知識(shí)資料導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用5.1基本概念、內(nèi)容、定理、公式1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用意義1)幾何意義：是曲線在處的切線的斜率.2)應(yīng)用意義：設(shè)函數(shù)在處自變量的變化量（也稱增量）為，對應(yīng)的因變量的變化量.稱即與在上的平均變化率，而稱即平均變化率的極限為關(guān)于在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，顯然關(guān)于在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率=.3)曲線在處的切線與法線方程.（1）切線方程：.（2）法線方程：.注：當(dāng)時(shí)，切線方程為，法線方程為；而當(dāng)時(shí)，法線方程為.4)兩曲線的交角：兩曲線的交角就是兩曲線在交點(diǎn)處的兩條切線的夾角.倘若兩曲線為，在對應(yīng)的點(diǎn)處相交，則在點(diǎn)處的交角滿意方程.5）曲線在切點(diǎn)處的向徑與切線的夾角.設(shè)為曲線的極坐標(biāo)，則切點(diǎn)的向徑與切線的夾角（從向徑出發(fā)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到切線所成的角）滿意。注：設(shè)，則，為參數(shù)，則，設(shè)曲線在點(diǎn)處與軸的夾角為，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：，即。2.函數(shù)的單調(diào)性與極值1）函數(shù)單調(diào)性的判別法：設(shè)函數(shù)在上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，（1）倘若在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增強(qiáng)；（2）倘若在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少；2）函數(shù)極值的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，若存在的一個(gè)去心鄰域，對，都有（或），則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值（或極小值）.這時(shí)稱點(diǎn)為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.3）函數(shù)極值的須要條件：若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在處取得極值，那么，此函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，即.4）函數(shù)取得極值的第一充足條件：設(shè)在內(nèi)延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，若當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；若當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；若當(dāng)時(shí)，恒有（或），則函數(shù)在點(diǎn)處沒有極值.5）函數(shù)取得極值的第二充足條件：設(shè)在點(diǎn)處有二階導(dǎo)數(shù)，且，，則（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；注：若存在，使得，且時(shí)，，則為偶數(shù)時(shí)，是極值，且時(shí)是極小值，時(shí)是極大值；而為奇數(shù)時(shí)，不是極值.6）函數(shù)的最大值與最小值：（1）設(shè)函數(shù)在上延續(xù)，按照閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在上必達(dá)到最大值與最小值，最大值與最小值統(tǒng)稱最值.為求在上的最值，只需在它的兩個(gè)邊界值與以及它在該區(qū)間的可能極值點(diǎn)上的一切值中，挑選一個(gè)最大者與一個(gè)最小者，可得函數(shù)在上的最大值與最小值.（2）倘若函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上惟獨(dú)唯一的一個(gè)極值點(diǎn)，則它就是函數(shù)在該區(qū)間的最值點(diǎn)；開區(qū)間內(nèi)的最大值點(diǎn)也是極大值點(diǎn).（3）對于實(shí)際問題：倘若所研究的區(qū)間中惟獨(dú)唯一的一個(gè)駐點(diǎn)，且實(shí)際問題確有最值，則唯一的駐點(diǎn)就是函數(shù)的最值點(diǎn).3.曲線的高低性與拐點(diǎn)1）曲線高低性的定義：設(shè)在區(qū)間上延續(xù)，倘若對上隨意兩點(diǎn)，恒有，則稱在區(qū)間上的圖形是（向上）凹的（或凹?。?；倘若恒有，則稱在區(qū)間上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）.2）曲線高低的充足條件：設(shè)函數(shù)在上延續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）若在內(nèi)恒有，則在上的圖形是凹的；（2）若在內(nèi)恒有，則在上的圖形是凸的；3）拐點(diǎn)的定義：延續(xù)函數(shù)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).注：鄭重地說，拐點(diǎn)是平面光潔曲線（即切線延續(xù)變動(dòng)的曲線）彎曲方向發(fā)生改變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，拐點(diǎn)的幾何特征是，該點(diǎn)的切線不是在曲線的一側(cè)“托”著曲線，而是切線在切點(diǎn)處把曲線一分為二，分離在切線的兩側(cè).4）拐點(diǎn)的須要條件：若是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)，且存在，則.5）拐點(diǎn)的第一充足條件：若曲線在處有切線，且在某鄰域的兩側(cè)異號(hào)，則是曲線的拐點(diǎn).6）拐點(diǎn)的第二充足條件：若，，則是曲線的拐點(diǎn).4.平面曲線的曲率1）平面曲線在一點(diǎn)處曲率的定義：在光潔曲線上，設(shè)的弧長為，給一個(gè)改變量，相應(yīng)切線有一轉(zhuǎn)角，當(dāng)時(shí)，稱為曲線在點(diǎn)處的曲率.2）曲率的計(jì)算公式：若曲線方程為，且具有二階導(dǎo)數(shù)，則曲線的曲率.3）曲率半徑及其計(jì)算：曲線在一點(diǎn)的曲率的倒數(shù)稱為曲線在該點(diǎn)處的曲率半徑，記為，.5.漸近線1）若，則直線是曲線的水平漸近線.2）若，則直線是曲線的垂直漸近線.3）若，且，則直線是曲線的斜漸近線.5.2例題選講1.幾何應(yīng)用例5-1設(shè)曲線方程為，求曲線在對應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程；求曲線上通過原點(diǎn)的切線方程；求曲線上和直線垂直的法線方程.例5-2證實(shí)曲線上任一點(diǎn)與該點(diǎn)的切線和軸的交點(diǎn)的距離恒為常數(shù).例5-3求曲線為常數(shù)）在處的切線及法線方程.例5-4求與曲線相切且與直線垂直的直線方程.注：求切線方程，關(guān)鍵是找切線的斜率及切點(diǎn)，求切線斜率時(shí)需要按照曲線方程的詳細(xì)形式采用相應(yīng)的計(jì)算主意，普通地，曲線方程可有四種類型：直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程，隱函數(shù)式方程，相應(yīng)的斜率計(jì)算就是用各種不同的的主意求導(dǎo)數(shù).2.極值的求法例5-5求數(shù)列的最大項(xiàng).分析：對離散變量不能直接求導(dǎo)數(shù)，因此需利用數(shù)列的通項(xiàng)公式構(gòu)造一自變量延續(xù)取值的函數(shù)，利用函數(shù)的最值來求數(shù)列的最值.注：此題還可變形為：比較兩個(gè)數(shù)的大小.將這兩個(gè)數(shù)的指數(shù)同時(shí)乘，再比較兩個(gè)數(shù)的大小.由上例中的研究可知，從而.例5-6設(shè)可導(dǎo)函數(shù)由方程所決定，試研究并求出的極大值和極小值.例5-7已知，求的極值.注：求函數(shù)極值的步驟為（1）找出可疑極值點(diǎn)，可疑極值點(diǎn)包括駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).（2）判斷.對可疑極值點(diǎn)，利用極值的第一、第二充足條件判定.例5-8設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得極小值，且極小值為0，求函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的極大值.分析：函數(shù)是隨意階可導(dǎo)的初等函數(shù)，因此，在一階導(dǎo)數(shù)為零且二階導(dǎo)數(shù)大于零處取得極小值，在一階導(dǎo)數(shù)為零且二階導(dǎo)數(shù)小于零處取得極大值.可通過對駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的研究求得在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)，從而求得極大值.例設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且滿意，試求函數(shù)的極值。例設(shè)，求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間和高低區(qū)間。例求出使得下列不等式對所有天然數(shù)都成立的最大的數(shù)及最小的數(shù)：提醒：，令，可考慮函數(shù)，。例設(shè)，求的最值和值域。3.函數(shù)的高低區(qū)間及拐點(diǎn)例5-9求曲線的高低區(qū)間及拐點(diǎn).例5-10求曲線的拐點(diǎn).注：求曲線高低區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟為：找出可疑拐點(diǎn)的橫坐標(biāo).可疑拐點(diǎn)包括二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；判斷.利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定曲線的高低區(qū)間及拐點(diǎn).4.極值與最值的應(yīng)用例5-11設(shè)和在內(nèi)二階可導(dǎo)，且滿意，倘若，證實(shí)：.分析：要證，只需證實(shí)的最大值與最小值都為零即可.例5-12對于一切實(shí)數(shù)滿意微分方程.（1）倘若在點(diǎn)有極值，證實(shí)它是極小值；（2）倘若在有極值，問它是極小值還是極大值？（3）倘若，求最小常數(shù)使對于所有，有.證實(shí)：（2），容易證實(shí)所以由極值的第二充足條件可知：是極小值.（3）令，因，定義；又，，定義.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，由此得，在上單減.故當(dāng)時(shí)，，于是由所給方程得，當(dāng)時(shí)有.設(shè)，.僅當(dāng)時(shí)，，而，即知，而，又知，即.所以取常數(shù)，當(dāng)有，且為最小常數(shù).例5-13一個(gè)高度為10m的正圓錐通過增強(qiáng)底面半徑以改變其形狀，在底面半徑達(dá)到5m的時(shí)候，試問它要有多快的增長率才干使圓錐體積以的速度增長？注：求相關(guān)變化率的步驟：分析題意，建立相關(guān)變量之間的等量關(guān)系；（2）關(guān)系式兩邊同時(shí)對求導(dǎo)；（3）代入指定時(shí)刻的已知變量及變化率，求出未知變化率.例5-14由曲線圍成曲邊三角形，在曲邊上求一點(diǎn)，過此點(diǎn)作的切線，使該切線與直線段所圍成的三角形面積最大.注：對實(shí)際應(yīng)用問題求最值，首先要建立函數(shù)關(guān)系，普通把要求最值的量作為目標(biāo)函數(shù)，由實(shí)際問題決定函數(shù)的定義區(qū)間；第二求函數(shù)的最值，若該函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)部惟獨(dú)一個(gè)駐點(diǎn)，而由實(shí)際問題性質(zhì)又能決定最值在該區(qū)間內(nèi)部取得時(shí)，不必研究該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，就可斷言該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最值.5.曲率例5-15求橢圓曲率的最大值與最小值.分析：首先求出曲率的表達(dá)式，再利用閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)求最值的主意求曲率的最大值與最小值.注：平面曲線曲率計(jì)算公式.不僅適用于由直角坐標(biāo)方程給出曲線的曲率計(jì)算，也適用于由參數(shù)方程表示的曲線及極坐標(biāo)所表示的曲線的曲率計(jì)算.相當(dāng)于求上述三種情形的二階導(dǎo)數(shù).6.函數(shù)作圖例5-16作函數(shù)的圖形.分析：函數(shù)的解析表達(dá)式不直觀，首先將其恒等變換，再利用函數(shù)作圖的步驟來畫圖.注：函數(shù)作圖的步驟：（1）決定的定義域，并求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù).（2）求出方程和=0在函數(shù)定義域內(nèi)的所有實(shí)根及使和不存在的點(diǎn)，用以上兩種點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間；（3）決定這些部分區(qū)間內(nèi)和的符號(hào)，并由此決定函數(shù)圖形的升降、高低和拐點(diǎn)，以及函數(shù)的極值點(diǎn)；（4）決定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線及斜漸近線；（5）列表并作出函數(shù)圖形.例5-17求下列曲線的漸近線：（1）；（2）；解：（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，?又，所以是垂直漸近線.同理是垂直漸近線.又，故無水平漸近線.又，且，故是斜漸近線.（2）這是一個(gè)求隱函數(shù)圖形的漸近線的問題，即求出和.將原方程兩邊同除以，得.假設(shè)，則對上述方程求極限，得，即.下面證實(shí)：.將原方程變形為，從而.注重到有下列不等式由夾逼法則，即有，故.又.故是原曲線的斜漸近線.練習(xí)：求曲線的漸近線。5.3練習(xí)題5-1曲線上哪一點(diǎn)處的切線與直線平行？寫出切線方程.5-2當(dāng)時(shí)，求擺線的切線方程及法線方程.5-3當(dāng)時(shí)，求對數(shù)螺線為常數(shù)）的切線方程與法線方程.5-4求曲線在處的切線方程.5-5已知是周期為5的延續(xù)函數(shù).它在的鄰域內(nèi)滿意關(guān)系式，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小，且在處可導(dǎo)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.5-6證實(shí)數(shù)列為遞減數(shù)列.5-7研究下列函數(shù)在指定范圍內(nèi)的增減性，并給出增減區(qū)間.（1）；（2），；（3）；5-8求下列函數(shù)的極值：（1）；（2）；5-9問為何值時(shí)，函數(shù)在處取得極值，它是極大值還是極小值？并求此極值.5-10求函數(shù)的極值.5-11設(shè)函數(shù)由方程所決定，試求的極值.5-12求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值和最小值：（1）；（2）；（3）；5-13研究函數(shù)的極值.5-14設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)在上的最大值.5-15求出使得下列不等式對所有天然數(shù)都成立的最大的數(shù)及最小的數(shù)：.5-16試求內(nèi)接于半徑為R的球內(nèi)的圓錐體的最大體積.5-17已知平面曲線L的方程為，求把L圍在內(nèi)部且各邊平行于坐標(biāo)軸的矩形中的面積最小者，并求其面積.5-18若以表示在上的最大值與最小值之差，試求的最小值.5-19求曲線的高低區(qū)間及拐點(diǎn).5-20若曲線有拐點(diǎn)，試求的取值范圍.5-21設(shè)一球體，其半徑以的速度增強(qiáng)，當(dāng)其半徑為時(shí)，問體積的增強(qiáng)速度為多少？5-22曲線弧上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最??？求出該點(diǎn)處的曲率半徑.5-23設(shè)是拋物線上任一點(diǎn)處的曲率半徑，是該曲線介于點(diǎn)與之間的弧長，計(jì)算的值.5-24設(shè)曲線由方程組決定，試求該曲線在處的曲率.5-25作函數(shù)的圖形.5-26求由軸上的定點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)的最短距離.5-27設(shè)計(jì)一個(gè)地面控制的自動(dòng)降臨系統(tǒng)，需把臨近跑道的降臨路線設(shè)計(jì)為一條三次拋物線（如圖5-2）.設(shè)開始下降的高度為，原點(diǎn)為著地點(diǎn)，垂直方向的加速度絕對值不超過，水平方向翱翔速度為常數(shù).試求允許下降點(diǎn)的最小值.圖5-25-28求下列函數(shù)的漸近線：（1）；（2）；（3）.5.4答案與提醒5-1曲線上和處的切線平行于直線，相應(yīng)的切線方程為及.5-2切線方程：；法線方程：.5-3切線方程：；法線方程：.5-4.5-5由，得，又，即，從而，所以，故過點(diǎn)的切線方程為.5-6設(shè)，證實(shí)當(dāng)時(shí)，即可.5-7（1）在上單減；（2）在上單增；在上單調(diào)減少；（3）在上單減；在上單增；5-8（1）是極大值，是極小值.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不是極值，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是極小值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，不是極值，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，是極小值；無論m,n為奇為偶都是極大值.5-9時(shí)，是極大值，且極大值.5-10極大值，極小值，極大值.5-11為極小值點(diǎn)，極小值為.5-12（1）是最大值，無最小值；（2）是最大值，是最小值.（3）為最小值，為最大值.5-13當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在點(diǎn)有極大值；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，無極值.5-14可證在上單減，即為最大值.5-15注重到，故設(shè)，則是單調(diào)減的函數(shù).故，.5-16最大值為.5-17過點(diǎn)分離作平行于軸的直線與過點(diǎn)分離作平行于軸的直線所圍成的矩形即為所求，這矩形的面積為.5-18.（1）當(dāng)時(shí)，，單增，所以，這時(shí)，單減.（2）當(dāng)時(shí)，，單減，所以，這時(shí)，單增.（3）當(dāng)時(shí)，令，即，解得.因，所以在處取得極小值，亦即最小值.在上，，單減；在上，，單增，比較其中較大者即為最大值.（a）設(shè)，即，解得.即當(dāng)時(shí)，在上的最大值為，已求得最小值為，所以，這時(shí)，在上單減.（b）設(shè)，即，解得.這時(shí)在上的最大值為，已求得最小值為，所以，這時(shí)，在上單增.（4）可分離求得，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或.綜合起來得最小值為.5-19為凸區(qū)間，為凹區(qū)間，是拐點(diǎn).5-20當(dāng)或時(shí)，所給曲線有拐點(diǎn).要使曲線有拐點(diǎn)，首先要使，即.這相當(dāng)于曲線與有交點(diǎn).（1）若，（從而），直線必與曲線相交，且易知交點(diǎn)橫坐標(biāo)所對應(yīng)的曲線上的點(diǎn)是拐點(diǎn)；（2）若，（從而），直線與曲線相交的極限位置就是該直線與曲線相切時(shí)的位置.為此，求該切線所對應(yīng)的值.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，