（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題9 平面解析幾何 68 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)(1)理解橢圓的定義，能利用定義求方程；(2)會(huì)依據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程用待定系數(shù)法求橢圓方程.訓(xùn)練題型(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓定義的應(yīng)用；(3)求參數(shù)值.解題策略(1)定義法求方程；(2)待定系數(shù)法求方程；(3)根據(jù)橢圓定義及a、b、c之間的關(guān)系列方程求參數(shù)值.1．橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則PF2＝________.2．(2015·廈門上學(xué)期期末)橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>0)的右焦點(diǎn)為F，直線y＝x＋m與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若△FAB周長(zhǎng)的最大值為8，則m＝________.3．(2015·四川石室中學(xué)“一診”)點(diǎn)F為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)A，使得△AOF為正三角形，那么橢圓的離心率為________．4．(2015·三明模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且PF1∶PF2＝4∶3，則△PF1F2的面積為________．5．(2015·衡水冀州中學(xué)上學(xué)期第四次月考)若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(1,2)，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1，x2，則點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)的距離為________．6．一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq\r(3))是橢圓上一點(diǎn)，且PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則橢圓的方程為________．7．我們把離心率為黃金比eq\f(\r(5)－1,2)的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè)F1，F(xiàn)2是“優(yōu)美橢圓”C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓C上滿足∠F1PF2＝90°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________．8．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為________．9．(2015·上海市十三校聯(lián)考)若橢圓的方程為eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1，且此橢圓的焦距為4，則實(shí)數(shù)a＝________.10．(2015·合肥一模)若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)(1，eq\f(1,2))作圓x2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的方程是________________．11．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)，若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝－eq\f(5,4)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．12．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±5eq\r(2))的橢圓被直線3x－y－2＝0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(1,2)，則該橢圓的方程為________________．13．已知橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2的連線夾角為直角，則PF1·PF2＝________.14．設(shè)定點(diǎn)F1(0，－3)、F2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件PF1＋PF2＝a＋eq\f(9,a)(a>0)，則點(diǎn)P的軌跡是____________．答案解析1.eq\f(7,2)解析不妨設(shè)F1的坐標(biāo)為(eq\r(3)，0)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，∵PF1與x軸垂直，∴x0＝eq\r(3).把x0＝eq\r(3)代入橢圓方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)，∴PF1＝eq\f(1,2)，∴PF2＝4－PF1＝eq\f(7,2).2．1解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，則△FAB的周長(zhǎng)為AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a＝8，所以a＝2，當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)F′(－1,0)時(shí)，△FAB的周長(zhǎng)取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.3.eq\r(3)－1解析由題意，可設(shè)橢圓的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，因?yàn)椤鰽OF為正三角形，則點(diǎn)(eq\f(c,2)，eq\f(\r(3),2)c)在橢圓上，代入得eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，即e2＋eq\f(3e2,1－e2)＝4，得e2＝4－2eq\r(3)，因?yàn)閑∈(0,1)，解得e＝eq\r(3)－1.4．24解析∵PF1＋PF2＝14，又PF1∶PF2＝4∶3，∴PF1＝8，PF2＝6，∵F1F2＝10，∴PF1⊥PF2.∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×8×6＝24.5.eq\r(2)解析由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，得a＝2c，所以b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)c，則方程ax2＋2bx＋c＝0為2x2＋2eq\r(3)x＋1＝0，所以x1＋x2＝－eq\r(3)，x1x2＝eq\f(1,2)，則點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)的距離為d＝eq\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2))＝eq\r(x1＋x22－2x1x2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2).6.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由點(diǎn)P(2，eq\r(3))在橢圓上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則PF1＋PF2＝2F1F2，即2a＝2×2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2－b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6.7．0解析設(shè)PF1＝m，PF2＝n，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2a，,4c2＝m2＋n2，))mn＝2a2－2c2.而eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(c,a)，所以mn＝2a2－2(eq\f(\r(5)－1,2)a)2＝(eq\r(5)－1)a2，與m＋n＝2a聯(lián)立無(wú)實(shí)數(shù)解．8.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1解析設(shè)圓M的半徑為r，則MC1＋MC2＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝C1C2，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.9．4或8解析①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.10.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析由題意可設(shè)斜率存在的切線的方程為y－eq\f(1,2)＝k(x－1)(k為切線的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由eq\f(|－2k＋1|,\r(4k2＋4))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，所以圓x2＋y2＝1的一條切線方程為3x＋4y－5＝0，求得切點(diǎn)A(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))，易知另一切點(diǎn)B(1,0)，則直線AB的方程為y＝－2x＋2.令y＝0得右焦點(diǎn)為(1,0)，即c＝1，令x＝0得上頂點(diǎn)為(0,2)，即b＝2，所以a2＝b2＋c2＝5，故所求橢圓的方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.11．(1，eq\f(\r(3),2))解析設(shè)P(x，y)(x>0，y>0)，F(xiàn)1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,x＋\r(3)x－\r(3)＋y2＝－\f(5,4)，,x>0，y>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(\r(3),2)，))即P(1，eq\f(\r(3),2))．12.eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1解析根據(jù)題意可設(shè)橢圓的方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，(9b2＋a2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，則可得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(6b2,9b2＋a2)，即eq\f(6b2,9b2＋a2)＝eq\f(1,2)，又a2－b2＝50，解得a2＝75，b2＝25，所以橢圓的方程為eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1.13．48解析依題意得，a＝7，b＝2eq\r(6)，c＝eq\r(49－24)＝5，F(xiàn)1F2＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，即PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝100.又由橢圓定義知PF1＋PF2＝2