數(shù)學-難點特訓（二）和正方形有關的壓軸大題（原卷版）

難點特訓（二）和正方形有關的壓軸大題1．如圖，正方形邊長為4，點E在邊上（點E與點A、B不重合），過點A作，垂足為G，與邊相交于點F．(1)求證：；(2)若的面積為，求的長；(3)在（2）的條件下，取的中點M，N，連接，求的長．2．正方形中，，分別為，上一點，，，交于點，為的中點．(1)求證：≌；(2)求證：；(3)求證：3．如圖，在正方形ABCD中，點M在CD邊上，點N在正方形ABCD外部，且滿足，，連接AN，CN，取AN的中點E，連接BE，AC，交于F點．(1)依題意補全圖形；

(2)求的度數(shù)；(3)設，若點M沿著線段CD從點C運動到點D，則在該運動過程中，線段EN所掃過的面積為多少？4．如圖，在正方形OABC中，邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（4，4），點D在線段OA上，以點D為直角頂點，BD為直角邊作等腰直角三角形BDE，BE交y軸于點F．(1)當時，求點E到x軸的距離；(2)連接DF，當點D在線段OA上運動時，的周長是否改變，若改變，請說明理由；若不變，求出其周長；(3)連接CE，當點D在線段OA上運動時，求CE的最小值．5．已知邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點，過點P作PE⊥PB，PE交射線DC于點E，過點E作EF垂直AC所在的直線，垂足為點F．（1）如圖，當E點在線段DC上時，求證：PB＝PE；（2）在點P的運動過程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，直接寫出此時AP的長，如果不能，說明理由；（3）在點P的運動過程中，AP、PF、FC的長度是否滿足某種數(shù)量關系？若滿足，試寫出解答過程；若不滿足，試說明理由．6．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于O．（1）如圖1，設E、F分別是AD、AB上的點，且∠EOF＝90°，線段AF、BF和EF之間存在一定的數(shù)量關系．請你用等式直接寫出這個數(shù)量關系；（2）如圖2，設E、F分別是AB上不同的兩個點，且∠EOF＝45°，請你用等式表示線段AE、BF和EF之間的數(shù)量關系，并證明．

7．如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，E是對角線BD上的一點，連接AE，CE．（1）求證：AE＝CE；（2）如圖2，點P是邊CD上的一點，且PE⊥BD于E，連接BP，O為BP的中點，連接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若OE＝，求CE的長．8．已知正方形，點在對角線上，交于，交于，，垂足為點，求證：(1)；(2)；(3)．9．如圖，點為正方形內一點，，將繞點按順時針方向旋轉，得到．延長交于點，連接．（1）四邊形的形狀是．

（2）如圖，若，猜想線段與的數(shù)量關系并加以證明；（3）如圖，若，，則的長度為．（請直接寫出答案）10．如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD上一點，點E在AB的延長線上，且PC＝PE．(1)求證：PA＝PE；(2)求證：AE＝DP；(3)若已知正方形的邊長為2，求CP+BP的最小值．11．在正方形ABCD中，E是CD邊上任意一點，連接AE．∠EAF＝45°，AE所在的直線與BC交于點F，連接EF．

(1)以A為圓心，AE為半徑作圓，交CB的延長線于點G，連接AG（如圖1）．求證：BF+DE＝EF；(2)點E在DC邊上移動，當EC＝CF時，直線EF與AB、AD的延長線分別交于點M、N（如圖2）,直接寫出EF、MF、NE的數(shù)量關系：________________．12．如圖1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．（1）探究PG與PC的位置關系及的值；（寫出結論，不需要證明）（2）如圖2，將原問題中的正方形ABCD和正方形BEFC換成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG與PC的位置關系及的值．寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖3，將圖2中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉．使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，問題（2）中的其他條件不變，你在（2）中得到的兩個結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．13．菱形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB，AD上的點，CF，DE相交于點G．(1)如圖1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求證：DE＝CF；(2)如圖2，若DE＝CF．試探究此時∠EGF和∠A滿足什么關系？并證明你的結論；(3)如圖3，在（1）的條件下，平移線段DE到MN，使G為CF的中點，連接BD交MN于點H，若∠FCD＝15°，求的值．14．如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG，BE．

（1）發(fā)現(xiàn)：當正方形AEFG繞點A旋轉，如圖2，①線段DG與BE之間的數(shù)量關系是；②直線DG與直線BE之間的位置關系是．（2）探究：如圖3，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，證明：直線DG⊥BE．（3）應用：在（2）情況下，連結GE（點E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，則線段DG是多少？（直接寫出結論）15．如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P為線段AB上一動點．將△BPC沿PC翻折至△EPC，延長CE交射線AD于點D．（1）如圖1，當P為AB的中點時，求出AD的長；（2）如圖2，延長PE交AD于點F，連接CF，求證：∠PCF＝45°；（3）如圖3，∠MON＝45°，在∠MON內部有一點Q，且OQ＝8，過點Q作OQ的垂線GH分別交OM、ON于G、H兩點．當QG＝2時，求QH的值．16．定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．性質探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并給出證明．問題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，則①求證：△AGB≌△ACE；

②GE=．17．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系：____；（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．（可利用（2）得到的結論）18．已知：正方形ABCD，點P是對角線AC所在直線上的動點，點E在DC邊所在的直線上，且隨著點P的運動而運動，PE=PD總成立．（1）如圖1，當點P在對角線AC上時，