空間直角坐標系與空間兩點的距離公式

2.4.空間直角坐標系與空間兩點的距離公式課程學(xué)習(xí)目標［課程目標］目標重點：空間直角坐標系和點在空間直角坐標系中的坐標及空間兩點距離公式.目標難點：確定點在空間直角坐標系中的坐標，以及空間距離公式的推導(dǎo).［學(xué)法關(guān)鍵］1．在平面直角坐標系中，過一點作一條軸的平行線交另一條軸于一點，交點在這個軸上的坐標，就是已知點相應(yīng)的一個坐標，類似地，在空間直角坐標系中，過一點作兩條軸確定的平面的平行平面交另一條軸于一點，交點在這條軸上的坐標就是已知點的一個相應(yīng)的坐標.2．通過類比平面內(nèi)兩點間的距離公式來理解空間兩點的距離公式研習(xí)點1．空間直角坐標系為了確定空間點的位置，我們在空間中取一點O作為原點，過O點作三條兩兩垂直的數(shù)軸，通常用x、y、z表示.軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸的半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)90°能與y軸的半軸重合.這時，我們在空間建立了一個直角坐標系O－xyz，O叫做坐標原點.如何理解空間直角坐標系？1．三條坐標軸兩兩垂直是建立空間直角坐標系的基礎(chǔ)；2．在空間直角坐標系中三條軸兩兩垂直，軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸的半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)90°能與y軸的半軸重合；3．如果讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，那么稱這個坐標系為右手直角坐標系，一般情況下，建立的坐標系都是右手直角坐標系；4．在平面上畫空間直角坐標系O－xyz時，一般情況下使∠xOy=135°，∠yOz=90°.研習(xí)點2．空間點的坐標1．點P的x坐標：過點P作一個平面平行于平面yOz，這樣構(gòu)造的平面同樣垂直于x軸，這個平面與x軸的交點記為Px，它在x軸上的坐標為x，這個數(shù)x就叫做點P的x坐標；2．點P的y坐標：過點P作一個平面平行于平面xOz，這樣構(gòu)造的平面同樣垂直于y軸，這個平面與y軸的交點記為Py，它在y軸上的坐標為y，這個數(shù)y就叫做點P的y坐標；3．點P的z坐標：過點P作一個平面平行于平面xOy，這樣構(gòu)造的平面同樣垂直于z軸，這個平面與z軸的交點記為Pz，它在z軸上的坐標為z，這個數(shù)z就叫做點P的z坐標；這樣，我們對空間的一個點，定義了一組三個有序數(shù)作為它的坐標，記做P(x，y，z)，其中x，y，z也可稱為點P的坐標分量.已知數(shù)組(x，y，z)，如何作出該點？對于任意三個實數(shù)的有序數(shù)組(x，y，z)：（1）在坐標軸上分別作出點Px，Py，Pz，使它們在x軸、y軸、z軸上的坐標分別是x、y、z；（2）再分別通過這些點作平面平行于平面yOz、xOz、xOy，這三個平面的交點就是所求的點.研習(xí)點3．空間點的坐標1．在空間直角坐標系中，每兩條軸分別確定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐標平面；2．坐標平面上點的坐標的特征：xOy平面（通過x軸和y軸的平面）是坐標形如（x，y，0）的點構(gòu)成的點集，其中x、y為任意實數(shù)yOz平面（通過y軸和z軸的平面）是坐標形如（0，y，z）的點構(gòu)成的點集，其中y、z為任意實數(shù)；xOz平面（通過x軸和z軸的平面）是坐標形如（x，0，z）的點構(gòu)成的點集，其中x、z為任意實數(shù)；3．坐標軸上點的特征：x軸是坐標形如（x，0，0）的點構(gòu)成的點集，其中x為任意實數(shù)；y軸是坐標形如（0，y，0）的點構(gòu)成的點集，其中y為任意實數(shù)；z軸是坐標形如（0，0，z）的點構(gòu)成的點集，其中z為任意實數(shù)。研習(xí)點4．卦限在空間直角坐標系中，三個坐標平面把空間分成八部分，每一部分稱為一個卦限；在坐標平面xOy上方的四個象限對應(yīng)的卦限稱為第=1\*ROMANI、第=2\*ROMANII、第=3\*ROMANIII、第=4\*ROMANIV卦限；在下面的卦限稱為第=5\*ROMANV、第=6\*ROMANVI、第=7\*ROMANVII、第=8\*ROMANVIII卦限；在每個卦限內(nèi)，點的坐標的各分量的符號是不變的，例如在第=1\*ROMANI卦限，三個坐標分量x、y、z都為正數(shù)；在第=2\*ROMANII卦限，x為負數(shù)，y、z均為正數(shù)；八個卦限中點的坐標符號分別為：=1\*ROMANI：（+，+，+）；=2\*ROMANII：（－，+，+）；=3\*ROMANIII：（－，－，+）；=4\*ROMANIV：（+，－，+）；=5\*ROMANV：（+，+，－）；=6\*ROMANVI：（－，+，－）；=7\*ROMANVII：（－，－，－）；=8\*ROMANVIII：（+，－，－）；研習(xí)點5．空間兩點間的距離公式空間兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距離公式是，特別地，點A(x，y，z)到原點的距離公式為.題型1．確定空間任一點的坐標例1．正方體的棱長為2，求各頂點的坐標.解：由圖可知，正方體的各個頂點的坐標如下A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，題型2．空間中點的對稱問題例2．在空間直角坐標系中，寫出點P(x，y，z)的對稱點的坐標%（1）關(guān)于x軸的對稱點是P1；（2）關(guān)于y軸的對稱點是P2；（3）關(guān)于z軸的對稱點是P3；（4）關(guān)于原點的對稱點是P4；（5）關(guān)于xOy坐標平面的對稱點是P5；；（6）關(guān)于yOz坐標平面的對稱點是P6；（7）關(guān)于xOz坐標平面的對稱點是P7.解：（1）P1(x，－y，－z)；（2）P2(－x，y，－z)；（3）P3(－x，－y，z)；（4）P4(－x，－y，－z)；（5）P5(x，y，－z)；（6）P6(－x，y，z)；（7）P7(x，－y，z)；此題要類比平面直角坐標系弄清楚對稱關(guān)系，而不是死記硬背，要掌握對稱點的坐標的變化規(guī)律，來幫助記憶題型3．求兩點間的距離例3．（1）點P到原點的距離是（A）（B）1（C）（D）（2）兩點間的距離是.【研析】（1）點P到原點的距離是，選B.（2）由兩點間的距離公式得.【教考動向·演練】1．有下列敘述：①在空間直角坐標系中，在Ox軸上的點的坐標一定是（0，b，0）；②在空間直角坐標系中，在yOz平面上點的坐標一定可以寫成（0，b，c）；③在空間直角坐標系中，在Oz軸上的點的坐標可記為（0，0，c）；④在空間直角坐標系中，在xOz平面上點的坐標可寫為（a，0，c）.其中正確的敘述的個數(shù)是（C）（A）1（B）2（C）3（D）42．點A(－3，1，5)，點B(4，3，1)的中點坐標是（B）（A）（B）（C）(－12，3，5)（D）3．點B是點A(1，2，3)在坐標平面yOz內(nèi)的射影，則|OB|等于（B）（A）（B）（C）（D）4．到定點(1，0，0)的距離小于或等于1的點的集合是（A）（A）{(x，y，z)|(x－1)2+y2+z2≤1}（B）{(x，y，z)|(x－1)2+y2+z2=1}（C）{(x，y，z)|x2+y2+z2≤2}（D）{(x，y，z)|x2+y2+z2≤1}5．Rt△ABC中，∠BAC=90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，則x=2.6．若點P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)兩點的距離相等，則x、y、z滿足的關(guān)系式是.(2x+2y－2z－3=0)7．證明：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)為頂點的△ABC是等腰三角形例4．已知長方體ABCD－A1B1C1D2的邊長為AB=14，AD=6，AA1=10，（1）以這個長方體的頂點A為坐標原點，以射線AB、AD、AA1分別為Ox、Oy、Oz軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體各頂點的坐標；（2）以C點為原點，以射線BC、CD、CC1的方向分別為Ox、Oy、Oz軸的正方向，建立空間直角坐標系，求長方體各頂點的坐標；【探究】根據(jù)題目要求畫出圖形，建立空間直角坐標系后寫出各頂點的坐標。解：（1）如圖1，A(0，0，0)，B(14，0，0)，C(14，6，0)，D(0，6，0)，A1(0，0，10)，B1(14，0，10)，C1(14，6，10)，D1(0，6，10)，（2）如圖2，A(－6，14，0)，B(－6，0，0)，C(0，0，0)，D(0，14，0)，A1(－6，14，10)，B1(－6，0，10)，C1(0，0，10)，D1(0，14，10)，例5．在坐標平面xOy上求一點P，使點P到A(3，1，5)與B(3，5，2)的距離相等’解：設(shè)P(x，y，0)，∵|PA|=|PB|，∴(x－3)2+(y－1)2+25=(x－3)2+(y－5)2+4，整理得，－2y+26=－10y+29，∴8y=3，即y=,∴點P的坐標為(x，，0).例6．如圖，在空間直角坐標系中，BC=4，原點O是BC的中點，點A的坐標是(，，0)，點D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.（1）求AD的長度；（2）求∠DAC的余弦值的大小’解：（1）由題意得B(0，－2，0)，C(0，2，0)，設(shè)D(0，y，z)，∵在Rt△BDC中，∠DCB=30°，∴BD=2，CD=2，∴(y+2)2+z2=4，(y－2)2+z2=12，∴y=－1，z=，∴D(0，－1，)，|AD|=（2）在△ACD中，由（1）知AD=，又AC=，CD=2，∴cos∠DAC=，即∠DAC的余弦值等于?！窘炭紕酉颉ぱ菥殹?．點P(x，y，z)滿足，則點P在（C）（A）以點(1，1，－1)為球心以為半徑的球面上（B）以點(1，1，－1)為中心以為棱長的正方體內(nèi)（C）以點(1，1，－1)為球心以2為半徑的球面上（D）無法確定10．空間內(nèi)三點滿足d(A，B)=d(A，C)=d(B，C)，