微考點6-6圓錐曲線中斜率和積與韋達定理的應用（原卷版）

微考點66圓錐曲線中斜率和積與韋達定理的應用【考點分析】斜率和（積）構(gòu)造與韋達定理目前我們市面上的斜率型題目中一大類就是斜率和（積）構(gòu)造，這其中主要特征就是一定點兩動點，而定點的特征又可進一步分成在坐標軸上和一般點.倘若定點，在橢圓上的動點，那么：①，此時已經(jīng)湊出韋達定理的形式，就無需再解點，可直接代入韋達定理求解.②,這里對交叉項的處理可進一步代入直線方程：，化簡可得：（*），再代入韋達定理.注意，這一步代入很重要，（*）式是一個非常簡潔的結(jié)構(gòu)，易于操作.③.可進一步代入直線方程：，化簡可得：【精選例題】【例1】已知橢圓的離心率為，點在C上．過C的右焦點F的直線交C于M，N兩點．(1)求橢圓C的方程；(2)若動點P滿足，求動點P的軌跡方程．【例2】已知點在雙曲線上，直線（不過點）的斜率為，且交雙曲線于、兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)求證：直線、的斜率之和為定值.【例3】已知為坐標原點，橢圓的離心率為，橢圓的上頂點到右頂點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的左、右頂點分別為、，過點作直線與橢圓交于、兩點，且、位于第一象限，在線段上，直線與直線相交于點，連接、，直線、的斜率分別記為、，求的值．【例4】已知橢圓的離心率是，且過點．(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C的左、右頂點分別為，，且P，Q為橢圓C上異于，的點，若直線過點，是否存在實數(shù)，使得恒成立．若存在，求實數(shù)的值；若不存在，說明理由．【例5】已知橢圓：的右焦點在直線上，分別為的左、右頂點，且.(1)求的標準方程；(2)已知，是否存在過點的直線交于，兩點，使得直線，的斜率之和等于1?若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.【例6】雙曲線C：的左頂點為A，焦距為4，過右焦點F作垂直于實軸的直線交雙曲線C于B，D兩點，且是直角三角形．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)M，N是C右支上的兩動點，設直線AM，AN的斜率為k1，k2，若，試問：直線MN是否經(jīng)過定點？證明你的結(jié)論．【跟蹤訓練】1.已知橢圓的左右頂點分別為，上頂點為為橢圓上異于四個頂點的任意一點，直線交于點，直線交軸于點.(1)求面積的最大值；(2)記直線的斜率分別為，求證：為定值.2.已知點為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.3.已知橢圓：，，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若過點且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點，，證明，斜率之積為定值．4.在平面直角坐標系中，已知兩定點，，M是平面內(nèi)一動點，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．(1)求動點M的軌跡；(2)設過的直線交曲線于C，D兩點，Q為平面上一動點，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動點Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．5.設橢圓的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為．(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA＝∠OMB．6.設拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設為E上一點，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．7.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．過點的直線l與橢圓E交于不同的兩點M，N．(1)求橢圓E的方程；(2)設直線AM和直線AN的斜率分別為和，求的值．1．已知為坐標原點，過點的動直線與拋物線相交于兩點．(1)求；(2)在平面直角坐標系中，是否存在不同于點的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．2．設拋物線的焦點為，過且斜率為1的直線與交于兩點，且.(1)求拋物線的方程；(2)已知過點的直線與交于不重合的兩點，且，直線和的斜率分別為和.求證：為定值.3．已知雙曲線的左?右頂點分別為，點在上，且.(1)求的方程；(2)直線與交于兩點，記直線的斜率分別為，若，求的值.4．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點，、分別為橢圓的左、右焦點，．(1)求橢圓的方程；(2)設與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點（、在軸的兩側(cè)），記直線，，，的斜率分別為，，，．（i）求的值；（ii）若，求面積的取值范圍．5．已知曲線C上的任意一點到直線的距離是它到點的距離的倍.(1)求曲線C的方程;(2)設，，過點的直線l在y軸的右側(cè)與曲線C相交于A，B兩點，記直線AM，BN的斜率分別為，，求直線l的斜率k的取值范圍以及的值.6．已知橢圓的離心率，短軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為的動直線與橢圓交于、兩點，點是直線上一定點，設直線、的斜率分別為、，若為定值，求點的坐標.7．在平面直角坐標系內(nèi)，已知兩點關(guān)于原點對稱，且的坐標為.曲線上的動點滿足當直線的斜率都存在時，.(1)求曲線的方程；(2)已知直線過點且與曲線交于兩點，問是否存在定點，使得直線關(guān)于