新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案6-3-5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示[目標(biāo)]1.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積；2.能夠用向量坐標(biāo)求數(shù)量積、模及兩個(gè)向量的夾角；3.能夠利用坐標(biāo)判斷向量的垂直關(guān)系．[重點(diǎn)]用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積．[難點(diǎn)]用坐標(biāo)求向量的模及兩向量的夾角．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示[填一填]設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．[答一答]1．公式a·b＝|a||b|cosθ與a·b＝x1x2＋y1y2有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示：兩個(gè)公式都是用來(lái)求兩向量的數(shù)量積的，沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是書(shū)寫(xiě)形式的差異，可以相互推導(dǎo)；若題目給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用a·b＝|a||b|·cosθ求解，若已知兩向量的坐標(biāo)，則可選用a·b＝x1x2＋y1y2求解．知識(shí)點(diǎn)二平面向量長(zhǎng)度(模)的坐標(biāo)表示[填一填]若向量a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2，或|a|＝eq\r(x2＋y2).其含義是：向量的模等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．[答一答]2．對(duì)于任意的非零向量a＝(x，y)，如何用坐標(biāo)表示與向量a同向的單位向量？提示：記向量a的單位向量為a0，則a0＝eq\f(a,|a|)，且|a|＝eq\r(x2＋y2)，所以a0＝eq\f(a,|a|)＝eq\f(1,\r(x2＋y2))(x，y)＝(eq\f(x,\r(x2＋y2))，eq\f(y,\r(x2＋y2)))，此為與向量a＝(x，y)同向的單位向量．3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎樣求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度？提示：由于eq\o(AB,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1)且線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度等于向量eq\o(AB,\s\up16(→))的模，所以線(xiàn)段AB＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知識(shí)點(diǎn)三兩向量垂直的坐標(biāo)表示[填一填]設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.[答一答]4．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b與a⊥b的坐標(biāo)表示有何區(qū)別？提示：若a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0.若a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.兩個(gè)結(jié)論不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)，分別簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相等，橫橫縱縱積相反．知識(shí)點(diǎn)四平面向量夾角的坐標(biāo)表示[填一填]設(shè)a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(0≤θ≤π)．[答一答]5．兩向量a與b滿(mǎn)足a·b<0，a與b的夾角一定是鈍角嗎？提示：不一定，a與b夾角可能是180°.典例講練破題型類(lèi)型一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算[例1]已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，(a＋b)·(2a－b[分析]運(yùn)用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的法則及相關(guān)性質(zhì)求解．[解]a·b＝1×2＋3×5＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a∴2a－b∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì).解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi)，再依據(jù)已知計(jì)算.[變式訓(xùn)練1]向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·aA．－1B．0解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)×類(lèi)型二向量的模的問(wèn)題[例2](1)向量eq\o(AB,\s\up16(→))與向量a＝(－3,4)的夾角為π，|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝10，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A．(－7,8)B．(9，－4)C．(－5,10) D．(7，－6)(2)設(shè)向量a與b的夾角為θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，則|b|＝________，cosθ＝________.[解析](1)∵向量eq\o(AB,\s\up16(→))與向量a＝(－3,4)的夾角為π，∴設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝ka＝k(－3,4)＝(－3k,4k)(k<0)．由此可得|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝eq\r(－3k2＋4k2)＝10，解之得k＝－2(k＝2舍去)．∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝(6，－8)，設(shè)B(m，n)，得eq\o(AB,\s\up16(→))＝(m－1，n－2)＝(6，－8)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝6,n－2＝－8，))解得m＝7，n＝－6，∴B(7，－6)，故選D.(2)b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(－1，－1)＝(1,1)，則|b|＝eq\r(2)，a·b＝6.又|a|＝3eq\r(2)，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(6,6)＝1.[答案](1)D(2)eq\r(2)1(1)要求向量的模需先由條件求出向量的坐標(biāo)，再求模．(2)已知向量的模求坐標(biāo)，要設(shè)出坐標(biāo)列方程(組)求解．[變式訓(xùn)練2]已知點(diǎn)A(1，－2)，若向量eq\o(AB,\s\up16(→))與a＝(2,3)同向，且|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2eq\r(13)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(D)A．(5，－4) B．(4,5)C．(－5，－4) D．(5,4)解析：設(shè)B(x，y)，則eq\o(AB,\s\up16(→))＝(x－1，y＋2)，由eq\o(AB,\s\up16(→))與a＝(2,3)同向，所以3(x－1)＝2(y＋2)>0，①又|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2eq\r(13)，所以eq\r(x－12＋y＋22)＝2eq\r(13)，②聯(lián)立①②解得x－1＝4且y＋2＝6.所以x＝5且y＝4，故B(5,4)，選D.類(lèi)型三向量的夾角與垂直問(wèn)題[例3](1)已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a與b的夾角θ為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A．(－∞，－2)∪(－2，eq\f(1,2))B．(eq\f(1,2)，＋∞)C．(－2，eq\f(2,3))∪(eq\f(2,3)，＋∞)D．(－∞，eq\f(1,2))(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________.[分析]對(duì)非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，則θ為銳角?cosθ>0且cosθ≠1?a·b>0且a≠mb(m>0)；θ為鈍角?cosθ<0且cosθ≠－1?a·b<0且a≠mb(m<0)；θ為直角?cosθ＝0?a·b＝0.[解析](1)∵a與b的夾角θ為銳角，∴cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a與b方向不同，即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－2)∪(－2，eq\f(1,2))．故選A.(2)因?yàn)閍＋b＝(m－1,3)，a＋b與a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.[答案](1)A(2)7根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求a與b的夾角時(shí)，需要先求出a·b及|a|，|b|，再求夾角的余弦值，從而確定θ.[變式訓(xùn)練3]平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝2.解析：設(shè)c與a的夾角為α，c與b的夾角為β，由已知得c＝(m＋4,2m＋2)，因?yàn)閏osα＝eq\f(c·a,|c|·|a|)，cosβ＝eq\f(c·b,|c|·|b|)，所以eq\f(c·a,|c|·|a|)＝eq\f(c·b,|c|·|b|)，又由已知得|b|＝2|a|，所以2c·a＝c·b，即2[(m＋4)＋2(2m＋2)]＝4(m＋4)＋2(2m＋2)，解得m＝2.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，則xA．3B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－3解析：3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－eq\f(1,3).2．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是(C)A．{2,3} B．{－1,6}C．{2} D．{6}解析：考查向量垂直的坐標(biāo)表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，則由x的值構(gòu)成的集合是{2}．3．已知a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝2.解析：因?yàn)閍＋b＝(－1，eq\r(3))，所以|a＋b|＝eq\r(－12＋\r(3)2)＝2.4．已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，則a，b夾角的余弦值等于－eq\f(3,5).解析：∵a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，∴b＝eq\f(1,2)[a－(a－2b)]＝(1，－2)，∴a·b＝2－8＝－6.設(shè)a，b的夾角為θ，∵a·b＝|a|·|b|·cosθ＝2eq\r(5)×eq\r(5)×cosθ＝10cosθ，∴10cosθ＝－6，∴cosθ＝－eq\f(3,5).5．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b和c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m與向量n解：(1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.∴y＝－3.∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－bn＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，設(shè)m，n的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(－3×7＋－4×1,\r(－32＋－42)×\r(72＋12))＝eq\f(－25,25\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(3π,4)，即m，n的夾角為eq\f(3π,4).——本課須掌握的三大問(wèn)題1．向量的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)化了向量數(shù)量積的運(yùn)算．為利用向量法解決平面幾何問(wèn)題以及解析幾何問(wèn)題提供了完美的理論依據(jù)和有力的工具支持．2．應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長(zhǎng)度等幾何問(wèn)題，在學(xué)習(xí)中要不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．3．注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，二者不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)、記憶．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題開(kāi)講啦用含有三角函數(shù)的坐標(biāo)表示向量，就使得向量與三角函數(shù)建立了密切的內(nèi)在聯(lián)系．通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系是解題的第一步，根據(jù)題目要求，求解余下的三角函數(shù)問(wèn)題是解題的第二步，利用這兩步求解的策略，可將向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本問(wèn)題解決．[典例]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值．(2)若m與n的夾角為eq\f(π,3)，求x的值．[解](1)因?yàn)閙＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因?yàn)閨m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因?yàn)?<x<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<x－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).[針對(duì)訓(xùn)練]已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量(b＋c)的長(zhǎng)度的最大值；(2)設(shè)α＝eq\f(π,4)，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．解：(1)∵b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)，∴b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，∴|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4.∴0≤|b＋c|≤2.當(dāng)cosβ＝－1時(shí)，|b＋c|＝2.∴(b＋c)的長(zhǎng)度的最大值為2.(2)∵α＝eq\f(π,4)，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).又b＝(cosβ，sin