2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第四章三角函數(shù)、解三角形4-4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第四節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

,最新考綱,

1.能畫出y=si〃x,y=cosx,y=?∕"x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.

2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間［0,2淚上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值，圖象

與X軸的交點(diǎn)等).

3.理解正切函數(shù)在區(qū)間(-］，$內(nèi)的單調(diào)性.

?考向預(yù)測?

考情分析：三角函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性都將是高考考查的熱點(diǎn)，

題型仍將是選擇題與填空題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過三角函數(shù)圖象考查直觀想象的核心素恭；通過三角函數(shù)性質(zhì)考查數(shù)學(xué)運(yùn)

算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖

(l)y=si"x的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,0),(p1),(π,0),,(2π,0).

(2)y=cosx的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,1),號,0),,岑，0),(2π,1).

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinXy=cosXy=tanX

圖木

象舉-工

{xpv∈R且x≠

定義

x∈Rx∈R

域]+E,?∈Z}

值域~^

上遞增，上涕

單調(diào)?∈Z;增，?∈Z;____________上遞

性______________上遞減，______________上遞增，?ez

_________&∈z_________減，k∈z

X=_________時(shí)，Vmax=X=________時(shí)，

最κ?∈z);J7max=1(*∈Z);

無最值

值X=_________時(shí)，Jmin~X_______，?min

________一1伏∈Z)_______=7(A∈Z)

奇偶性一

_______________________

對稱中心：對稱中心：對稱中心：

對稱性

對稱軸I：對稱軸/:

無

周期性一

____________________________________

二、必明3個(gè)常用結(jié)論

1.對稱與周期的關(guān)系

正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個(gè)對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個(gè)周期，

相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個(gè)周期；正切曲線相鄰兩個(gè)對稱中心之間的

距離是半個(gè)周期.

2.與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

(1)若y=Asin(3x+p)為偶函數(shù),則有φ=kπjr^(ZGZ)；若為奇函數(shù),則有φ=kπ(k≡Z).

(2)若y=Acos(cox+p)為偶函數(shù),則有9=E(kCZ);若為奇函數(shù),則有夕=也+］(&∈Z).

(3)若y=Atan(COX+9)為奇函數(shù)，則有φ=kπ(kGZ).

3.求周期的三種方法

(1)利用周期函數(shù)的定義：Λx+D=Xx).

(2)利用公式：y=Asin(tux+0)和y=Acos(<υx+夕)的最小正周期為三，y=tan((υx+p)

∣ω∣'

的最小正周期為嵩

(3)利用圖象：圖象重復(fù)的X軸上一段的長度.

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或"X”).

(l)y=sinx在第一、第四象限是增函數(shù).()

(2)余弦函數(shù)y=cosx的對稱軸是y軸.()

(3)正切函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù).()

(4)已知y=1sinx+l,x∈R,則)，的最大值為k+l.()

(5)y=sin∣x∣是偶函數(shù).()

(6)若SinQ■爭則Xq.()

(二)教材改編

2.［必修4?Pito練習(xí)T4改編］下列關(guān)于函數(shù)y=4cosx,χ∈［-π,無］的單調(diào)性的敘述，正確

的是()

A.在［一兀，0］上是增函數(shù)，在［O,π］上是減函數(shù)

B.在上是增函數(shù)，在及上是減函數(shù)

C.在［0,兀］上是增函數(shù)，在［一π,0］上是減函數(shù)

D.在及上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)

3.［必修4?P38例3改編］函數(shù)y=3-2cos(x+》的最大值為,此時(shí)X=.

(三)易錯(cuò)易混

4.(忽視區(qū)間的限制)函數(shù)y=3sin(2X-≡)(x∈)的值域是______.

6

5.(忽視的數(shù)的定義域)函數(shù)y=/T的值域是-

(四)走進(jìn)高考

6.[2021?新高考I卷]下列區(qū)間中，函數(shù)y(x)=7sin(x-》單調(diào)遞增的區(qū)間是()

A.(O,?)B.(pπ)

C.(π,y)D.(y,2π)

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域[基礎(chǔ)性J

1.[2022?陜西西安市調(diào)研]函數(shù)J=tan(；-x)的定義域?yàn)?)

A.[x?x≠kπ-9，?∈Z}

B.[xx≠2kπ--,?∈Z}

?4

C.{x?x≠kπ+%?∈Z}

D.{x?x≠2kπ+3，?∈Z}

2.[2022?湖北荊州市檢測]函數(shù))，=Jlog5(l—2Sinx)(-衿X帶)的定義域是()

A.[-?,0JB.[-I，I]

c.[-7,0)D[-pI)

226

考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性[綜合性]

角度1三角函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)

[例1]⑴函數(shù)y=sinξ-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

(2)函數(shù)y=∣tanx∣的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

聽課筆記：

反思感悟求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法

(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角“(或f),利用

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解.

(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.

[注意]要注意求函數(shù)y=Asin(cυx+0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)co的符號，若<υ<0,那么一定要先

借助誘導(dǎo)公式將“化為正數(shù).同時(shí)切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域.

角度2利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值)

[例2](l)y=2sin(9-J)(°WxW9)的最大值與最小值之和為()

o3

A.2—V3B.O

C.—1D.—1-V3

(2)函數(shù)y=sinχ-cosx÷sinxcosΛ的值域?yàn)?

聽課筆記：

反思感悟求三角函數(shù)的值域(最值)的方法

(1)直接法：形如y=αsinx+k或y=acosx+k的三角函數(shù)，直接利用sinx,cosx的值

域求出.

(2)化一法：形如y=αsinx+bcosx+k的三角函數(shù)，化為y—Asin(ωx+φ)+k的形式，

確定ωx+φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值).

(3)換元法：形如y=0sin"十力SirLr+k的三角函數(shù)，可先設(shè)SinX=/，化為關(guān)于1的二次

函數(shù)求值域(最值)；形如y—asinxcosx÷?(sinx÷cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)r=sinx±cosx9

化為關(guān)于f的二次函數(shù)求值域(最值).換元后要注意標(biāo)出/的取值范圍.

角度3已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

[例3](l)[2022?商丘市中學(xué)測試]已知函數(shù)段)=sin(5+5(3。)在(0,6上單調(diào)遞增，

66

則ω的取值范圍為()

A.(0,2]B.(0,2)

C.(0,3]D.(0,3)

(2)[2022?云南昆明模擬]已知函數(shù)兀O=Sin(GX->(①>0),x∈的值域是，則。的取值范圍

是()

33

A.(0,∣]B.[∣,3J

c?t3?d??i]

聽課筆記：

反思感悟已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

(1)明確一個(gè)不同："函數(shù)y(x)在區(qū)間M上單調(diào)”與“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為N”兩者的

含義不同，顯然例是N的子集；

(2)抓住兩種方法.已知函數(shù)在區(qū)間M上單調(diào)求解參數(shù)問題，主要有兩種方法：一是利用

已知區(qū)間與單調(diào)區(qū)間的子集關(guān)系建立參數(shù)所滿足的關(guān)系式求解；二是利用導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函

數(shù)在區(qū)間M上的保號性，由此列不等式求解.

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)4r)=2sin('+》則段)在[T,1]上的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.l-?1,1?]B.[-1,-1J

c.[-1,1]D.[-?,勺

44

2.[2022?任丘市第一中學(xué)測試]函數(shù)加)=2cos2χ-3CoSX,其中x∈的值域?yàn)?)

99

A.,+8)B-1]

OO

c.[1-,-1]D?[-11考]

3.[2022?千陽縣中學(xué)測試]函數(shù)/)=2CoS(ωx+≡)(ω>O)?(?,爭上單調(diào)遞減，則co的

最大值是()

A.1B.—

4

C.—D.4

3

考點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)[綜合性、應(yīng)用性]

角度1三角函數(shù)的周期性

[例4]⑴[2022?哈爾濱市檢測]函數(shù)於)=cos2χ-si??的最小正周期為.

(2)[2022.張家口市宣化模擬]函數(shù)yU)=∣sinx+cosΛ∣+∣sinx-cosx∣的最小正周期T=

⑶在函數(shù)①y=cos∣2x∣;②y=∣cosx∣:③y=cos(2x+^);④y=tan(2x-E)中，最小正周期

為π的所有函數(shù)為.

聽課筆記：

反思感悟正弦型或余弦型函數(shù)圖象中與最小正周期T有關(guān)的一些結(jié)論

(1)任意相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(最低點(diǎn))的橫坐標(biāo)相差T.

(2)任意相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差(.

(3)任意相鄰的兩個(gè)對稱中心的距離為三.

(4)任意一個(gè)最高點(diǎn)(最低點(diǎn))與相鄰的對稱中心的橫坐標(biāo)相差二.

4

角度2三角函數(shù)的對稱性、奇偶性

［例5］(1)當(dāng)尤=3時(shí)，函數(shù)TW=ASin(x+0)(4>0)取得最小值,貝U函數(shù))，=_/《-x)是()

A.奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線X=］對稱

B.偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線X=］對稱

C.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)弓，0)對稱

D.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)弓，0)對稱

(2)已知函數(shù)4X)=Sinx+熹，則()

A.危)的最小值為2

B.兀V)的圖象關(guān)于y軸對稱

C?./(X)的圖象關(guān)于直線X=Tr對稱

D.段)的圖象關(guān)于直線尸與對稱

聽課筆記：

反思感悟求三角函數(shù)對稱軸方程與對稱中心坐標(biāo)的方法

(1)求y(x)=Asin(0>x+p)圖象的對稱軸方程，只需對ttw+。=/+E(AdZ)整理；求對稱

中心橫坐標(biāo)只需令"x+p=E(ACZ),求X即可；

(2)求./W=Acos(ox+夕)圖象的對稱軸方程，只需對(υx+9=E(kWZ)整理，求對稱中心

橫坐標(biāo)只需令cox+夕=]+Aπ(k∈Z),求X即可；

(3)求yU)=Atan((yχ+p)圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令。x+°=(Z∈Z),求X即

可.

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2022?河南洛陽市檢測]已知函數(shù)./U)=Sinωx÷cos3x(<o>0)的最小正周期為兀，貝!!該

函數(shù)的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)(=,0)對稱B.關(guān)于直線X==對稱

JO

C.關(guān)于點(diǎn)弓，0)對稱D.關(guān)于直線X=?對稱

2.已知函數(shù)/U)=sinxcosx,則()

A.兀0的最小正周期是2兀，最大值是1

B.大X)的最小正周期是兀，最大值是?

C.7U)的最小正周期是2π,最大值是?

D../(X)的最小正周期是π,最大值是1

微專題/7巧取特值有效求參思想方法

[例]已知8?,函數(shù)兀O=Sin(2ωx+9)在區(qū)間(會(huì)爭內(nèi)沒有最值，則ω的取值

范圍是()

?-?*2]B-?]

C?UD??,1]

解析：方法一當(dāng)式x)取得最值時(shí)，2s+;=]+E,k∈Z,解得X=合+野,?∈Z.

依題意得x=B+襄4g，9，YZ.

令」,+空w??,Λ∈Z,解得0》工+鼠Z∈Z,當(dāng)Z=O時(shí)，ω^~.

8ω2ω244

令+磬》今，keLr,解得①W與巧，?≡Z,又①>L所以當(dāng)Z=I時(shí)，ω≤^?.

8ω2ω21231212

所以G的取值范圍是.故選C.

方法二根據(jù)選項(xiàng)知，當(dāng)G=;時(shí)，

-X）=Sin（U

因?yàn)閄G弓，.所嗎Xqe（M9，

當(dāng)*時(shí)段）取得最值，不符合題意，排除A.

當(dāng)3=］時(shí)，段）=Sin（Ir+》因?yàn)棣諧（1,y）,所以1代右（2，π）,函數(shù)沒有最值，符

合題意，B,D均未包含不符合題意，排除B,D.故選C.

答案：C

名師點(diǎn)評常見的求參數(shù)范圍的選擇題，常?？梢酝ㄟ^由題目選項(xiàng)中的范圍取特殊值驗(yàn)

證題目條件，或者由題目中的任意性取值檢驗(yàn)選項(xiàng)的方式排除錯(cuò)誤選項(xiàng)求解.

［變式訓(xùn)練］［2022.湖北武漢調(diào)研］已知函數(shù)段）=2Sin（（OX+B）在區(qū)間（0,會(huì)上單調(diào)遞增，

則3的最大值為（）

A.-B.1

2

C.2D.4

第四節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

積累必備知識(shí)

、

1.⑴管,-1)(2)(π,-D

2.{J∣-1≤J≤1}<J∣-1≤J≤1}R[-]+2"π,1+2J?]ζ+2kπ,y+2*π∣[(2k

—l)π,2kπ?[2kπ9(2?÷l)π](―^÷?π)^÷2Λπ—^÷2?π2kππ÷2?π奇

函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)(Λπ,0),?∈Z(kπ+p0),Λ∈Z管，θ),A∈Zx=*π+p

?∈Zx=kπ,%∈Z2π2ππ

三、

1.答案：(I)X(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×

2.解析：y=4cosx在［―兀，0］上是增函數(shù)，在［0,兀］上是減函數(shù).

答案：A

3.解析：函數(shù)y=3—2CoS(x+：)的最大值為3+2=5,此時(shí)x+^=兀+2E,?∈Z,即

X=科+2?π(k∈Z).

πππ5?

時(shí)

故

解

當(dāng)

4析∈O∈1

一

--一πn

2666sl

3-

∈13即y2X3

2

答

案3

5.解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=M^=cosx的定義域?yàn)閧Λ'∣XZ≠E+］且x≠E,KCZ}.所以該函數(shù)

的值域?yàn)?一1,0)U(0,1).

答案：(一1,0)U(0,1)

6.解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為Qkπ-］,2kπ+］(k∈Z),

對于函數(shù)7(x)=7sin(X—*由2比一3^—*2E+］(k∈Z),

解得2E—%x<2E+*(k∈Z),

取k=o,可得函數(shù)y(χ)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(一^,?),

則(。，?w-p.gM-P.A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；

取-1,可得函數(shù)小)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(苧，γ),

(π,y)￠(~=,W)且(π,?)￠(?,γ),嶗2π)Z(*,?),CD選項(xiàng)均不滿足條

件.

答案：A

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

1.解析：由2—Xw)及兀+E(∕n∈Z)=xW—Anπ--(∕∏∈Z),因?yàn)楱M∏≡Z,所以一IneZ,即XWkTI

424

--?,?≡Z.

4

答案：A

2.解析：由題意，得

1—2sinx>O

log5(l—2sinx)≥0,

{ππ

sinx<?/.,c

2(sinx≤0rπ-i

1—2sinx≥1,即VYVE，Λx∈--,0L

-=≤x≤=Li"l2j

{22

答案：A

考點(diǎn)二

例1解析：(1)函數(shù)y=sin(g-2x)=-Sin(2x—的單調(diào)遞減區(qū)間是函數(shù)y=sin

(2x—的單調(diào)遞增區(qū)間.

由2E——≤2x—-≤2?π+-,?≡Z,

232

得"πl(wèi)"?IWXWEkRLr.

故所給函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-jkπ+g],?∈Z.

(2)作出函數(shù)y=∣tanx∣的圖象，如圖.

觀察圖象可知，函數(shù)y=∣tanx∣的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ,kπ+=),k∈Z;單調(diào)遞減區(qū)間為

(kπ-kπj,?∈Z.

答案：(l)[kn-?kπ+g],?∈Z

(2)fkπ,kn+》?∈Z(kn-],kπ∣,A∈Z

例2解析：⑴因?yàn)?X≤9,所以一牌荒*≤?,所以一日Wsin償一m)WL所以

—√3≤y≤2,所以ymaχ÷?min=2-√3.

(2)設(shè)r=sinχ-COSX,貝∣J-VΣWr≤VΣ,r2=sin2χ+cos2χ-2sinx?cosx,則sinxcosx=^y-,

所以y=—9+，+：—/一1>+1.當(dāng)t=?時(shí)，ymax=1；當(dāng)/=一√∑時(shí)，Mnin=-1-√∑所以

答案：(I)A(2)[—?—V2,lj

例3解析：(1)當(dāng)Xe(0,時(shí),S+仁，傳,詈+》

因?yàn)楹瘮?shù)&X)=Sin(0)*+9)在(0,§上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)+?≤R解得0<GW2,①的取值范圍為(0,2].

(2)方法一因?yàn)閄ei0,：],ω>0,所以tux-?--,又當(dāng)χc[θ,時(shí)，

,Λ-?)e[-1]>所以]≤詈一T≤拳解得IW(OW3.

方法二當(dāng)”=2時(shí)，y(x)=sin(2x—胃因?yàn)閄CI0,外所以2x—沔卜：，胃所以

sin(2x-=)∈[-^,1],滿足題意，故排除A,C,D項(xiàng).

答案：(I)A(2)B

對點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：令2Aπ-^50/+EW2?π+q,?∈Z,得χC∣4k-J,4k+∣l,?∈Z,又XGL

1,1],所以4X)在[-1,1]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[—1,?].

答案：B

2.解析：；COSXG償，1]令f=cosx,則原函數(shù)為?=2於一3/,戶,，1]

該函數(shù)對稱軸為/="償，1],開口向上，故式Omin=/G)=2X(1-3X,=一￡

又式￥)=2X(￥)2—3X￥=1—爭ΛD=2×12-3×1=-1,

.?√U)的值域?yàn)椴穏,-1].

答案：B

3.解析：因?yàn)楹瘮?shù)外)=2cos(ωx+=)(ω>0)?g,斗)上單調(diào)遞減，

所以郊—2=E≤2τ=E,所以0<oW4.

4242ω

所以XeC'?)>≡÷Ze(zω+4,Tω+4)

因?yàn)閥=cosx的單調(diào)遞減區(qū)間為[2Zπ,π÷2?π],Λ∈Z,

所以13ππ?解得一^+4AWG≤1+水，?≡Z,

—ω+-≤π+2kπ23

\44

由于一三+4%W1+助，k∈Z,故ZW2,?∈Z.

238

所以當(dāng)Z=I時(shí)，得口的最大區(qū)間：

∣≤ω≤^?,故①的最大值是*

答案：C

考點(diǎn)三

例4解析：⑴因?yàn)槭絏)=CoS2r,所以函數(shù)危)=cos2χ-si∏2χ的最小正周期為7=亨=π.

(2)?.√(x+≡)=∣sin(x+1)+COS(X+^∣+∣sin(×+^)-COS(x+])]

=ICoS%—sinx?÷∣cosx÷sinXl=ISinx÷cosx∣÷∣sinχ-cosx?=fi,x),.,?,∕(x)?以m為周期的函

數(shù)，

：當(dāng)XW(0,E)時(shí)，y(x)=sinx+cosx+cosχ-sinx=2cosx,函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)Xe(E，/),./(X)=SinX+cosx+sinX-COSX=2sinx,函數(shù)單調(diào)遞增，

...在[o,三內(nèi)不存在小于]的周期，是HX)的最小正周期.

(3)①y=cos∣2x∣=cos2Λ,最小正周期為兀；②由圖象知y=∣cosx∣的最小正周期為π;③y

=Cos(2x+弓)的最小正周期T=g=π;④y=tan(2x-弓)的最小正周期T=1.

答案：(l)π(2弓⑶①②③

例5解析：(1)因?yàn)楫?dāng)X=E時(shí)，函數(shù)√(x)=Asin(x+0)(A>0)取得最小值，所以3+夕=一

]+2E,?∈Z,即夕=一4+2而，?∈Z,所以?r)=Asin(X一手)(A>0),

所以尸尼-X)=Asin(?-X—γ)=-ACoSx,所以函數(shù)y=∕g-x)為偶函數(shù)且圖象關(guān)