2019年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)試卷

2019年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計(jì)24分.）

1.（2分）-2019的相反數(shù)是.

2.（2分）27的立方根為.

3.（2分）一組數(shù)據(jù)4,3,x,1,5的眾數(shù)是5,則》=.

4.（2分）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

5.（2分）氫原子的半徑約為0.00000000005W,用科學(xué)記數(shù)法把0.00000000005表示

為.

6.（2分）已知點(diǎn)4（-2?。?、8（-1,"）都在反比例函數(shù)-2的圖象上，則?）%（填

X

或“V”）

7.（2分）計(jì)算：V12-73=.

8.（2分）如圖，直線a〃4aABC的頂點(diǎn)C在直線b上，邊A3與直線匕相交于點(diǎn)￡>.若

△BC。是等邊三角形，ZA=20°,則/1=°.

6

9.（2分）若關(guān)于尤的方程/-2%+機(jī)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)相的值等于.

10.（2分）將邊長為1的正方形繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到尸ECG的位置（如圖）,

使得點(diǎn)。落在對(duì)角線CF上，E尸與A。相交于點(diǎn)H,則HQ=.（結(jié)果保留根號(hào)）

II.（2分）如圖，有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤A、B,在每個(gè)轉(zhuǎn)盤各自的兩個(gè)扇形區(qū)域中分別標(biāo)有數(shù)字1,2,

分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A、B,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若事件“指針都落在標(biāo)有數(shù)字1的扇形區(qū)域內(nèi)”

的概率是工，則轉(zhuǎn)盤3中標(biāo)有數(shù)字1的扇形的圓心角的度數(shù)是

9

1

wo

月B

12.（2分）已知拋物線y=a/+4or+4a+l（aWO）過點(diǎn)A（〃?，3）,B（.n,3）兩點(diǎn)，若線

段AB的長不大于4,則代數(shù)式J+.+1的最小值是.

二、選擇題（本大題共有5小題，每小題3分，共計(jì)15分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中

恰有一項(xiàng)符合題目要求）

13.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.a2,a3—a6B.?74-a3=a4C.（a3）5—asD.（ab）2—atr

14.（3分）一個(gè)物體如圖所示，它的俯視圖是（）

15.（3分）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，DC=CB.若NC=110°,

則/ABC的度數(shù)等于（）

C.65°D.70°

16.（3分）下列各數(shù)軸上表示的x的取值范圍可以是不等式組［,的解集的是

（2a-1）x-6<0

)

-I------1---1---1----------------->

D.-201

17.（3分）如圖，菱形ABCQ的頂點(diǎn)8、C在x軸上（B在C的左側(cè)），頂點(diǎn)A、。在x軸

上方，對(duì)角線2。的長是2萬，點(diǎn)E（-2,0）為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在菱形ABCD的邊

3

上運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)尸（0,6）到EP所在直線的距離取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在A8的中點(diǎn)

三、解答題（本大題共有11小題，共計(jì)81分。解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程

或演算步驟。）

18.（8分）⑴計(jì)算：（我-2）°+（1）'-2COS600；

3

（2）化簡(jiǎn)：（1+=—）一.

Y-121

xJ.xT

19.（10分）（1）解方程：_?±=小-+1；

x-2x-2

（2）解不等式：4（x-1）-L<x

2

20.（6分）如圖，四邊形A8CD中，AD//BC,點(diǎn)E、尸分別在A。、BC上，AE=CF,過

點(diǎn)A、C分別作EF的垂線，垂足為G、H.

(1)求證：ZiAGE絲△CHF；

(2)連接AC,線段GH與AC是否互相平分？請(qǐng)說明理由.

21.(6分)小麗和小明將在下周的星期一到星期三這三天中各自任選一天擔(dān)任值日工作，

請(qǐng)用畫樹狀圖或列表格的方法，求小麗和小明在同一天值日的概率.

22.(6分)如圖，在△ABC中，AB=AC,過AC延長線上的點(diǎn)。作OD_LAO,交BC的延

長線于點(diǎn)。，以。為圓心，0。長為半徑的圓過點(diǎn)B.

(1)求證：直線AB與。0相切；

(2)若A2=5,OO的半徑為12,則tanNBOO=.

23.(6分)如圖，點(diǎn)A(2,〃)和點(diǎn)。是反比例函數(shù)丫=皿(〃?>0,x>0)圖象上的兩點(diǎn)，

X

一次函數(shù)丁=履+3(&W0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)&與X軸交于點(diǎn)c,過點(diǎn)￡>

作。軸，垂足為七，連接0A,0D.已知△048與△0。石的面積滿足S^ODE

=3：4.

(1)S/\OAB=,in-

(2)已知點(diǎn)尸(6,0)在線段0E上，當(dāng)NPOE=NC8。時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

24.（6分）在三角形紙片ABC（如圖1）中，NBAC=78°,AC=10.小霞用5張這樣的

三角形紙片拼成了一個(gè)內(nèi)外都是正五邊形的圖形（如圖2）.

（1）ZABC=°；

（2）求正五邊形GHMNC的邊GC的長.

參考值：sin78°弋0.98,cos78°=0.21,tan78°?=4.7.

25.（6分）陳老師對(duì)他所教的九（1）、九（2）兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了一次檢測(cè)，批閱后對(duì)

最后一道試題的得分情況進(jìn)行了歸類統(tǒng)計(jì)（各類別的得分如下表），并繪制了如圖所示的

每班各類別得分人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖（不完整）.

各類別的得分表

得分類別

0A：沒有作答

1B：解答但沒有正確

3C：只得到一個(gè)正確答案

6￡）：得到兩個(gè)正確答案，解答完全正確

已知兩個(gè)班一共有50%的學(xué)生得到兩個(gè)正確答案，解答完全正確，九（1）班學(xué)生這道試

題的平均得分為3.78分.請(qǐng)解決如下問題：

（1）九（2）班學(xué)生得分的中位數(shù)是；

（2）九（1）班學(xué)生中這道試題作答情況屬于B類和C類的人數(shù)各是多少？

每班各類別得分人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖

地球是一個(gè)球體，任意兩條相對(duì)的子午線都組成一個(gè)經(jīng)線圈（如圖1中的O。）.人們?cè)?/p>

北半球可觀測(cè)到北極星，我國古人在觀測(cè)北極星的過程中發(fā)明了如圖2所示的工具尺（古

人稱它為“復(fù)矩”），尺的兩邊互相垂直，角頂系有一段棉線，棉線末端系一個(gè)銅錘，這

樣棉線就與地平線垂直.站在不同的觀測(cè)點(diǎn)，當(dāng)工具尺的長邊指向北極星時(shí)，短邊與棉

線的夾角a的大小是變化的.

【實(shí)際應(yīng)用】

觀測(cè)點(diǎn)A在圖1所示的。。上，現(xiàn)在利用這個(gè)工具尺在點(diǎn)A處測(cè)得a為31°,在點(diǎn)4所

在子午線往北的另一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)8,用同樣的工具尺測(cè)得a為67°.PQ是。。的直徑，

PQLON.

（1）求/POB的度數(shù)；

（2）已知。尸=6400h",求這兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)之間的距離即。。上AB的長.（7T取3.1）

=4+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,且與直線ZM關(guān)于/的對(duì)稱直線交于點(diǎn)B.

5

（1）點(diǎn)。的坐標(biāo)是;

（2）直線/與直線AB交于點(diǎn)C,N是線段。C上一點(diǎn)（不與點(diǎn)￡＞、C重合），點(diǎn)N的縱

坐標(biāo)為過點(diǎn)N作直線與線段D4、分別交于點(diǎn)P、Q,使得△OPQ與△D4B相似.

①當(dāng)1時(shí)，求DP的長；

5

②若對(duì)于每一個(gè)確定的〃的值，有且只有一個(gè)△DPQ與△D4B相似，請(qǐng)直接寫出〃的取

值范圍_______

28.（11分）學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

在相距150個(gè)單位長度的直線跑道A3上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)4

B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)8出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間.他們

到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì).

興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的”迎面相遇“包括面對(duì)面相遇、

在端點(diǎn)處相遇這兩種.

【觀察】

①觀察圖1,若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單

位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度；

②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為40個(gè)單位長度，

則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度；

【發(fā)現(xiàn)】

設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們

第二次迎面相遇時(shí).，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度.興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了

y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP,不包括點(diǎn)O,如圖2所示）.

①a=；

②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象；

【拓展】

設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們

第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度.

若這兩個(gè)機(jī)器人第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過60個(gè)單位長度,

則他們第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是.（直接

寫出結(jié)果）

2019年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計(jì)24分.）

1.（2分）-2019的相反數(shù)是2019.

【考點(diǎn)】14：相反數(shù).

【分析】直接利用相反數(shù)的定義進(jìn)而得出答案.

【解答】解：-2019的相反數(shù)是：2019.

故答案為：2019.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相反數(shù)，正確把握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

2.（2分）27的立方根為3.

【考點(diǎn)】24：立方根.

【分析】找到立方等于27的數(shù)即可.

【解答】解：：33=27,

，27的立方根是3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】考查了求一個(gè)數(shù)的立方根，用到的知識(shí)點(diǎn)為：開方與乘方互為逆運(yùn)算.

3.（2分）一組數(shù)據(jù)4,3,x,1,5的眾數(shù)是5,則尸5.

【考點(diǎn)】W5：眾數(shù).

【分析】根據(jù)眾數(shù)的概念求解可得.

【解答】解：???數(shù)據(jù)4,3,x,1,5的眾數(shù)是5,

??1=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查眾數(shù)，求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，若

幾個(gè)數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時(shí)眾數(shù)就是這多個(gè)數(shù)據(jù).

4.（2分）若代數(shù)式A/U有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x南4.

【考點(diǎn)】72：二次根式有意義的條件.

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列不等式求解即可.

【解答】解：由題意得x-420,

解得xN4.

故答案為：x24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否

則二次根式無意義.

5.（2分）氫原子的半徑約為0.00000000005〃?，用科學(xué)記數(shù)法把0.00000000005表示為5

X10-11.

【考點(diǎn)】1J：科學(xué)記數(shù)法一表示較小的數(shù).

【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，-一般形式為。義10”,與較大

數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)累，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)

字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法把0.00000000005表示為5X10L

故答案為：5X10".

【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為“義10一"，其中

n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

6.（2分）已知點(diǎn)A（-2,yi）、B（-1,>2）都在反比例函數(shù)丫=-2的圖象上，則wV

x

（填“>”或“<”）

【考點(diǎn)】G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】反比例函數(shù)），=-2的圖象在第二象限，在第二象限內(nèi)，y隨X的增大而增大，

X

根據(jù)X的值大小，得出y值大小.

【解答】解：二,反比例函數(shù)y=-2的圖象在二、四象限，而A（-2,yi）、B（-1,y2）

x

都在第二象限，

...在第二象限內(nèi)，），隨X的增大而增大，

V-2<-1

.*.yi<y2.

故答案為：<

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)ZV0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大

而增大，由x的值變化得出），的值變化情況；也可以把x的值分別代入關(guān)系式求出口、

”再作比較亦可.

7.（2分）計(jì)算：V12-V3=_V3_-

【考點(diǎn)】78：二次根式的加減法.

【分析】先化簡(jiǎn)J適=2b，再合并同類二次根式即可.

【解答】解：V12-73=273-V3=V3.

故答案為：V3-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的加減，屬于基礎(chǔ)題型.

8.（2分）如圖，直線a〃江ZVIBC的頂點(diǎn)C在直線人上，邊A8與直線6相交于點(diǎn)￡）.若

△BCD是等邊三角形，/A=20°,則Nl=40°.

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)；KK：等邊三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NBOC=60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出N2,根據(jù)三

角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案.

【解答】解：???△BCD是等邊三角形，

/.ZBDC=60°,

'：a//b,

：.Z2=ZBDC=60°,

由三角形的外角性質(zhì)可知，Z1=Z2-ZA=40°,

故答案為：40.

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的三個(gè)內(nèi)角都是

60°是解題的關(guān)鍵.

9.（2分）若關(guān)于x的方程7-標(biāo)+,〃=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)"的值等于1.

【考點(diǎn)】AA：根的判別式.

【分析】利用判別式的意義得到4=（-2）2-4巾=0,然后解關(guān)于用的方程即可.

【解答】解：根據(jù)題意得4=（-2）2-4〃?=0,

解得m—\.

故答案為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程0?+公+°=0QWO）的根與△=/-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)△>?時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

10.（2分）將邊長為1的正方形4BC。繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到FECG的位置（如圖），

使得點(diǎn)。落在對(duì)角線CF上，EF與AO相交于點(diǎn)4,則HD=?-1.（結(jié)果保留根

號(hào)）

【考點(diǎn)】LE：正方形的性質(zhì)；R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到C￡>=1,/CD4=90°,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CF=a,

根據(jù)正方形的性質(zhì)得/C9E=45°,則可判斷△0/7/為等腰直角三角形，從而計(jì)算CF

-CD即可.

【解答】解：???四邊形A8C。為正方形，

：.CD=\,ZCDA=90Q,

???邊長為1的正方形ABCQ繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到FECG的位置，使得點(diǎn)。落在對(duì)

角線CF上,

:?CF=?ZCFDE=45°,

.../\DFH為等腰直角三角形，

:.DH=DF=CF-CD=M-1.

故答案為-I.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所

連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了正方形的性質(zhì).

11.（2分）如圖，有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤A、B,在每個(gè)轉(zhuǎn)盤各自的兩個(gè)扇形區(qū)域中分別標(biāo)有數(shù)字1,2,

分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A、B,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若事件“指針都落在標(biāo)有數(shù)字1的扇形區(qū)域內(nèi)”

的概率是工，則轉(zhuǎn)盤B中標(biāo)有數(shù)字1的扇形的圓心角的度數(shù)是」Q°.

【考點(diǎn)】X6：列表法與樹狀圖法.

【分析】先根據(jù)題意求出轉(zhuǎn)盤B中指針落在標(biāo)有數(shù)字1的扇形區(qū)域內(nèi)的概率，再根據(jù)圓

周角等于360°計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)轉(zhuǎn)盤B中指針落在標(biāo)有數(shù)字1的扇形區(qū)域內(nèi)的概率為x,

根據(jù)題意得：工*工，

29

解得x￡，

x9

轉(zhuǎn)盤B中標(biāo)有數(shù)字1的扇形的圓心角的度數(shù)為：360°xZ=80°.

9

故答案為：80.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況

數(shù)之比.

12.(2分)已知拋物線＞=〃/+4磔+4〃+1(〃W0)過點(diǎn)A(m,3),B(H,3)兩點(diǎn)，若線

段AB的長不大于4,則代數(shù)式。2+什1的最小值是I.

一&一

【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；H7：二次函數(shù)的最

值.

【分析】根據(jù)題意得4“+123,解不等式求得把x=L代入代數(shù)式即可求得.

22

【解答】解：?.?拋物線丁=/+40什4〃+1(a#0)過點(diǎn)4(機(jī)，3),B(/?,3)兩點(diǎn)，

?irr+n_4a__O

22a

；線段AB的長不大于4,

，4a+l》3

2

a^+a+1的最小值為：（!）~+—+1=—；

224

故答案為工.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得出4a+l

是解題的關(guān)鍵.

二、選擇題（本大題共有5小題，每小題3分，共計(jì)15分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中

恰有一項(xiàng)符合題目要求）

13.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.J./二/B.ay^-a3—a4C.（a3）5—a8D.（ab）2—ab2

【考點(diǎn)】46：同底數(shù)基的乘法；47：某的乘方與積的乘方；48：同底數(shù)累的除法.

【分析】直接利用同底數(shù)塞的乘除運(yùn)算法則、積的乘方運(yùn)算法則、察的乘方運(yùn)算法則分

別化簡(jiǎn)得出答案.

【解答】解：A、J./：/,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ciJ-i-ai=a4,正確；

C、（1）5=小，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、（ab）2=a1lr,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算、積的乘方運(yùn)算、慕的乘方運(yùn)算，正確掌

握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

14.（3分）一個(gè)物體如圖所示，它的俯視圖是（）

【考點(diǎn)】U2：簡(jiǎn)單組合體的三視圖.

【分析】從圖形的上方觀察即可求解；

【解答】解：俯視圖從圖形上方觀察即可得到，

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的三視圖；熟練掌握組合體圖形的觀察方法是解題的關(guān)鍵.

15.（3分）如圖，四邊形ABC。是半圓的內(nèi)接四邊形，A8是直徑，DC=CB.若/C=110°,

A.55°B.60°C.65°D.70°

【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系；M5：圓周角定理；M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【分析】連接4C,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出/D48,根據(jù)圓周角定理求出N4CB、

/CAB,計(jì)算即可.

【解答】解：連接AC,

???四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，

/.ZDAB=180o-ZC=70°,

VDC=CB.

2

；AB是直徑，

...NACB=90°,

...NABC=90°-ZCAB=55Q,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互

補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

16.（3分）下列各數(shù)軸上表示的x的取值范圍可以是不等式組J的解集的是

（2a-l）x-6<0

()

B.02

C.023

D.-201

【考點(diǎn)】C4：在數(shù)軸上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式組.

【分析】由數(shù)軸上解集左端點(diǎn)得出a的值，代入第二個(gè)不等式，解之求出x的另外一個(gè)

范圍，結(jié)合數(shù)軸即可判斷.

【解答】解：由x+2>a得-2,

A.由數(shù)軸知x>-3,則a=-1,二-3x-6<0,解得x>-2,與數(shù)軸不符；

B.由數(shù)軸知x>0,則a=2,.?.3x-6<0,解得x<2,與數(shù)軸相符合；

C.由數(shù)軸知x>2,則a=4,."x-GVO,解得與數(shù)軸不符；

7

D.由數(shù)軸知x>-2,則a=0,-x-6<0,解得x>-6,與數(shù)軸不符；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握不等式組的解集在數(shù)軸

上的表示及解一元一次不等式的能力.

17.（3分）如圖，菱形ABCZ）的頂點(diǎn)3、C在x軸上（8在C的左側(cè)），頂點(diǎn)A、。在x軸

上方，對(duì)角線BO的長是2屈點(diǎn)E（-2,0）為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在菱形A8C。的邊

3

上運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)F（0,6）到EP所在直線的距離取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在A3的中點(diǎn)

處，則菱形ABC。的邊長等于（）

【分析】如圖1中，當(dāng)點(diǎn)尸是A8的中點(diǎn)時(shí)，作FGLPE于G,連接EF.首先說明點(diǎn)G

與點(diǎn)F重合時(shí)，F(xiàn)G的值最大，如圖2中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，連接AC交80于4,

PE交BD于J.設(shè)BC=2”.利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可.

EF=422+42=2A/75,

VZFG￡：=90°,

：.FGWEF,

當(dāng)點(diǎn)G與E重合時(shí)，F(xiàn)G的值最大.

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，連接AC交8。于〃，PE交BD于J.設(shè)BC=2/

J.PE//AC,BJ=JH,

???四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,BH=DH=J^,

36

：.PE±BD,

ZBJE=ZEOF=ZPEF=90°,

ZEBJ=ZFEO,

：ABJEs/\EOF,

.?.?=11,

EFE0

V10

?a=6

2V102

3

；.BC=2a=Jl,

3

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段

最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題,

屬于中考選擇題中的壓軸題.

三、解答題（本大題共有11小題，共計(jì)81分。解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程

或演算步驟。）

18.（8分）（1）計(jì)算：（我-2）°+（1）''-2cos60°；

(2)化簡(jiǎn)：(1+」^)+」—

xVx2-l

【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；6C：分式的混合運(yùn)算；6E：零指數(shù)累；6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)累;

T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算法則、特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算;

（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算.

【解答】解：（1）（V2-2）°+（工）-2cos60°

3

=1+3-1

=3；

=（9+工）1x

X-lX-l

=X?（x+l）（x-l）

X-1X

=x+l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的混合運(yùn)算、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握它們的運(yùn)算法則是解題

的關(guān)鍵.

19.（10分）（1）解方程：上工=_^+1；

x-2x-2

（2）解不等式：4（x-1）-k<x

2

【考點(diǎn)】B3：解分式方程；C6：解一元一次不等式.

【分析】（1）方程兩邊同乘以（x-2）化成整式方程求解，注意檢驗(yàn)；

（2）按照去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1來解即可.

【解答】解；（1）方程兩邊同乘以（x-2）得

2x=3+x-2

.".x—1

檢驗(yàn)：將x=l代入（X-2）得1-2=-1#0

x=l是原方程的解.

，原方程的解是x=l.

（2）化簡(jiǎn)4（x-1）得

2

4x-4-J-<x

2

：.3x<l

2

2

原不等式的解集為x<a.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題分別考查了分式方程和一元一次不等式的求解問題，屬于基礎(chǔ)題型.

20.(6分)如圖，四邊形ABCQ中，AD//BC,E,F分別在AD、BC上，AE=CF,過

點(diǎn)4、C分別作EF的垂線，垂足為G、H.

(1)求證：AAGE咨ACHF；

(2)連接4C,線段G”與AC是否互相平分？請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)由垂線的性質(zhì)得出NG=NH=90°,AG//CH,由平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角

相等得出NAEG=NCF”，由AAS即可得出△4GE絲

(2)連接AH、CG,由全等三角形的性質(zhì)得出AG=CH,證出四邊形AHCG是平行四邊

形，即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：\'AG±EF,CHLEF,

：.ZG=ZH=90°,AG//CH,

\'AD//BC,

：.ZDEF=ZBFE,

ZAEG=ADEF,NCFH=NBFE,

：.NAEG=NCFH,

，ZG=ZH

在aAGE和△口//中，<NAEG=NCFH，

AE=CF

:./\AGE妾MCHF(AAS)；

(2)解：線段G〃與AC互相平分，理由如下：

連接AH、CG,如圖所示：

由（1）得：XAGE色XCHF,

，AG=CH,

'JAG//CH,

...四邊形A//CG是平行四邊形,

線段G”與AC互相平分.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的性

質(zhì)：熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

21.（6分）小麗和小明將在下周的星期一到星期三這三天中各自任選一天擔(dān)任值日工作,

請(qǐng)用畫樹狀圖或列表格的方法，求小麗和小明在同一天值日的概率.

【考點(diǎn)】X6：列表法與樹狀圖法.

【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)和小麗和小明在同一天值日的情況數(shù),

然后根據(jù)概率公式即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

局一周二周二

同?三三

共有9種等情況數(shù)，其中小麗和小明在同一天值日的有3種，

則小麗和小明在同一天值日的概率是之=工.

93

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解

題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

22.（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC,過AC延長線上的點(diǎn)。作0￡>_LA0,交BC的延

長線于點(diǎn)。，以。為圓心，。。長為半徑的圓過點(diǎn)股

（1）求證：直線A8與。。相切;

(2)若AB=5,OO的半徑為12,則tan/BOO=__1_

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；M5：圓周角定理；ME：切線的判定與性質(zhì)；T7：解

直角三角形.

【分析】（1）連接。3,由等腰三角形的性質(zhì)得出/ABC=/AC2,NOBD=ND,證出

NOBQ+/ABC=90°,得出A2J_O8,即可得出結(jié)論；

（2）由勾股定理得出OA={AB2+0B2=13,得出OC=OA-AC=8,再由三角函數(shù)定

義即可得出結(jié)果.

【解答】（1）證明：連接。8,如圖所示：

；AB=AC,

/.NABC=ZACB,

；ZACB^ZOCD,

：.ZABC=ZOCD,

:ODYAO,

...NCOQ=90°,

.../￡>+/OC￡）=90°,

,?OB=OD,

：.ZOBD^ZD,

：.ZOBD+ZABC=90Q,

即NA8O=90°,

：.ABLOB,

?.?點(diǎn)8在圓。上，

直線A8與O。相切;

⑵解:VZABO=90°,

O/1=VAB2+0B2=V52+122=13,

：AC=AB=5,

/.OC=OA-AC=8,

tan/8力0=強(qiáng)=-§-=2；

OD123

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以

及三角函數(shù)定義；熟練掌握切線的判定方法和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

23.(6分)如圖，點(diǎn)4(2,〃)和點(diǎn)。是反比例函數(shù)》=皿(機(jī)>0,x>0)圖象上的兩點(diǎn)，

X

一次函數(shù)>=丘+3(左#0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,與x軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)。

作OELc軸，垂足為E,連接04,OD.已知△QAB與△OOE的面積滿足SAOAB：S^ODE

=3：4.

(1)S&OAB=3,m—8；

(2)已知點(diǎn)尸(6,0)在線段OE上，當(dāng)NPDE=NCB。時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】GB：反比例函數(shù)綜合題.

【分析】(1)由一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)8的坐標(biāo)，易得。8的長度，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)和

三角形面積公式求得SAOAB=3,所以SAODE=4,由反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義求得〃?

的值：

（2）利用待定系數(shù)法確定直線AC函數(shù)關(guān)系式，易得點(diǎn)C的坐標(biāo)；利用NP/）E=/CBO,

NCOB=NPED=90°判定4C80s根據(jù)該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得PE、

OE的長度，易得點(diǎn)。的坐標(biāo).

【解答】解：（1）由一次函數(shù)y=fcr+3知，B（0,3）.

又點(diǎn)4的坐標(biāo)是（2,〃），

；.SAOAB=LX3X2=3.

2

:S&OAB：S^ODE=3：4.

.*.5AODE=4.

丁點(diǎn)。是反比例函數(shù)丁=皿（加>0,x>0）圖象上的點(diǎn)，

x

.*.A^/=SAODE=4,貝ijm=8.

2

故答案是：3；8；

（2）由（1）知，反比例函數(shù)解析式是、=&.

X

.?.2〃=8,即〃=4.

故A（2,4）,將其代入y=H+3得到：2>3=4.

解得k=—.

2

，直線AC的解析式是：y=4+3.

2

令y=0,貝ljL+3=0,

2

??x~^-6,

：.C（-6,0）.

???。。=6.

由（1）知，OB=3.

設(shè)。（/b）,貝lj￡）E=4PE=a-6.

\9ZPDE=ZCBO,ZCOB=ZPED=90°，

:./\CBOS/\PDE,

.?.還_=更_,即旦=-§—①，

DEPEba-6

又ab=8②.

聯(lián)立①②，得（a~2（舍去）或［a=8

lb=-4\b=l

故。（8,1）.

【點(diǎn)評(píng)】考查了反比例函數(shù)綜合題，需要掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)圖象上

點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積公式，相似三角形的判定

與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，但是難度不是很大.

24.（6分）在三角形紙片ABC（如圖1）中，NBAC=78°,AC=10.小霞用5張這樣的

三角形紙片拼成了一個(gè)內(nèi)外都是正五邊形的圖形（如圖2）.

（1）30°；

（2）求正五邊形GHWNC的邊GC的長.

參考值：sin78°-0.98,cos780=0.21,tan780-4.7.

【考點(diǎn)】MM：正多邊形和圓；T7：解直角三角形.

【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理、正五邊形的性質(zhì)計(jì)算；

（2）作CQJ_4B于。，根據(jù)正弦的定義求出QC,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出8C,結(jié)合

圖形計(jì)算即可.

【解答】解：（1）:五邊形A8OEF是正五邊形,

/BAF='、57，)W。［=108°,

5

/A8C=NBAF-ZBAC=30°,

故答案為：30；

(2)作CQ_LA8于Q,

在RtZ\4QC中，sin/Q4C=較，

AC

QC=AC-sinZQAG10X0.98=9.8,

在Rt^BQC中，NABC=30°,

；.BC=2QC=19.6,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓、解直角三角形的應(yīng)用，掌握正多邊形的性質(zhì)、正

弦的定義是解題的關(guān)鍵.

25.（6分）陳老師對(duì)他所教的九（1）、九（2）兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了一次檢測(cè)，批閱后對(duì)

最后一道試題的得分情況進(jìn)行了歸類統(tǒng)計(jì)（各類別的得分如下表），并繪制了如圖所示的

每班各類別得分人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖（不完整）.

各類別的得分表

得分類別

0A：沒有作答

1B：解答但沒有正確

3C：只得到一個(gè)正確答案

6D：得到兩個(gè)正確答案，解答完全正確

已知兩個(gè)班一共有50%的學(xué)生得到兩個(gè)正確答案，解答完全正確，九（1）班學(xué)生這道試

題的平均得分為3.78分.請(qǐng)解決如下問題：

（1）九（2）班學(xué)生得分的中位數(shù)是6分；

（2）九（1）班學(xué)生中這道試題作答情況屬于B類和C類的人數(shù)各是多少？

每班各類別得分人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖

【分析】（1）由條形圖可知九（2）班一共有學(xué)生48人，將48個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序

排列，第24、25個(gè)數(shù)據(jù)都在。類，所以中位數(shù)是6分；

（2）先求出兩個(gè)班一共有多少學(xué)生，減去九（2）班的學(xué)生數(shù)，得出九（1）班的學(xué)生數(shù),

再根據(jù)條形圖，用九（1）班的學(xué)生數(shù)分別減去該班4、。兩類的學(xué)生數(shù)得到8類和C類

的人數(shù)和，再結(jié)合九（1）班學(xué)生這道試題的平均得分為3.78分，即可求解.

【解答】解：（1）由條形圖可知九（2）班一共有學(xué)生：3+6+12+27=48人，

將48個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，第24、25個(gè)數(shù)據(jù)都在。類，所以中位數(shù)是6分.

故答案為6分；

（2）兩個(gè)班一共有學(xué)生：（22+27）+50%=98（人），

九（1）班有學(xué)生：98-48=50（人）.

設(shè)九（1）班學(xué)生中這道試題作答情況屬于B類和C類的人數(shù)各是x人、y人.

由題意，得（5+x+y+22=50,

IOX5+x+3y+6X22=3.78X5（

解得h=6.

ly=17

答：九（1）班學(xué)生中這道試題作答情況屬于B類和C類的人數(shù)各是6人、17人.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是統(tǒng)計(jì)圖表與條形圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)圖表，從統(tǒng)計(jì)圖表中得

到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù).也考查

了中位數(shù)與平均數(shù).

26.（6分）【材料閱讀】

地球是一個(gè)球體，任意兩條相對(duì)的子午線都組成一個(gè)經(jīng)線圈（如圖1中的OO）.人們?cè)?/p>

北半球可觀測(cè)到北極星，我國古人在觀測(cè)北極星的過程中發(fā)明了如圖2所示的工具尺（古

人稱它為“復(fù)矩”），尺的兩邊互相垂直，角頂系有一段棉線，棉線末端系一個(gè)銅錘，這

樣棉線就與地平線垂直.站在不同的觀測(cè)點(diǎn)，當(dāng)工具尺的長邊指向北極星時(shí)，短邊與棉

線的夾角a的大小是變化的.

【實(shí)際應(yīng)用】

觀測(cè)點(diǎn)A在圖1所示的上，現(xiàn)在利用這個(gè)工具尺在點(diǎn)A處測(cè)得a為31°,在點(diǎn)A所

在子午線往北的另一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)8,用同樣的工具尺測(cè)得a為67°.PQ是。。的直徑，

PQVON.

（1）求NPO3的度數(shù)；

（2）已知OP=6400km,求這兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)之間的距離即上標(biāo)的長.（TT取3.1）

【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；MN：弧長的計(jì)算.

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)8的切線CB交ON延長線于點(diǎn)E,于。，CHLBH交BC于

點(diǎn)C,則/。HC=67°,證出/H8D=N￡>HC=67°,由平行線的性質(zhì)得出N8EO=N

HBD=61°,由直角三角形的性質(zhì)得出N8OE=23°,得出NPOB=90°-23°=67°；

(2)同(1)可證NPOA=31°,求出NAOB=NPOB-NPOA=36°,由弧長公式即

可得出結(jié)果.

【解答】解：(1)設(shè)點(diǎn)B的切線C8交ON延長線于點(diǎn)E,HD上BC于D,CHLBH交

BC于點(diǎn)C,如圖所示：

則N￡WC=67°,

VZHBD+ZBHD=ZBHD+ZDHC=90°,

:"HBD=NDHC=0°,

?：ON〃BH,

:.NBEO=NHBD=6T,

:.NBOE=90°-67°=23°,

,:PQLON,

:.NPOE=90°,

:.NP()B=90°-23°=67°；

(2)同(1)可證NPO4=31°,

：.ZAOB^ZPOB-APOA^f>l°-31°=36°,

???第二兜乂兀X6我°=3968(km).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長公式等知識(shí)；熟練掌握切線

的性質(zhì)和弧長公式是解題的關(guān)鍵.

27.（10分）如圖，二次函數(shù)y=-7+4x+5圖象的頂點(diǎn)為￡）,對(duì)稱軸是直線1,一次函數(shù)y

=4+1的圖象與x軸交于點(diǎn)4,且與直線。A關(guān)于/的對(duì)稱直線交于點(diǎn)8.

5

（1）點(diǎn)。的坐標(biāo)是（2,9）；

（2）直線/與直線AB交于點(diǎn)C,N是線段0c上一點(diǎn)（不與點(diǎn)。、C重合），點(diǎn)N的縱

坐標(biāo)為〃.過點(diǎn)N作直線與線段D4、分別交于點(diǎn)尸、Q,使得△QPQ與△D4B相似.

①當(dāng)”=2工時(shí)，求OP的長；

5

②若對(duì)于每一個(gè)確定的n的值，有且只有一個(gè)△OPQ與相似，請(qǐng)直接寫出n的取

值范圍2<n<21.

【分析】（1）直接用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可；

（2）由對(duì)稱軸可知點(diǎn)C（2,旦），A（-"，0）,點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)（絲，0）,

522

借助AO的直線解析式求得B（5,3）；①當(dāng)〃=2工時(shí)，N（2,27）,可求。4=?豆,

552

￡W=運(yùn)，?當(dāng)尸Q〃AB時(shí)，xDPQS/\DAB,DP=9?當(dāng)PQ與AB不平行時(shí);

55

DP=9?②當(dāng)PQ〃AB,￡>B=QP時(shí)，DB=3臟,DN=組,所以N（2,罵），則有

55

且只有一個(gè)△￡>P?與△D48相似時(shí)，旦<"<罵；

55

【解答】解：（1）頂點(diǎn)為。（2,9）；

故答案為（2,9）；

（2）對(duì)稱軸x=2,

：.C（2,旦），

5

由已知可求A（-20）,

2

點(diǎn)A關(guān)于x=2對(duì)稱點(diǎn)為（」&,0）,

2

則A。關(guān)于x=2對(duì)稱的直線為y=-2x+13,

：.B（5,3）,

①當(dāng)〃=2L時(shí)，N（2,21）,

55

:.DA=^^,DN=電C￡）=迤

255

當(dāng)PQ〃AB時(shí)，△DPQs/\DAB,

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