河南省商丘市部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

大聯(lián)考2022—2023學(xué)年（下）高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A2.已知隨機(jī)變量的分布列為01則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)概率之和為1可得.【詳解】由題意：，可得：.故選：D.3.冬季某服裝店銷(xiāo)售a，b，c，d，e五種不同款式的羽絨服，甲、乙、丙三人每人任意選擇一款羽絨服購(gòu)買(mǎi)，則不同的購(gòu)買(mǎi)選擇有（）A.15種 B.60種 C.125種 D.243種【答案】C【解析】【分析】用分步乘法原理計(jì)算.【詳解】每人有5種不同的購(gòu)買(mǎi)選擇，總的購(gòu)買(mǎi)選擇有種.故選：C.4.已知圓與直線相切，則實(shí)數(shù)（）A.5 B.10 C.25 D.100【答案】D【解析】【分析】利用直線與圓相切，建立方程，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得：.故選：D5.已知函數(shù)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：解之得：，所以.故選：B6.如圖，在三棱錐中，，，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算將用，，表示即可.【詳解】如圖：故選：C.7.若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可代入數(shù)值，比較大小.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即單調(diào)遞增，所以，即，化簡(jiǎn)為.故選：A8.有包含甲在內(nèi)的4名同學(xué)參加演講比賽，由7名評(píng)委進(jìn)行不記名投票，每名評(píng)委投1票，獲得票數(shù)最多且領(lǐng)先第二名不少于2票的同學(xué)可直接獲得冠軍，則甲直接獲得冠軍的投票結(jié)果有（）A.13種 B.16種 C.17種 D.20種【答案】C【解析】【分析】由題意得，甲直接獲得冠軍的得票數(shù)可能為4票，5票，6票，7票.分別求出每種得票數(shù)的結(jié)果總數(shù)，再相加即可得到答案.【詳解】因?yàn)楂@得票數(shù)最多且領(lǐng)先第二名不少于2票的同學(xué)可直接獲得冠軍，所以甲直接獲得冠軍的得票數(shù)可能為4票，5票，6票，7票.當(dāng)甲的得票數(shù)為4票時(shí)，其余3名同學(xué)得票總數(shù)為3票，若其中有1名同學(xué)得票數(shù)為2票，有1名同學(xué)得票數(shù)為1票，其余同學(xué)得票數(shù)為0票，則投票結(jié)果共有種；若其中每名同學(xué)的得票數(shù)均為1票，則投票結(jié)果共有種；所以，當(dāng)甲得票數(shù)為4票時(shí)，投票結(jié)果共有種.當(dāng)甲的得票數(shù)為5票時(shí)，其余3名同學(xué)得票總數(shù)為2票，若其中有1名同學(xué)得票數(shù)為2票，其余同學(xué)得票數(shù)為0票，則投票結(jié)果共有種；若其中有2名同學(xué)的得票數(shù)均為1票，其余同學(xué)得票數(shù)為0票，則投票結(jié)果共有種；所以，當(dāng)甲的得票數(shù)為5票時(shí)，投票結(jié)果共有種.當(dāng)甲的得票數(shù)為6票時(shí)，其余3名同學(xué)得票總數(shù)為1票，此時(shí)投票結(jié)果共有種.當(dāng)甲的得票數(shù)為7票時(shí)，其余3名同學(xué)得票總數(shù)為0票，此時(shí)投票結(jié)果共有種.所以，則甲直接獲得冠軍的投票結(jié)果共有種.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，若，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則A，B相互獨(dú)立C.若A與B相互獨(dú)立，則 D.若A與B相互獨(dú)立，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)并事件的概率的計(jì)算公式即可判斷A；根據(jù)相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的交事件的概率公式即可判斷BD；根據(jù)相互獨(dú)立事件的并事件的概率公式即可判斷C.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以A，B相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C，A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，所以，故D正確.故選：BD.10.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為．若，，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由已知可得公差為正數(shù)，從而逐一可判定各選項(xiàng)正誤.【詳解】由已知，故，即公差.，故A正確；又，故B錯(cuò)誤；而，故C正確;由已知無(wú)法判定的符號(hào)，故D不一定正確.故選：AC11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的面積的最大值為B.以線段為直徑的圓與直線相切C.恒成立D.若，，為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)面積表達(dá)式得到點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)三角形面積最大，對(duì)B，利用幾何法即可判斷直線與圓的關(guān)系，對(duì)C，設(shè)，寫(xiě)出向量數(shù)量積的表達(dá)式即可判斷，對(duì)D，分類(lèi)討論即可.【詳解】對(duì)A，，則，由圖得，顯然當(dāng)點(diǎn)位于橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，的面積的最大值，最大值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓相切，故B正確；對(duì)C，設(shè)，則，且，則，，，則，故C正確；對(duì)D，由C選項(xiàng)知，則，則，若，令，則有，解得，同理若，令，則有，解得，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)，且，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A可以通過(guò)分析法，變形分析兩者大?。贿x項(xiàng)B可以通過(guò)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性引入中間值進(jìn)行比較；選項(xiàng)C可以通過(guò)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較；選項(xiàng)D因,不在一個(gè)單調(diào)區(qū)間中，可以通過(guò)符號(hào)比較,【詳解】函數(shù)，所以.令得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減.對(duì)于A，要證，只需證，只需證因?yàn)?，，所以，即證，所以A正確.對(duì)于B，，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C，由A知，由函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減可知.對(duì)于D，，因在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；，所以，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：指數(shù)對(duì)數(shù)比較大小，可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行綜合考慮，從底數(shù)、冪、真數(shù)是否相同入手.函數(shù)值的大小直接比較困難時(shí)，需要利用函數(shù)的單調(diào)性.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知等差數(shù)列的公差為1，且，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列，建立方程求首項(xiàng)，即可求解通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，因?yàn)椋?，得，?故答案為：14.已知，則______．（用數(shù)字作答）【答案】252【解析】【分析】首先利用換元，轉(zhuǎn)化二項(xiàng)展開(kāi)式，再利用二項(xiàng)式定理，求的值.詳解】設(shè)，則，即，是前的系數(shù)，即.故答案為：25215.若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極大值點(diǎn)，依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，由，得或，則在區(qū)間和上單調(diào)遞增，由，得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，要使函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，又，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：16.已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線（）與軸交于點(diǎn)，若A為右支上的一點(diǎn)，且，則的離心率的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用定義化簡(jiǎn)條件可得，根據(jù)建立不等關(guān)系，化簡(jiǎn)可得a，c關(guān)系，由此可求離心率范圍.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，對(duì)于直線，令，解得，即，∵A為右支上的一點(diǎn)，則，即，則，整理得，注意到，可得，整理得，由雙曲線可知，所以的離心率的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1），（2）最大值為11，最小值為【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)和，求出，的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的在上的單調(diào)性，求出最值.【小問(wèn)1詳解】由已知得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得，又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，令，解得或．當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示：+00+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增11所以在區(qū)間上的最大值為11，最小值為．18.已知數(shù)列滿足且．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記，若數(shù)列滿足，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出，求出、的值，將等式變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)可得出關(guān)于的方程，解之即可.【小問(wèn)1詳解】解：聯(lián)立，解得，因，所以．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，所以，所以．由得，兩邊平方可整理得，兩邊平方整理得，解得或（舍去），故．19.如圖，在直三棱柱中，，是面積為的正方形，且與平面所成的角為．（1）求三棱柱的體積；（2）若為棱上靠近的三等分點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由線面垂直得到與平面所成的角為，從而求出的值，再用三棱柱的體積公式即可求出答案；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入夾角的余弦值公式即可求出答案.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，，，，平面，平面，所以平面，所以是與平面所成的角，即．因?yàn)槭敲娣e為的正方形，所以，則，，所以三棱柱的體積為．【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則；設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則．設(shè)平面與平面夾角的大小為，則．20.已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)滿足直線，的斜率之積為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由斜率之積可得橢圓半焦距，再利用橢圓定義即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)圓的性質(zhì)知，再利用韋達(dá)定理及判別式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓C的半焦距為．因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，解得c=1．因?yàn)?，利用橢圓定義可得橢圓長(zhǎng)軸，解得，則．所以C的方程為．【小問(wèn)2詳解】由已知得過(guò)點(diǎn)且滿足題意的直線l的斜率存在，不妨設(shè)，聯(lián)立消去y得，令，解得．設(shè)，，則，，因?yàn)橐訢E為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，所以，即，，所以，即，所以，整理可得，解得，滿足，所以直線l的方程為．21.某外國(guó)語(yǔ)高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生的人數(shù)相同，現(xiàn)按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取90位同學(xué)，調(diào)查他們外語(yǔ)詞匯量（單位：個(gè)）掌握情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：詞匯量頻數(shù)高一年級(jí)16220高二年級(jí)8842高三年級(jí)6884（1）求，，的值；（2）在這90份樣本數(shù)據(jù)中，從詞匯量位于區(qū)間的高三學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記抽取的這2人詞匯量位于區(qū)間的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）以樣本數(shù)據(jù)中詞匯量位于各區(qū)間的頻率作為學(xué)生詞匯量位于該區(qū)間的概率，假設(shè)該學(xué)校有的學(xué)生外語(yǔ)選修日語(yǔ)，且選修日語(yǔ)的學(xué)生中有的人詞匯量位于區(qū)間．現(xiàn)從該學(xué)校任選一位學(xué)生，若已知此學(xué)生詞匯量位于區(qū)間，求他外語(yǔ)選修的是日語(yǔ)的概率．【答案】（1），，（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為（3）【解析】【分析】（1）由條件可知，三個(gè)年級(jí)的樣本人數(shù)都是30，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，列式求解；（2）利用超幾何分布求概率，再根據(jù)分布列求期望；（3）利用條件概率求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，得，解得；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，詞匯量位于區(qū)間的高三學(xué)生有12人，位于區(qū)間的高三學(xué)生有8人，則X的所有可能取值為0，1，2，，，，所以隨機(jī)變量X的概率分布列為：X012P所以．【小問(wèn)3詳解】由題知，詞匯量位于區(qū)間的概率為，從該學(xué)校任選一位學(xué)生，外語(yǔ)選修日語(yǔ)且詞匯量位于區(qū)間的概率為，根據(jù)條件概率的公式，在已知此學(xué)生詞匯量位于區(qū)間的條件下，他外語(yǔ)選修的是日語(yǔ)的概率為．22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分類(lèi)討論和時(shí)的正負(fù)，即可得出的單調(diào)性；（2）解法一：“方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”等價(jià)于“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”．對(duì)求導(dǎo)，討論的單調(diào)性和最值，即可得出答案；解法二：由方程得，轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性和最值即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由條件知，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問(wèn)2詳解】解法一：由方程得，“方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”等價(jià)于“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”．，．①當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由