2023-2024學(xué)年湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=1+i+A.0 B.1 C.2 D.2.已知集合A={x∈Z|?A.{?1,0,1,2}3.已知橢圓x225+y216=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，斜率不為0的直線l過(guò)點(diǎn)FA.10 B.16 C.20 D.254.若A，B是相互獨(dú)立事件，但不是互斥事件，則事件A∪B的概率是(

)A.P(A)+P(B) 5.如圖，這是一半徑為4.8m的水輪示意圖，水輪圓心O距離水面2.4m，已知水輪每60s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，若當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮出時(shí)(圖中點(diǎn)P0)

A.點(diǎn)P距離水面的高度h(m)與t(s)之間的函數(shù)關(guān)系式為h=4.8sin(π30t?π6)

B.點(diǎn)6.已知光線從點(diǎn)A(?2,1)射出，經(jīng)直線2A.x?3y?1=0 B.7.在平行四邊形ABCD中，∠DAC=90°，AB=2，BC=A.35 B.24 C.8.如圖，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F1A.52 B.72 C.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列選項(xiàng)正確的有(

)A.若x>1，則x+4x+1有最小值3 B.若x∈R，則2xx2+110.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P在線段AB1(A.AP⊥BD1

B.AP與GH所成角的余弦值是36

C.P11.已知拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上兩點(diǎn)，點(diǎn)PA.E的準(zhǔn)線方程為x=?1

B.若|AF|+|BF|=8，則線段AB的中點(diǎn)到x12.已知平面內(nèi)一點(diǎn)M在圓C：x2+y2+8x+8y+31=0上，分別過(guò)定點(diǎn)A，B的兩條直線lA.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是除去點(diǎn)(?3,0)的一個(gè)圓

B.PA+2PB的最大值是56

C.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.函數(shù)y=ln(2x14.已知數(shù)列{an}滿足an+1=15.已知雙曲線C：x22?y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線l交雙曲線C于16.如圖，在△ABC中，AC=22,BC=6,C=π4，過(guò)AC的中點(diǎn)M的動(dòng)直線l與線段AB交于點(diǎn)N，將△A四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

2023年12月21日，第十四屆學(xué)校文化論壇在某市舉行，志愿者的服務(wù)工作是會(huì)議舉辦的重要保障.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名志愿者候選人的面試成績(jī)，并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95].繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)求18.(本小題12分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)，點(diǎn)M(1,2)在C上．

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)F是C的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l219.(本小題12分)

在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知sinA?sinB3a?20.(本小題12分)

已知在非零數(shù)列{an}中，a1=1，an?an?1=?12anan?1(n≥2,n∈N*)21.(本小題12分)

在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，AB=AP=2，PC=22，且PA⊥AB，E為BC的中點(diǎn)，22.(本小題12分)

已知?jiǎng)訄AT過(guò)定點(diǎn)E(?1,0)，且在定圓C：(x?1)2+y2=16的內(nèi)部與其內(nèi)切．

(1)求動(dòng)圓圓心T的軌跡方程．

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P答案和解析1.【答案】A

【解析】解：i+i2+i3+i4=0，i4=1，

則i4n+2.【答案】C

【解析】解：集合A={x∈Z|?1≤x<2}={?3.【答案】C

【解析】解：由題意得a=5，由橢圓定義可得

△ABF2周長(zhǎng)：C=AB+AF2+BF2

=AF4.【答案】D

【解析】解：A，B是相互獨(dú)立事件，但不是互斥事件，

則事件A∪B的概率是：

P(A∪B)=P(A)+P(B)?P5.【答案】D

【解析】解：設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度為h和t的函數(shù)解析式為h=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)，

由題意知，A=4.8，B=2.4，T=60，所以ω=2πT=π30，

所以h=4.8sin(π30t+φ)+2.4，

當(dāng)t=0時(shí)，h=0，所以4.8sinφ+2.4=0，解得sinφ=6.【答案】B

【解析】解：設(shè)點(diǎn)A(?2,1)關(guān)于直線2x?y+10=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(a,b)，

則b?1a+2×2=?17.【答案】C

【解析】解：如圖，

平移AD使A與C重合，記平移后D所在的點(diǎn)為點(diǎn)E，此時(shí)AC⊥CE,AC⊥CB,AC=AB2?BC2=1，

則∠BCE的余弦值即為平面BAC與平面DAC8.【答案】D

【解析】解：因?yàn)殡p曲線C的右支上一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，

所以|OA|=|OB|，又|OF1|=|OF2|，

所以四邊形AF1BF2為平行四邊形．

設(shè)|AF1|=m，|AF2|=n，則|BF2|=m，9.【答案】BC【解析】解：A中，x>1時(shí)，x+4x+1=x+1+4x+1?1，令t=x+1>2，則f(t)=t+4t?1在(2,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(t)>f(2)=2+42?1=3，所以f(t)沒(méi)有最小值，即A不正確；

B中，x=0時(shí)，2xx2+1=0；

當(dāng)x>0時(shí)，2x10.【答案】AB【解析】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則D1(2,0,2)，B(0,2,0)，A(2,2,0)，B1(0,2,2)，G(0,0,1)，H(2,1,2)，

BD1=(2,?2,2)，AB1=(?2,0,2)，

BD1?A11.【答案】BC【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y=?1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由拋物線的定義可得|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8，可得y1+y2=6，

所以線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為y1+y22=3，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)A在準(zhǔn)線上投影為A1，

因?yàn)?2.【答案】AB【解析】解：將圓C：x2+y2+8x+8y+31=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x+4)2+(y+4)2=1，

易得直線l1：(a?1)x+y+3a?4=0，即a(x+3)?x+y?4=0，可知恒過(guò)定點(diǎn)A(?3,1)，

直線l2：x+(1?a)y?4=0，即x+y?4?ay=0，可知恒過(guò)定點(diǎn)B(4,0)，

且直線l1的斜率必存在，再由(a?1)×1+1×(1?a)=0，可得l1⊥l2，

圖所示：對(duì)于A項(xiàng)，由l1⊥l2，且l1∩l2=P，可知點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，

其方程為：(x?12)213.【答案】(?【解析】解：y=ln(2x+1)+4?x2，

則2x+114.【答案】25【解析】解：an+1=2an,0≤an≤12,2an?1,12<an<1,a1=45，

可得a215.【答案】?1【解析】解：設(shè)直線l的方程為y=kx+t，設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

聯(lián)立y=kx+tx22?y2=1，整理可得(1?2k2)x2?4ktx?2t2?2=0，

Δ=16k2t2?4(1?2k2)(?2t2?2)16.【答案】25【解析】解：因?yàn)镃=π4,△ABC中，根據(jù)余弦定理，AB=AC2+BC2?2AC?BC?cosC=25，

根據(jù)正弦定理ACsinB=ABsinC，得sinB=55，由AC<AB知B<C，則cosB=255，

如圖1，以底面點(diǎn)B為空間原點(diǎn)建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，得點(diǎn)A(4,2,0)，C(6,0,0)，

設(shè)點(diǎn)A′(x,y,z)，點(diǎn)A′的投影H(x,0,0)在x軸上，

即A′(x,0,z)，M(5,1,0)，由MC=AM=A′M，

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得(6?5)2+(0?1)2=(x?5)2+(17.【答案】解：(1)∵第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同，

∴由題意可知，10a+10b=0.310(0.045+0.020+a)=0.7，

解得a=0.005b=0.025，

因?yàn)?.05+0.25=0.30>0.25，

設(shè)第25百分位數(shù)為x∈[55,65)，則0.05+(x?55)×0.025=0.25，

解得x=63，

所以估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的第25百分位數(shù)為63．

(2)根據(jù)分層隨機(jī)抽樣，[45,55)和[55,65)的頻率比為0.0050.025=15，

在[45,55)和[55,65)中分別選取1人和5人，分別編號(hào)為A和1，2，3，4，5，

則在這【解析】(1)由頻率分布直方圖及已知條件列方程求出求出a，b，由此能求出第25百分位數(shù)．

(2)根據(jù)分層隨機(jī)抽樣，[45,55)和[55,65)的頻率比為0.0050.025=15，在[45,55)和[55,65)中分別選取18.【答案】解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)M(1,2)在C上，

所以2p=4，p=2，即C：y2=4x．

(2)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x3,y3)，E(x4,y4)，

直線l1的方程為y=k1(x?1)(直線斜率存在且不為【解析】(1)由題意，根據(jù)所給信息以及拋物線的定義即可求出p的值，進(jìn)而可得拋物線C的方程；

(2)設(shè)出A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線l1的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到x19.【答案】解：(1)在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知sinA?sinB3a?c=sinCa+b，

由正弦定理得a?b3a?c=ca+b，即a2+c2?b2=3ac，

由余弦定理得co【解析】(1)由正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換即可；

(2)由正弦定理、三角形面積公式結(jié)合三角恒等變換得20.【答案】(1)證明：依題意，當(dāng)n≥2時(shí)，由an?an?1=?12anan?1，

兩邊同時(shí)除以anan?1，可得1an?1?1an=?12，

即1an?1an?1=12，

∵1a1=1，

∴數(shù)列{1an}是以1為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列．

(2)解：由題意，當(dāng)【解析】(1)先將題干中的遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再兩邊同時(shí)除以anan?1，進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{1an}是以1為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，從而證得結(jié)論成立；

(2)根據(jù)題干已知條件并結(jié)合公式bn=S1,n=1Sn21.【答案】解：(1)證明：取PA的中點(diǎn)為M，連接MG，BM，

則MG//AD,MG=12AD，

又因?yàn)锽E//AD,BE=12AD，

所以BE//MG，BE=MG，即BEGM為平行四邊形，即EG/?/BM，

又因?yàn)锽M?平面PAB，EG?平面PAB，

所以EG/?/平面PAB；

(2)不妨設(shè)EG與平面AEF所成的角為θ，則tanθ=612，即sinθ=15．

如圖，連接AE，AF，EF．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，∠BAD=120°，所以△ABC為正三角形，

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥B【解析】(1)由線面平行的判定定理即可證明；

(2)由線面垂直的判定定理可得A