2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考一輪專題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問題（含答案）

年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考一輪專題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問題1．如圖，已知拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求的面積．(3)如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(4)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在直線下方的拋物線上，連接交于點(diǎn)N，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值．2．已知直線與軸、軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)出發(fā)，向點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)出發(fā)，向點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)求拋物線關(guān)系式；(2)當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形．3．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)二次函數(shù)的最大值與最小值的差為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，當(dāng)為直角三角形且恰好存在兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，求的取值或取值范圍．4．已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P在直線下方的拋物線上，連接交于點(diǎn)M，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)P作x軸的垂線l，在l上是否存在點(diǎn)D，使是直角三角形若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)，使的值最小，此時(shí)的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，直線能否把分成面積之比為的兩部分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不能，請(qǐng)說明理由；(4)若為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，使得為直角三角形．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．6．在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，那么我們把一條拋物線稱為另一條拋物線關(guān)于直線的鏡像拋物線．(1)如圖，已知拋物線頂點(diǎn)為A．①求該拋物線關(guān)于y軸的鏡像拋物線的表達(dá)式；②已知該拋物線關(guān)于直線的鏡像拋物線的頂點(diǎn)為B，如果（是銳角），求m的值．(2)已知拋物線的頂點(diǎn)為C，它的一條鏡像拋物線的頂點(diǎn)為D，這兩條拋物線的交點(diǎn)為．如果是直角三角形，求該拋物線的表達(dá)式．7．如圖，拋物線交x軸于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，的面積取得最大值？并求出面積的最大值；(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)M，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．8．已知斜邊上的高長為，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊與x軸重合，直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式；(2)如圖1，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），，交線段于點(diǎn)N，，交線段于點(diǎn)P，連接，是否有最大面積？若有，求出的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，直線l是經(jīng)過點(diǎn)C且平行于x軸的一條直線，如果的頂點(diǎn)C在直線l上向右平移m，（2）中的其他條件不變，（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．9．如圖，拋物線的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)x為何取值范圍時(shí)，y隨x的增大而增大？(3)點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．10．在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定：拋物線的伴隨直線為.例如：拋物線的伴隨直線為即(1)在上面規(guī)定下，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，伴隨直線為，拋物線與其伴隨直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為和；(2)如圖，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與x軸交于點(diǎn)C，D.①若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求m的值；②如果點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積記為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求m的值.11．已知拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)．(1)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)________，點(diǎn)坐標(biāo)________．(2)如圖，點(diǎn)是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，當(dāng)四邊形DEFG的周長最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，將沿BC翻折得到，與軸交于點(diǎn)，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使得是直角三角形，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的頂點(diǎn)，在軸的負(fù)半軸，拋物線過點(diǎn)．(1)求的值；(2)若把拋物線沿軸向左平移個(gè)單位長度，使得平移后的拋物線經(jīng)過菱形的頂點(diǎn)．試判斷點(diǎn)是否落在平移后的拋物線上，并說明理由．(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，已知，，且．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)分別求出直線BC的解析式和拋物線的解析式；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得是以為一條直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．14．如圖，，分別是拋物線：上的三點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；(2)當(dāng)是以為一直角邊的直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在拋物線上A、B兩點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，是否存在一個(gè)位置，使的面積最大？若存在，請(qǐng)求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說明理由．15．如圖所示，在等腰△ABC中，，以底邊的垂直平分線和所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．

(1)寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．(2)若一條與y軸重合的直線以每秒2個(gè)單位長度的速度向右平移，分別交線段，和拋物線于點(diǎn)E，點(diǎn)M和點(diǎn)P，連接，．設(shè)直線移動(dòng)的時(shí)間為t（）秒，求四邊形的面積S（面積單位）與t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并求出四邊形的最大面積．(3)在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：1．(1)(2)6(3)存在，或或或(4)的最大值為，．2．(1)(2)當(dāng)或時(shí)，為直角三角形；3．(1)(2)(3)或或或4．(1)(2)(3)存在，或或或5．(1)拋物線解析式為(2)(3)能，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，直線把分成面積之比為2∶3的兩部分(4)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，6．(1)①；②或(2)7．(1)(2)；(3)或8．(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)有最大面積，當(dāng)時(shí)，△MNP的面積有最大值為(3)（2）中的結(jié)論仍然成立，9．(1)(2)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)是或或或10．(1)，，，