30°時，求證：四邊形BECF是矩形.21.(2023-湖南岳陽)如圖，點M在②ABCD的邊AD上，BM=CM,請從以下三個選項中①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4,選擇一個合適的選項作為已知條件，使園ABCD為矩形.(1)你添加的條件是(填序號):(2)添加條件后，請證明0ABCD為矩形22.(2023·北京)如圖，在BABCD中，點E,F分別在BC,AD上，BE=DF,AC=EF.(2)AE=BE,AB=2,求BC的長.23.(2022·山東威海)如圖：(1)將兩張長為8,寬為4的矩形紙片如圖1疊放.24.(2023·湖北鄂州)如圖，點E是矩形ABCD的邊BC上的一點，且AE=AD.(1)尺規(guī)作圖(請用2B鉛筆):作∠DAE的平分線AF,交BC的延長線于點F,連接DF.(保留作圖痕跡，不寫作法);(2)試推斷四邊形AEFD的外形，并說明理由.25.(2023·山東濟南)在矩形ABCD中，AB=2,AD=2√3,點E在邊BC上，將射線AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,交CD延長線于點G,以線段AE,AG為鄰邊作矩形AEFG.(1)如圖1,連接BD,求∠BDC的度數(shù)和的值；(2)如圖2,當點F在射線BD上時，求線段BE的長；(3)如圖3,當EA=EC時，在平面內(nèi)有一動點P,滿足PE=EF,連接PA,PC,求PA+PC的最小值.26.(2022·湖南益陽)如圖，矩形ABCD中，AB=15,BC=9,E是CD邊上一點(不與點C重合),作AF⊥BE備用圖1備用圖2參考答案與解析1.(2023·上海)在四邊形ABCD中【分析】結合平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定逐一分析即可.故A不符合題意故B不符合題意∵∠A=∠BD:∵AD|BC∵∠A=∠D故D不符合題意【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定等學問，嫻熟把握以上學問并機敏運用是解題的關鍵.2.(2022.貴州銅仁)如圖，在矩形ABCD中，A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),則D的坐標為()A.(-2,-1)B.(4,-1)C.(-3,-2)【分析】先依據(jù)A、B的坐標求出AB的長，則CD=AB=6,并證明ABIICDIIx軸，同理可得ADIBClly軸，由此即可得到答案.∴點D的坐標為(-3,-1),【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，矩形的性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)是解題的關鍵.3.(2022·山東日照)如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E,當水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為()A.27°B.53°C.57°D.【分析】依據(jù)題意可知AE//BF,∠EAB=∠ABF,∠ABF+27°=90°,等量代換求出∠EAB,再依據(jù)平行線的【詳解】解：如圖所示：A.48°B.66°∠D?AB,依據(jù)周角的定義求解即可.【詳解】∵將一矩形紙片沿AB折疊，【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，嫻熟把握學問點是解題的關鍵.5.(2023·四川德陽)如圖，②ABCD的面積為12,AC=BD=6,AC與BD交于點0.分別過點C,D作BD,AC的平行線相交于點F,點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，則PG的最小值是()【答案】A【分析】先證明OC=OD,四邊形OCFD是菱形，如圖，連接OF,GP,而點G是CD的中點，可得G為菱形對角線的交點，OF⊥CD,當GP⊥CF時，GP最小，再利用等面積法求解最小值即可.∴四邊形OCFD是菱形，如圖，連接OF,GP,而點G是CD的中點，∴G為菱形對角線的交點，OF⊥CD,∵OABCD即矩形ABCD的面積為12,AC=BD=6,∴GP=1,即GP的最小值為1.【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，菱形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的含義，理解題意，利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵.6.(2023-江蘇南通)如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以點B,D為圓心，線段BC,DC長為半徑畫弧，兩弧【答案】C【分析】設BE,AD交于點F,依據(jù)矩形的性質(zhì)以及以點B,D為圓心，線段BC,DC長為半徑畫弧得到△BDE=△BDC(SSS),FB=FD,設EF=x,故BF=DF=BE-EF=8-x,在Rt△EFD中求出x的值，從而得到△ABF=△EDF(SSS),從而得到∠ABE=∠ADE,即可求得答案.【詳解】解：設BE,AD交于點F,由題意得BE=BC=8,DE=DC=AB=4,7.(2022.青海)如圖矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O,過點O的直線分別交AD和BC于點E,【答案】6.【分析】首先結合矩形的性質(zhì)證明△AOE≌△COF,得△AOE、積轉(zhuǎn)化為△BCD的面積.故答案為6.【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)定理，把握三角形的判定和【答案】3v2【分析】如圖，作G關于AB的對稱點G,在CD上截取CH=1,然后連接HG交ABEF=1,此時GE+CF的值最小，可股定理求出HG的長，即可求解.【詳解】解：如圖，作G關于AB的對稱點G,在CD上截取CH=1,然后連接HG交AB于E,在EB上截∵四邊形ABCD是矩形，【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等學問，確定GE+CF最小時E,F位置是解題關鍵.9.(2022·浙江臺州)如圖，△ABC的邊BC長為4cm.將△ABC平移2cm得到△A'B'C’,且BB'⊥BC,則陰影部分的面積為cm2.【答案】8【分析】依據(jù)平移的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由平移的性質(zhì)S?ABC=SAABC,BC=B'C,BC//B'C,∴四邊形B'CCB為平行四邊形，∵陰影部分的面積=S△ABC+SBCCB-S△ABC=8(cm2).故答案為：8.【點睛】本題考查了矩形的判定和平移的性質(zhì)：①平移不轉(zhuǎn)變圖形的外形和大?。虎诮?jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等.10.(2022·湖南婁底)九班級融融伴隨父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖(照實物圖)比較美觀，通過手繪(如圖)、測量、計算發(fā)覺點E是AD的黃金分割點，即DE≈0.618AD.延長HF與AD相交于點G,則EG≈DE.(精確到0.001)【答案】0.618【分析】設每個矩形的長為x,寬為y,則DE=AD-AE=x-y,四邊形EFGM是矩形，則EG=MF=y,由DE≈0.618AD得x-y≈0.618x,求得y≈0.382x,進一步求得即可得到答案.【詳解】解：如圖，設每個矩形的長為x,寬為y,則DE=AD-AE=x-y,故答案為：0.618.【點睛】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、分式的化簡、等式的基本性質(zhì)、二元一次方程等學問，求得y=0.382x是解題的關鍵.11.(2022·吉林)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,點E是邊AD的中點，點F在對角線AC【分析】由矩形的性質(zhì)可得點F是OA的中點，從而EF是△AOD的中位線，則由三角形中位線定理即可求得EF的長.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，即點F是OA的中點.∵點E是邊AD的中點，【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理等學問，把握中位線定理是本題的關鍵.【詳解】解：設AB=1,【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，求正切，把握正確的定義是解題的關鍵.13.(2022·遼寧阜新)如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點，且AE=2DE,BD與CE相的面積是3,則△BCF的面積是【答案】27【分析】依據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)，很簡潔證明△DEFo△BCF,相像三角形之比等于對應邊比的平方，即可求出△BCF的面積.故答案為：27.【點睛】本題考查了相像三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，綜合性比較強，同學要機敏應用.把握相像三角形的面積比是相像比的平方是解題的關鍵.14.(2023·黑龍江哈爾濱)矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,點F在矩形ABCD邊上，連接OF.若∠ADB=【分析】依據(jù)題意畫出圖形，分點F在AB上和BC上兩種狀況爭辯即可求解.【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形的外角的性質(zhì)，分類爭辯是解題的關鍵.圖2,將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角0(0<θ<90°),使EF⊥AD,連接BE并延長交DF于點H,則∠BHD【分析】設EF交AD于點M,BH交AD于點N,先證明△ADF∽△ABE,可得∠ADF=∠ABE,可得∠BHD=∠BAD=90°;然后過點E作EG⊥AB于點G,可得四邊形AMEG是矩形，從而從而得到AG=ME=從而得到AG=ME=從而得到MN=從而得到MN=,進而得到DN=2,即可求解.【詳解】解：如圖，設EF交AD于點M,BH交AD于點N,即DH=2HN,【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)和判定，相像三角形的判定和性質(zhì)，熟練把握直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，相像三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.PE⊥AC于點E,則DE的最小值為_.【分析】連接CP,利用勾股定理列式求出AB,推斷出四邊形CDPE是矩形，依據(jù)矩形的對角線相等可得DE=CP,再依據(jù)垂線段最短可得CP⊥AB時，線段DE的值最小，然后依據(jù)直角三角形的面積公式列出方程求解即可.∵PD⊥BC于點D,PE⊥AC于點E,∠ACB=90°,三、解答題即可.【詳解】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，(2)過點E作EG⊥AC于點G,∴平行四邊形ABCD的面積為：30+15=45.【點睛】本題考查矩形，平行四邊形，全等三角形的學問，解題的關鍵是矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).18.(2023·浙江)某數(shù)學愛好小組活動，預備將一張三角形紙片(如圖)進行如下操作，并進行猜想和證明.(1)用三角板分別取AB,AC的中點D,E,連接DE,畫AF⊥DE于點F;(2)用(1)中所畫的三塊圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移拼出一個四邊形(無縫隙無重疊),并用三角板畫出示意圖；(3)請推斷(2)中所拼的四邊形的外形，并說明理由.(3)答案不唯一，見解析【分析】(1)依據(jù)題意畫出圖形即可；(3)方法一：先證明點M,D,E,N在同始終線上，依據(jù)DE為△ABC的中位線，得出DEIIBC且BC=2DE.證得出DN=BC且DNⅡBC,證明四邊形DBCN為平行四邊形.且MEⅡBC,得出四邊形MBCE為平行四邊形.【詳解】(1)解：如圖所示：(2)解：方法一：四邊形BCNM為所求作的四邊形圖1方法三：四邊形MBCE是所求的四邊形.圖3(3)解：方法一(圖1),圖1方法二(圖2),∴四邊形DBCN為平行四邊形.方法三(圖3),∵點D,E分別是AB,AC的中點，【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)作圖或平移作圖，平行四邊形的判定，矩形的判定，解題的關鍵嫻熟把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平移的性質(zhì).19.(2023·四川樂山)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,點D為AB邊上任意一點(不與點A、B重合),過點D作DEIBC,DFIAC,分別交AC、BC于點E、F,連接EF.(1)求證：四邊形ECFD是矩形；求點C到EF的距離.(2)先由勾股定理求出EF=√CF2+CE2=【詳解】(1)證明：∵DEIIBC,DFIIAC,2V5,再依據(jù)三角形面積公式求解即可.設點C到EF的距離為h,答：點C到EF的距離)【點睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理.嫻熟把握矩形的判定定理和利用面積法求線段中點.【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩是解題的關鍵.DM;③∠3=∠4,選擇一個合適的選項作為已知條件，使@ABCD為矩形.【分析】(1)依據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行選取；矩形.【詳解】(1)解：①或②(2)添加條件①,②ABCD為矩形，理由如下：又∵ABlCD,【點睛】本題考查矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，把握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)是解題關鍵.22.(2023·北京)如圖，在BABCD中，點E,F分別在BC,AD上，BE=DF,AC=EF.求BC的長.【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)求出AF=EC,的平行四邊形是矩形得出結論；證明四邊形AECF是平行四邊形，然后依據(jù)對角線相等(2)證明△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE=√2,【詳解】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴平行四邊形AECF是矩形；(2)解：由(1)知四邊形AECF是矩形，然后再解直角三角形求出EC即可.【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，嫻熟把握相關判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.23.(2022·山東威海)如圖：(1)將兩張長為8,寬為4的矩形紙片如圖1疊放，(2)如圖2,在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB=2V5,BC=7,CF=√5,求四邊形AGCH的面積.【分析】(1)①依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；②設AH=CG=x,利用勾股定理構建方程即可解決問題；(2)兩個矩形的對角線相等，可得出EC的長，設AH=CG=x,利用勾股定理以及邊長之間的關系可得出x的值，進而可求出面積.【詳解】(1)①∵四邊形ABCD,四邊形AECF都是矩形∴四邊形AHCG為平行四邊形∴△AEH=△CDH(AAS)②設AH=CG=x,則DH=AD-AH=8-x(2)由圖可得矩形ABCD和矩形AFCE對角線相等設AH=CG=x則HD=7-x在Rt△CDH中，CH=√DH2+DC2=√(7-x)2+20∴四邊形AGCH的面積為3×2V5=6V5.【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等學問，解題的構建方程解決問題.24.(2023·湖北鄂州)如圖，點E是矩形ABCD的邊BC上的一點，且AE=AD.(1)尺規(guī)作圖(請用2B鉛筆):作∠DAE的平分線AF,交BC的延長線于點F,連接DF.(保留作圖痕跡，不寫(2)四邊形AEFD是菱形，理由見解析【分析】(1)依據(jù)題意結合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；(2)依據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠DAF=∠AFE,結合角平分線的定義可得∠EFA=∠EAF,則AE=EF,然后依據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結論.【詳解】(1)解：如圖所示：(2)四邊形AEFD是菱形；∵ADIIEF,∴平行四邊形AEFD是菱形.【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定以及菱形的判定等學問，嫻熟把握相關判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.25.(2023·山東濟南)在矩形ABCD中，AB=2,AD=2V3,點E在邊BC上，將射線AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,交CD延長線于點G,以線段AE,AG為鄰邊作矩形AEFG.(2)如圖2,當點F在射線BD上時，求線段BE的長；(3)如圖3,當EA=EC時，在平面內(nèi)有一動點P,滿足PE=EF,連接PA,PC,求PA+PC的最小值.(3)4v3.【分析】(1)依據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠C=90°,CD=AB=2,BC=AD=2V3,進而依據(jù)正切函數(shù)得出可求出∠BDC=60°,由∠ADG=90°,求出∠DAG=∠BAE,證明△ADG~△ABE,依據(jù)相像三角形的性質(zhì)即可得出答案；(2)過點F作FM⊥CG于點M,由矩形ABCD和矩形AEFG可得，∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°,AE=GF,證明△ABE=△GMF