2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律習(xí)題思考題

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)習(xí)題2-1.質(zhì)量為的子彈以速度水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為，忽略子彈的重力，求：(1)子彈射入沙土后，速度隨時(shí)光變化的函數(shù)式；(2)子彈進(jìn)入沙土的最大深度。解：（1）由題意和牛頓第二定律可得：，分離變量，可得：兩邊同時(shí)積分，所以：（2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是v=0的時(shí)候子彈的位移，則：由可推出：，而這個(gè)式子兩邊積分就可以得到位移：。2-2.一條質(zhì)量分布勻稱的繩子，質(zhì)量為、長(zhǎng)度為，一端拴在豎直轉(zhuǎn)軸OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋轉(zhuǎn)．設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中繩子一直伸直不打彎，且忽略重力，求距轉(zhuǎn)軸為r處繩中的張力T(r)．解：在繩子中距離轉(zhuǎn)軸為r處取一小段繩子，假設(shè)其質(zhì)量為dm，可知：，分析這dm的繩子的受力情況，因?yàn)樗龅氖菆A周運(yùn)動(dòng)，所以我們可列出：。距轉(zhuǎn)軸為r處繩中的張力T(r)將提供的是r以外的繩子轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力，所以兩邊積分：2-3.已知一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到指向原點(diǎn)的引力作用，引力大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離的平方成反比，即，是比例常數(shù)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度為零，求質(zhì)點(diǎn)在處的速度的大小。解：由題意和牛頓第二定律可得：再采取分離變量法可得：，兩邊同時(shí)取積分，則：所以：2-4.一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在平面上運(yùn)動(dòng)，受到外力(SI)的作用，時(shí)，它的初速度為(SI)，求時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力.解：由題意和牛頓第二定律可得：，代入f與v，并兩邊積分，，速度是方向，也就是切向的，所以法向的力是方向的，則2-5.如圖，用質(zhì)量為的板車運(yùn)載一質(zhì)量為的木箱，車板與箱底間的摩擦系數(shù)為，車與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì)，計(jì)算拉車的力為多少才干保證木箱不致滑動(dòng)？解：按照題意，要使木箱不致于滑動(dòng)，必須使板車與木箱具有相同的加速度，所以列式：可得：2-6.如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù)為。為使木塊相對(duì)斜面靜止，求斜面加速度的范圍。解：在斜面具有不同的加速度的時(shí)候，木塊將分離具有向上和向下滑動(dòng)的趨勢(shì)，這就是加速度的兩個(gè)范圍，由題意，可得：（1）當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見圖a），列式為：可計(jì)算得到：此時(shí)的（2）當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見圖b），列式為：可計(jì)算得到：此時(shí)的所以2-7.一質(zhì)量為M、頂角為的三角形光潔物體上。放有一質(zhì)量為m的物塊，如圖所示。設(shè)各面間的摩擦力均可忽略不計(jì)。試按下列三種主意：（1）用牛頓定理及約束方程；（2）用牛頓定律及運(yùn)動(dòng)疊加原理；（3）用非慣性系中力學(xué)定律；求解三角形物塊的加速度.解：隔離物塊和斜面體，畫圖分析力，列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比喻程數(shù)多，關(guān)鍵在于，M與m的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系的，M沿地面運(yùn)動(dòng)，m沿斜面運(yùn)動(dòng)，這就是約束條件。取地面作為參考系，則m的運(yùn)動(dòng)為：（1）（2）M的運(yùn)動(dòng)方程為：（3）下面列出約束條件的方程：取M作為參考系，設(shè)m在其中的相對(duì)加速度為，在x,y方向的分量分離為與，那么：利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的公式，所以：于是：即：（4）由（1）（2）（3）（4）聯(lián)立，計(jì)算可得：2-8.圓柱形容器內(nèi)裝有一定量的液體，若它們一起繞圓柱軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試問(wèn)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面的形狀如何？解：受力分析如圖（1）（2）兩式相比當(dāng)時(shí)所以穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面是一個(gè)拋物面因?yàn)樾D(zhuǎn)后成為立體，故方程變?yōu)椤尽?-9.質(zhì)量為的物體可以在劈形物體的斜面上無(wú)摩擦滑動(dòng)，劈形物質(zhì)量為，放置在光潔的水平面上，斜面傾角為，求釋放后兩物體的加速度及它們的互相作使勁。解：隔離物塊和斜面體，分析力，列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比喻程數(shù)多，關(guān)鍵在于，m1與m2的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系的，m1沿地面運(yùn)動(dòng)，m2沿斜面運(yùn)動(dòng)，這就是約束條件。取地面作為參考系，則m2的運(yùn)動(dòng)為：（1）（2）m1的運(yùn)動(dòng)方程為：（3）下面列出約束條件的方程：取m1作為參考系，設(shè)m2在其中的相對(duì)加速度為，在x,y方向的分量分離為與，那么：利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的公式，所以：于是：即：（4）由（1）（2）（3）（4）聯(lián)立，計(jì)算可得：；；zrOzrO2-10.一小環(huán)套在光潔細(xì)桿上，細(xì)桿以傾角繞豎直軸作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，求：小環(huán)平衡時(shí)距桿端點(diǎn)的距離.解：按照題意，當(dāng)小環(huán)能平衡時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為繞Z軸的圓周運(yùn)動(dòng)，所以可列式：所以，可得：2-11.設(shè)質(zhì)量為的帶電微粒受到沿方向的電力，計(jì)算粒子在任一時(shí)刻的速度和位置，假定時(shí)，.其中為與時(shí)光無(wú)關(guān)的常數(shù)，、、、的單位分離為、、、.解：按照題意和牛頓第二定律，可列式：，收拾可得二階微分方程：。令下面分c為正負(fù)再做進(jìn)一步研究。當(dāng)，可得：一次求導(dǎo)，得到：當(dāng)，可得：一次求導(dǎo)，得到：2-12.在光潔的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為，在時(shí)，球的速率為，求任一時(shí)刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。解：在法向上有而在切向上有由上面三個(gè)式子可得思量題2-1.質(zhì)量為m的小球，放在光潔的木板和光潔的墻壁之間，并保持平衡，如圖所示．設(shè)木板和墻壁之間的夾角為，當(dāng)逐漸增大時(shí)，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓?？解：假設(shè)墻壁對(duì)小球的壓力為N1，木板對(duì)小球的壓力為N2。由受力分析圖可知：所以當(dāng)所以增大，小球?qū)δ景宓膲毫镹2將減?。煌瑫r(shí)：所以增大，小球?qū)Ρ诘膲毫σ矞p小。2-2.質(zhì)量分離為m1和m2的兩滑塊A和B通過(guò)一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為μ，系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示．如驟然撤消拉力，則剛撤消后眨眼，二者的加速度aA和aB分離為多少？解：分離對(duì)A，B舉行受力分析，由受力分析圖可知：所以2-3.如圖所示，用一斜向上的力(與水平成30°角)，將一重為G的木塊壓靠在豎直壁面上，倘若不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說(shuō)明木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù)的大小為多少？解：假設(shè)墻壁對(duì)木塊的壓力為N，由受力分析圖可知：收拾上式，并且按照題意，倘若不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說(shuō)明：即當(dāng)此式中F無(wú)論為多大，總成立，則可得：2-4.質(zhì)量分離為和的滑塊和，疊放在光潔水平桌面上，如圖所示．、間靜摩擦系數(shù)為，滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，系統(tǒng)原處于靜止．今有一水平力作用于上，要使、不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則應(yīng)取什么范圍？解：按照題意，分離對(duì)A，B舉行受力分析，要使A，B不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，必須使兩者具有相同的加速度，所以列式：可得：2-5.如圖，物體A、B質(zhì)量相同，B在光潔水平桌面上．滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計(jì)，滑輪與其軸之間的摩擦也不計(jì)．系統(tǒng)無(wú)初速地釋放，則物體A下落的加速度是多少？解：分離對(duì)A，B舉行受力分析，由受力分析圖可知：則可計(jì)算得到：2-6.如圖所示，假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是光潔的，在從A至C的下滑過(guò)程中，下面哪個(gè)說(shuō)法是準(zhǔn)確的？(A)它的加速度大小不變，方向永遠(yuǎn)指向圓心。(B)它的速率勻稱增強(qiáng)。(C)它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。(D)它的合外力大小不變。(E)軌道支持力的大小不斷增強(qiáng)。在下滑過(guò)程中，物體做圓周運(yùn)動(dòng)。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的說(shuō)法不對(duì)；速率的增強(qiáng)由重力沿切線方向的分力提供，因?yàn)榍芯€方向一直在改變，所以速率增強(qiáng)不勻稱；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也在變化。C，D的說(shuō)法都不對(duì)。下滑過(guò)程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，則E的說(shuō)法準(zhǔn)確。2-7.一小珠可在半徑為的豎直圓環(huán)上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，且圓環(huán)能以其豎直直徑為軸轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)圓環(huán)以一適當(dāng)?shù)暮愣ń撬俣绒D(zhuǎn)動(dòng)，小珠偏離圓環(huán)轉(zhuǎn)軸而且相對(duì)圓環(huán)靜止時(shí)，小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為多大？解：按照題意，當(dāng)小珠能相對(duì)于圓環(huán)平衡時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為繞Z軸的圓周運(yùn)動(dòng)，假設(shè)小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為θ，可列式：所以，可得：2-8.幾個(gè)不同傾角的光潔斜面，有共同的底邊，頂點(diǎn)也在同一豎直面上（如圖所示）．為使一物體（視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面上端由靜止滑到下端的時(shí)光最短，則斜面的傾角應(yīng)選(A)60°．(B)45°．(C)30°．(D)15°．解：按照題意，假設(shè)底邊長(zhǎng)為s，斜面的傾角為θ，可列式：當(dāng)θ=45。時(shí)，時(shí)光最短。2-9.如圖所示，小球A用輕彈簧與輕繩系??；小球B用輕繩與系住，今剪斷繩和繩，在剛剪斷的眨眼，、球的加速度量值和方向是否相同？解：不同。對(duì)于a圖，在剪斷繩子的眨眼，彈簧的伸長(zhǎng)沒(méi)有變化，所以彈簧的拉力F不變，A的加速度應(yīng)該是由重力和彈簧的拉力提供的合力T，所以：所以加速度大小為：，方向?yàn)樗椒较?。?duì)于b圖，在剪斷繩子的眨眼，繩子拉力F變化，它將提