機械工程控制基礎(chǔ)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 課件 第六章 系統(tǒng)穩(wěn)定性

機械工程控制基礎(chǔ)學(xué)習(xí)指導(dǎo)高等院校公共課系列精品教材系統(tǒng)穩(wěn)定性第六章內(nèi)容摘要01穩(wěn)定性1.系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念系統(tǒng)在受到外界干擾作用時，其被控制量yc(t)將偏離平衡位置，當(dāng)這個干擾作用去除后，若系統(tǒng)在足夠長的時間內(nèi)能夠恢復(fù)到其原來的平衡狀態(tài)或者趨于一個給定的新的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，若系統(tǒng)對干擾的瞬態(tài)響應(yīng)隨時間的推移而不斷擴大或發(fā)生持續(xù)振蕩，也就是一般所謂的“自激振動”,則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性2.判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本準則判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題可歸結(jié)為對系統(tǒng)特征方程的根的判別，即一個系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是其特征方程的所有的根都必須為負實數(shù)或為具有負實部的復(fù)數(shù)。如果在虛軸上，則系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩，其頻率w=0;如果落在右半平面，則系統(tǒng)產(chǎn)生擴散振蕩，這就是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的基本出發(fā)點。上述不穩(wěn)定區(qū)雖然包括虛軸jw,但對于虛軸上的坐標原點，應(yīng)該具體分析。當(dāng)有一個特征根在坐標原點時，系統(tǒng)達到新的平衡狀態(tài)，仍屬穩(wěn)定。當(dāng)有兩個及兩個以上特征根在坐標原點時，其瞬態(tài)響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。穩(wěn)定性3.判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法對于圖6-1所示的具有反饋環(huán)節(jié)的典型閉環(huán)控制系統(tǒng)，其輸出輸入的總傳遞函數(shù)即閉環(huán)傳遞函數(shù)為令該傳遞函數(shù)的分母等于零就得到該系統(tǒng)的特征方程，即1+G(s)H(s)=0為了判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，必須確定上式的根是否全在復(fù)平面s的左半平面。為此，可有兩種途徑：一種是直接求出所有的特征根；另一種是僅確定能保證所有的根均在s左半平面的系統(tǒng)參數(shù)的范圍而并不求出根的具體值。直接計算方程式的根的方法在方程階數(shù)較高時過于繁雜，除簡單的特征方程外，一般很少采用。對于第二種途徑，工程實際中常采用的方法有勞斯-胡爾維茨判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等。勞斯-胡爾維斯穩(wěn)定性判據(jù)1.勞斯穩(wěn)定性判據(jù)及判斷系統(tǒng)穩(wěn)定方法勞斯穩(wěn)定性判據(jù)可陳述如下：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要且充分的條件是其特征方程的全部系數(shù)符號相同，并且勞斯數(shù)列的第一列的所有各項全部為正，否則,系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果勞斯數(shù)列的第一列中發(fā)生符號變化，則其符號變化的次數(shù)就是其不穩(wěn)定根的數(shù)目。勞斯判據(jù)的計算方法如下。(1)排列勞斯表設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為式中，系數(shù)a(i=0,1,2,…,n)為實數(shù)，并且a0≠0。將上式各項系數(shù)排成如下數(shù)列：勞斯-胡爾維斯穩(wěn)定性判據(jù)1.勞斯穩(wěn)定性判據(jù)及判斷系統(tǒng)穩(wěn)定方法其中，第一行為原系數(shù)的奇數(shù)項，第二行為原系數(shù)的偶數(shù)項。從第三行開始，每一行都是由該行的上兩行計算得到。第三行ci計算公式如下：

其余各值也依次類推，一直計算到第n+1行為止，勞斯數(shù)列的完整陣列呈現(xiàn)為倒三角形。注意，在展開陣列時為了簡化其后面的數(shù)值運算，可以用一個整數(shù)去除或者乘某一整個行，這并不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。(2)根據(jù)勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定勞斯數(shù)列表中出現(xiàn)零或某一行全為零時等特殊情況的處理方法。奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)1.奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的基本原理及其參數(shù)z、p、N的意義閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是閉環(huán)特征方程的根全部在s平面的左半平面，只要有一個根在s平面的右半平面或在虛軸上，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是通過系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特圖及開環(huán)極點的位置來判斷閉環(huán)特征方程的根在s平面上的位置，從而判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。用奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：z=P-N=0

奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)式中，z表示閉環(huán)特征方程在s右半平面的特征根數(shù)；p表示開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面(不包括原點)的極點數(shù)；N表示當(dāng)自變量s沿包含虛軸及整個右半平面在內(nèi)的極大的封閉曲線順時針轉(zhuǎn)一圈時，開環(huán)奈奎斯特曲線逆時針繞點(-1,j0)轉(zhuǎn)的圈數(shù)(開環(huán)奈奎斯特曲線逆時針繞點(-1,j0)轉(zhuǎn)時N取正值；順時針繞點(-1,j0)轉(zhuǎn)時N取負值)。故用奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件又可表述為：開環(huán)奈奎斯特曲線逆時針繞點(-1,j0)轉(zhuǎn)的圈數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)時，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)p=0,即開環(huán)無極點在s右半平面時，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是開環(huán)奈奎斯特圖不包圍點(-1,j0),即N=0。1.奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的基本原理及其參數(shù)z、p、N的意義奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)①判斷P:依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)判斷開環(huán)函數(shù)在s右半平面的極點個數(shù)P。②畫出開環(huán)奈奎斯特圖：畫出變化的開環(huán)奈奎斯特曲線，其中正頻段從用實線表示,負頻段用虛線表示。正、負頻段奈奎斯特曲線封閉且關(guān)于實軸對稱。③觀察N:從奈奎斯特圖中觀察奈奎斯特曲線繞點(-1,j0)旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)N。④計算z:根據(jù)z=p-N計算z。若z=0,系統(tǒng)穩(wěn)定；若z≠0,系統(tǒng)不穩(wěn)定。2.奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)判斷各類型系統(tǒng)的穩(wěn)定性的步驟和方法系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性1.系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的基本概念及其衡量指標奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是通過研究開環(huán)傳遞函數(shù)的軌跡(奈奎斯特圖)和(-1,j0)點的關(guān)系及開環(huán)極點分布來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)開環(huán)是穩(wěn)定的，并且p=0,那么當(dāng)奈奎斯特圖不包圍(-1,j0)點，即N=0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，當(dāng)奈奎斯特圖包圍(-1,j0)點，則N≠0,則Z≠0,系統(tǒng)就不穩(wěn)定。如果奈奎斯特圖不包圍(-1,j0)點，但它與實軸交點離(-1,j0)點很近的話，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性就很差，系統(tǒng)參數(shù)稍有變化，系統(tǒng)可能就變得不穩(wěn)定。相反，如果這個距離很大，則穩(wěn)定程度就很大。

系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性2.相位裕量和幅值裕量的表示方法及計算在開環(huán)奈奎斯特圖上，從原點到奈奎斯特圖與單位圓的交點連一條直線，該直線與負實軸的夾角，就是相位裕量Y。而該直線與單位圓交點的頻率稱為幅值穿越頻率或剪切頻率。相位裕量γ可表示為式中，φ(Wc)表示奈奎斯特圖與單位圓交點頻率a.上的相位角，一般為負值(對于最小相位系統(tǒng))。當(dāng)γ>0°時，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)γ<0°時，系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性2.相位裕量和幅值裕量的表示方法及計算在開環(huán)奈奎斯特圖(見圖6-2)上，奈奎斯特圖與負實軸交點處幅值的倒數(shù)，稱為幅值裕量Kg.而奈奎斯特圖與負實軸交點處的頻率Wg稱為相位穿越頻率。幅值裕量Kg可表示為。系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性2.相位裕量和幅值裕量的表示方法及計算在伯德圖上，幅值裕量取分貝為單位，則

,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。K8一般取8～20(dB)為宜，圖6-2(a)和(b)分別表示在奈奎斯特圖1/K?<1及1/Kg>1的情況。前者表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的，后者表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性2.相位裕量和幅值裕量的表示方法及計算γ和Kg在伯德圖上相應(yīng)的表示如圖6-3(a)和(b)所示，奈奎斯特圖上的單位圓對應(yīng)于伯德圖上的OdB線。圖6-3(a)中幅頻特性穿越OdB時，對應(yīng)于相頻特性上的Y在-180°線以上，γ>0°,相頻特性和-180°線交點對應(yīng)于幅頻特性上的Kg(dB)在OdB線以下，即K?>0dB,故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖6-3(b)則相反，y<0°,Kg<0dB,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性用相位裕量和幅值裕量來衡量系統(tǒng)穩(wěn)定性時應(yīng)注意的幾個問題：①當(dāng)γ>0°,Kg>0dB時，系統(tǒng)穩(wěn)定，這是針對最小相位系統(tǒng)而言，對于非最小相位系統(tǒng)不適用。②衡量一個系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時給出相位裕量和幅值裕量。③適當(dāng)?shù)剡x擇相位裕量和幅值裕量，可以防止系統(tǒng)中參數(shù)變化導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。一般取γ=30°~60°,Kg=8～20dB。

④對于最小相位系統(tǒng)，開環(huán)的幅頻特性和相頻特性有一定的關(guān)系，要求系統(tǒng)具有30°~60°的相位裕量，即意味著幅頻特性圖在穿越頻率。處的斜率應(yīng)大于-40dB/dec。為保持系統(tǒng)穩(wěn)定，在Wc處應(yīng)以-20dB/dec穿越，因為斜率為-20dB/dec穿越時，對應(yīng)的相位角在-90°左右。考慮到還有其他因素的影響，可以滿足y=30°~60°。⑤分析一階和二階系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，其相位裕量總大于零，而其幅值裕量為無窮大，因此理論上一階和二階系統(tǒng)不可能不穩(wěn)定。但是實際上某些一階和二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本身是在忽略了一些次要因素之后建立的，實際系統(tǒng)常常是高階的，其幅值裕量不可能為無窮大，因此系統(tǒng)參數(shù)變化時，如開環(huán)增益太大，這些系統(tǒng)仍有可能不穩(wěn)定。系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為一般