4.2 指數(shù)函數(shù)（十大題型）（原卷版）

4．2指數(shù)函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：指數(shù)函數(shù)定義的判斷題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域題型三：求指數(shù)函數(shù)的表達式題型四：指數(shù)型函數(shù)過定點問題題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象問題題型六：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域題型七：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用題型八：比較指數(shù)冪的大小題型九：解指數(shù)型不等式題型十：判斷函數(shù)的奇偶性【知識點梳理】知識點一、指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域為．知識點詮釋：（1）形式上的嚴格性：只有形如（且）的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)．像，，等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)．（2）為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1：①如果，則②如果，則對于一些函數(shù)，比如，當(dāng)時，在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．③如果，則是個常量，就沒研究的必要了．知識點二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：時圖象時圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時，，圖象都經(jīng)過點③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時，時，⑤時，時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識點詮釋：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論．（2）當(dāng)時，，；當(dāng)時，．當(dāng)時，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．當(dāng)時，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．（3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱．知識點三、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時，（底大冪大）時，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：【方法技巧與總結(jié)】1、指數(shù)式大小比較方法（1）單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較．（2）中間量法（3）分類討論法（4）比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：①若；；；②當(dāng)兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．2、簡單指數(shù)不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的單調(diào)性求解；（2）形如的不等式，可將化為為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助的單調(diào)性求解；（3）形如的不等式，可借助兩函數(shù)，的圖象求解．【典型例題】題型一：指數(shù)函數(shù)定義的判斷例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)：①；②；③；④．其中為指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（

）A． B．C． D．例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．例3．（2023·高一單元測試）下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0變式1．（2023·高一課時練習(xí)）下列是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．變式2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤.其中一定為指數(shù)函數(shù)的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個變式3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)【方法技巧與總結(jié)】一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．題型二：利用指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)例4．（2023·上海·高一專題練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B． C． D．例5．（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B． C． D．，且例6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B．C． D．且變式4．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．不確定 B． C．1 D．變式6．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A． B． C．或 D．且【方法技巧與總結(jié)】系數(shù)為1．題型三：求指數(shù)函數(shù)的表達式例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則．例8．（2023·上海·高一專題練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則其解析式為．例9．（2023·甘肅武威·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖像過點，則變式7．（2023·重慶江北·高一重慶十八中?？计谀懗龆x域為且同時滿足下列三個條件的函數(shù)的表達式：.（1）；（2）在上單調(diào)遞增；（3）的值域為.變式8．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，定義域，當(dāng)時，，則當(dāng)時，函數(shù)的表達式是．變式9．（2023·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）寫出同時滿足條件“①函數(shù)為增函數(shù)，②”的一個函數(shù)．變式10．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則指數(shù)函數(shù)的解析式為．【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法題型四：指數(shù)型函數(shù)過定點問題例10．（2023·上海·高一專題練習(xí)）函數(shù)且的圖象必經(jīng)過點．例11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，無論取何值，函數(shù)圖像恒過一個定點，則定點坐標(biāo)為.例12．（2023·湖南株洲·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點P，則點P的坐標(biāo)是.變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)且所過的定點坐標(biāo)為．變式12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）對且的所有正實數(shù)，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過一定點，則該定點的坐標(biāo)是．【方法技巧與總結(jié)】令指數(shù)為0求解題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象問題例13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

例14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

例15．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）如圖所示，函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

變式13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．變式14．（2023·陜西渭南·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)且，則下列結(jié)論中，一定成立的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問題，同時還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡單地記作：在軸的右邊“底大圖高”，在軸的左邊“底大圖低”．題型六：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域例16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)．例17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）.例18．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)變式15．（2023·四川成都·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，函數(shù).(1)求集合；(2)求函數(shù)的值域.變式16．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．變式17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)，在上的值域.變式18．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)．變式19．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若對任意，總存在，使成立，求實數(shù)k的取值范圍.變式20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的值域；(2)若在上最小值為，求實數(shù)的值.【方法技巧與總結(jié)】求值域時有時要用到函數(shù)單調(diào)性，求定義域使表達式有意義．題型七：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例19．（2023·北京東城·高一校考期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．例20．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)例21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式21．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．變式23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．變式24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．變式25．（2023·四川成都·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】研究型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性用復(fù)合法，比用定義法要簡便些，一般地有：即當(dāng)時，的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)時，的單調(diào)與的單調(diào)性相反．題型八：比較指數(shù)冪的大小例22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．例23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，，則a、b、c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．例24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．變式26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．變式27．（2023·高一單元測試）的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．變式28．（2023·高一課時練習(xí)）下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】在進行數(shù)的大小比較時，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進第三個數(shù)（如0，1等）分別與之比較，從而得出結(jié)果．總之比較時要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進行判斷．題型九：解指數(shù)型不等式例25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例26．（2023·江西吉安·高一吉安一中?？计谀┮阎?，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．例27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B．C． D．變式29．（2023·福建泉州·高一石獅市石光中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式30．（2023·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．變式31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式32．（2023·福建寧德·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式33．（2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式34．（2023·山西朔州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．題型十：判斷函數(shù)的奇偶性例28．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┮阎x域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解關(guān)于的不等式.例29．（2023·陜西商洛·高一?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，(1)求值，(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.例30．（2023·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)為奇函數(shù).(1)求的定義域和a的值；(2)證明：是的充要條件；(3)直接寫出的單調(diào)區(qū)間和值域.變式35．（2023·福建福州·高一福州三中?？计谀┮阎x在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的值域；(2)若存在，使得不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍.變式36．（2023·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求出a的值，并寫出單調(diào)區(qū)間；(2)若存在使得不等式成立，求實數(shù)b的取值范圍.變式37．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點．(1)求的值；(2)若是定義在上的偶函數(shù)，且時，，求的解析式．變式38．（2023·山東·高一山東師范大學(xué)附中校考期末）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，其最小正周期為2，若時，，且滿足.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的解析式；(2)請判斷函數(shù)在上的單調(diào)性（只判斷不證明）.【方法技巧與總結(jié)】利用奇偶性的性質(zhì)求解．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·上海·高一專題練習(xí)）若為奇函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)且與的圖象大致是（）A．

B．

C．

D．

5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增.若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）對，用表示中的較大值，記為，若，則的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．48．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（且），若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中錯誤的是（

）A．在上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)C．的值域是 D．的值域是10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域為RB．函數(shù)的值域為C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上單調(diào)遞減11．（2023·寧夏銀川·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則下列說