實(shí)數(shù)等全冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理匯總

第一部分教材知識(shí)梳理·系統(tǒng)復(fù)習(xí)第一單元數(shù)與式第1講實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的概念及分類關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.實(shí)數(shù)（1）按定義分（2）按正、負(fù)性分正有理數(shù)有理數(shù)0負(fù)有理數(shù)實(shí)數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)負(fù)無理數(shù)正實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)（1）0既不屬于正數(shù),也不屬于負(fù)數(shù).（2）無理數(shù)的幾種常見形式判斷：①含π的式子；②構(gòu)造型：如3.010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間多個(gè)0）就是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)；③開方開不盡的數(shù)：如,；④三角函數(shù)型：如sin60°,tan25°.（3）失分點(diǎn)警示：開得盡方的含根號(hào)的數(shù)屬于有理數(shù),如=2,=-3,它們都屬于有理數(shù).知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念2.數(shù)軸（1）三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度（2）特征：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；數(shù)軸右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大例：數(shù)軸上-2.5表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是2.5.3.相反數(shù)（1）概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)（2）代數(shù)意義：a、b互為相反數(shù)a+b=0（3）幾何意義：數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等a的相反數(shù)為-a,特別的0的絕對(duì)值是0.例：3的相反數(shù)是-3,-1的相反數(shù)是1.4.絕對(duì)值（1）幾何意義：數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（2）運(yùn)算性質(zhì)：|a|=a(a≥0)；|a-b|=a-b(a≥b)-a(a＜0).b-a(a＜b)（3）非負(fù)性：|a|≥0,若|a|+b2=0,則a=b=0.（1）若|x|=a（a≥0）,則x=±a.（2）對(duì)絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù).例：5的絕對(duì)值是5；|-2|=2；絕對(duì)值等于3的是±3;|1-|=-1.5.倒數(shù)（1）概念：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).a的倒數(shù)為1/a(a≠0)（2）代數(shù)意義：ab=1a,b互為倒數(shù)例：-2的倒數(shù)是-1/2；倒數(shù)等于它本身的數(shù)有±1.知識(shí)點(diǎn)三：科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)6.科學(xué)記數(shù)法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10,n為整數(shù)（2）確定n的方法：對(duì)于數(shù)位較多的大數(shù),n等于原數(shù)的整數(shù)為減去1；對(duì)于小數(shù),寫成a×10-n,1≤|a|＜10,n等于原數(shù)中左起至第一個(gè)非零數(shù)字前所有零的個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)）例：21000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.1×104；19萬用科學(xué)記數(shù)法表示為1.9×105；0.0007用科學(xué)記數(shù)法表示為7×10-4.7.近似數(shù)（1）定義：一個(gè)與實(shí)際數(shù)值很接近的數(shù).（2）精確度：由四舍五入到哪一位,就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.例：3.14159精確到百分位是3.14；精確到0.001是3.142.知識(shí)點(diǎn)四：實(shí)數(shù)的大小比較8.實(shí)數(shù)的大小比較（1）數(shù)軸比較法：數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.（2）性質(zhì)比較法：正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小,絕對(duì)值大的反而小.（3）作差比較法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.例：把1,-2,0,-2.3按從大到小的順序排列結(jié)果為___1＞0＞-2＞-2.3_.知識(shí)點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的運(yùn)算9.常見運(yùn)算乘方幾個(gè)相同因數(shù)的積;負(fù)數(shù)的偶（奇）次方為正（負(fù)）例：（1）計(jì)算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;3-1=_1/3_;π0=__1__;(2)64的平方根是_±8__,算術(shù)平方根是__8_,立方根是__4__.失分點(diǎn)警示：類似“的算術(shù)平方根”計(jì)算錯(cuò)誤.例：相互對(duì)比填一填：16的算術(shù)平方根是4___,的算術(shù)平方根是___2__.零次冪a0=_1_(a≠0)負(fù)指數(shù)冪a-p=1/ap（a≠0,p為整數(shù)）平方根、算術(shù)平方根若x2=a（a≥0）,則x=.其中是算術(shù)平方根.立方根若x3=a,則x=.10.混合運(yùn)算先乘方、開方,再乘除,最后加減；同級(jí)運(yùn)算,從左向右進(jìn)行；如有括號(hào),先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算,按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)一次進(jìn)行.計(jì)算時(shí),可以結(jié)合運(yùn)算律,使問題簡(jiǎn)單化第2講整式與因式分解知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：代數(shù)式及相關(guān)概念關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.代數(shù)式（1）代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式．（2）求代數(shù)式的值：用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母,計(jì)算得出的結(jié)果,叫做求代數(shù)式的值．求代數(shù)式的值常運(yùn)用整體代入法計(jì)算.例：a－b＝3,則3b－3a＝－9.2.整式（單項(xiàng)式、多項(xiàng)式）（1）單項(xiàng)式：表示數(shù)字與字母積的代數(shù)式,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單項(xiàng)式.其中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù),所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù).（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和.多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)叫做多項(xiàng)式的項(xiàng),次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù).（3）整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.（4）同類項(xiàng)：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).例：（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中屬于單項(xiàng)式的是①③⑤⑦；多項(xiàng)式是②⑥；同類項(xiàng)是①和⑤.（2）多項(xiàng)式7m5n-11mn2+1是六次三項(xiàng)式,常數(shù)項(xiàng)是__1.知識(shí)點(diǎn)二：整式的運(yùn)算3.整式的加減運(yùn)算(1)合并同類項(xiàng)法則:同類項(xiàng)的系數(shù)相加,所得的結(jié)果作為系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變．(2)去括號(hào)法則:若括號(hào)外是“＋”,則括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；若括號(hào)外是“－”,則括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào).(3)整式的加減運(yùn)算法則：先去括號(hào),再合并同類項(xiàng).失分警示：去括號(hào)時(shí),如果括號(hào)外面是符號(hào),一定要變號(hào),且與括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)相乘,不要有漏項(xiàng).例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.4.冪運(yùn)算法則(1)同底數(shù)冪的乘法：am·an＝am＋n；(2)冪的乘方：(am)n＝amn；(3)積的乘方：(ab)n＝an·bn；(4)同底數(shù)冪的除法：am÷an＝am－n(a≠0).其中m,n都在整數(shù)(1)計(jì)算時(shí),注意觀察,善于運(yùn)用它們的逆運(yùn)算解決問題.例：已知2m+n=2,則3×2m×2n=6.（2）在解決冪的運(yùn)算時(shí),有時(shí)需要先化成同底數(shù).例：2m·4m=23m.5.整式的乘除運(yùn)算(1)單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：①系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘；②只有一個(gè)字母的照抄．(2)單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：m(a+b)=ma+mb.(3)多項(xiàng)式×多項(xiàng)式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：將系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除.(5)多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：①多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式；②商相加．失分警示：計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí),注意不能漏乘,不能丟項(xiàng),不能出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò).例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.（6）乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.注意乘法公式的逆向運(yùn)用及其變形公式的運(yùn)用完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.變形公式：a2+b2=(a±b)2?2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】/26.混合運(yùn)算注意計(jì)算順序,應(yīng)先算乘除,后算加減；若為化簡(jiǎn)求值,一般步驟為：化簡(jiǎn)、代入替換、計(jì)算．例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.知識(shí)點(diǎn)五：因式分解7.因式分解(1)定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式．(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.(3)一般步驟：①若有公因式,必先提公因式；②提公因式后,看是否能用公式法分解；③檢查各因式能否繼續(xù)分解.(1)因式分解要分解到最后結(jié)果不能再分解為止,相同因式寫成冪的形式；(2)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算．第3講分式知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：分式的相關(guān)概念關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例分式的概念（1）分式：形如(A,B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子.（2）最簡(jiǎn)分式：分子和分母沒有公因式的分式.在判斷某個(gè)式子是否為分式時(shí),應(yīng)注意：（1）判斷化簡(jiǎn)之間的式子；（2）π是常數(shù),不是字母.例：下列分式：①;②;③;④,其中是分式是②③④；最簡(jiǎn)分式③.2.分式的意義(1)無意義的條件：當(dāng)B＝0時(shí),分式無意義；(2)有意義的條件：當(dāng)B≠0時(shí),分式有意義；(3)值為零的條件：當(dāng)A＝0,B≠0時(shí),分式＝0.失分點(diǎn)警示：在解決分式的值為0,求值的問題時(shí),一定要注意所求得的值滿足分母不為0.例：當(dāng)?shù)闹禐?時(shí),則x＝-1.3.基本性質(zhì)(1)基本性質(zhì)：(C≠0)．（2）由基本性質(zhì)可推理出變號(hào)法則為：；.由分式的基本性質(zhì)可將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)：例：化簡(jiǎn)：=.知識(shí)點(diǎn)三：分式的運(yùn)算4.分式的約分和通分(1)約分(可化簡(jiǎn)分式)：把分式的分子和分母中的公因式約去,即；(2)通分(可化為同分母)：根據(jù)分式的基本性質(zhì),把異分母的分式化為同分母的分式,即分式通分的關(guān)鍵步驟是找出分式的最簡(jiǎn)公分母,然后根據(jù)分式的性質(zhì)通分.例：分式和的最簡(jiǎn)公分母為.5.分式的加減法(1)同分母：分母不變,分子相加減.即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c)；(2)異分母：先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?再加減.即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).例：＝－1.6.分式的乘除法(1)乘法：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd)；(2)除法：＝；(3)乘方：＝(n為正整數(shù)).例：＝；＝2y；＝.7.分式的混合運(yùn)算(1)僅含有乘除運(yùn)算：首先觀察分子、分母能否分解因式,若能,就要先分解后約分.(2)含有括號(hào)的運(yùn)算：注意運(yùn)算順序和運(yùn)算律的合理應(yīng)用.一般先算乘方,再算乘除,最后算加減,若有括號(hào),先算括號(hào)里面的．失分點(diǎn)警示：分式化簡(jiǎn)求值問題,要先將分式化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)分式或整式的形式,再代入求值.代入數(shù)值時(shí)注意要使原分式有意義.有時(shí)也需運(yùn)用到整體代入. 第4講二次根式 知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：二次根式關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.有關(guān)概念（1）二次根式的概念：形如eq\r(a)(a≥0)的式子.（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0.（3）最簡(jiǎn)二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式（分母中不含根號(hào)）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式失分點(diǎn)警示：當(dāng)判斷分式、二次根式組成的復(fù)合代數(shù)式有意義的條件時(shí),注意確保各部分都有意義,即分母不為0,被開方數(shù)大于等于0等.例：若代數(shù)式有意義,則x的取值范圍是x＞1.2.二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),即a≥0；②二次根式的值是非負(fù)數(shù),即≥0.注意：初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)有：絕對(duì)值、偶冪、算式平方根、二次根式.利用二次根式的雙重非負(fù)性解題：（1）值非負(fù):當(dāng)多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí),可得各個(gè)非負(fù)數(shù)均為0.如+=0,則a=-1,b=1.（2）被開方數(shù)非負(fù):當(dāng)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)同時(shí)出現(xiàn)在二次根式的被開方數(shù)下時(shí),可得這一對(duì)相反數(shù)的數(shù)均為0.如已知b=+,則a=1,b=0.(2)兩個(gè)重要性質(zhì)：①(eq\r(a))2＝a(a≥0)；②eq\r(a2)＝|a|＝；(3)積的算術(shù)平方根：＝·(a≥0,b≥0)；(4)商的算術(shù)平方根：(a≥0,b＞0)．例：計(jì)算：＝3.14；＝2；=；=2；知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的運(yùn)算3.二次根式的加減法先將各根式化為最簡(jiǎn)二次根式,再合并被開方數(shù)相同的二次根式．例：計(jì)算：＝.4.二次根式的乘除法（1）乘法：·=(a≥0,b≥0)；（2）除法：=(a≥0,b＞0)．注意：將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.例：計(jì)算：＝1；4.5.二次根式的混合運(yùn)算運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去括號(hào)）．運(yùn)算時(shí),注意觀察,有時(shí)運(yùn)用乘法公式會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)便.例：計(jì)算：(+1)(-1)=1.第二單元方程(組)與不等式(組)第5講一次方程(組)知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：方程及其相關(guān)概念關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.等式的基本性質(zhì)(1)性質(zhì)1：等式兩邊加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式,所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b,則a±c＝b±c.(2)性質(zhì)2：等式兩邊同乘（或除）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0）,所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b,則ac＝bc,(c≠0)．(3)性質(zhì)3：（對(duì)稱性）若a=b,則b=a.(4)性質(zhì)4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.失分點(diǎn)警示：在等式的兩邊同除以一個(gè)數(shù)時(shí),這個(gè)數(shù)必須不為0.例：判斷正誤.(1)若a=b,則a/c=b/c.(×)(2)若a/c=b/c,則a=b.(√)2.關(guān)于方程的基本概念(1)一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1,且等式兩邊都是整式的方程．(2)二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程．(3)二元一次方程組：含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程．(4)二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解．在運(yùn)用一元一次方程的定義解題時(shí),注意一次項(xiàng)系數(shù)不等于0.例：若(a-2)是關(guān)于x的一元一次方程,則a的值為0.知識(shí)點(diǎn)二：解一元一次方程和二元一次方程組3.解一元一次方程的步驟(1)去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù),不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；(2)去括號(hào)：括號(hào)外若為負(fù)號(hào),去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)均要變號(hào)；(3)移項(xiàng)：移項(xiàng)要變號(hào)；(4)合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=-b(a≠0)；(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以系數(shù)a,得到方程的解x=-b/a.失分點(diǎn)警示：方程去分母時(shí),應(yīng)該將分子用括號(hào)括起來,然后再去括號(hào),防止出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò)誤.4.二元一次方程組的解法思路：消元,將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.已知方程組,求相關(guān)代數(shù)式的值時(shí),需注意觀察,有時(shí)不需解出方程組,利用整體思想解決解方程組.例：已知?jiǎng)tx-y的值為x-y=4.方法：(1)代入消元法:從一個(gè)方程中求出某一個(gè)未知數(shù)的表達(dá)式,再把“它”代入另一個(gè)方程,進(jìn)行求解；(2)加減消元法：把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減消去一個(gè)未知數(shù)的方法.知識(shí)點(diǎn)三：一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用5.列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟(1)審題：審清題意,分清題中的已知量、未知量；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)列方程(組)：找出等量關(guān)系,列方程（組）；(4)解方程(組)；(5)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所解答案是否正確或是否滿足符合題意；(6)作答：規(guī)范作答,注意單位名稱．（1）設(shè)未知數(shù)時(shí),一般求什么設(shè)什么,但有時(shí)為了方便,也可間接設(shè)未知數(shù).如題目中涉及到比值,可以設(shè)每一份為x.（2）列方程（組）時(shí),注意抓住題目中的關(guān)鍵詞語,如共是、等于、大（多）多少、?。ㄉ伲┒嗌佟妆?、幾分之幾等.6.常見題型及關(guān)系式（1）利潤(rùn)問題：售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣,銷售額=售價(jià)×銷量,利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià),利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)×100%.（2）利息問題：利息=本金×利率×期數(shù),本息和=本金+利息.（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間.（4）行程問題：路程=速度×?xí)r間.①相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；②追及問題：a.同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；b.同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.第6講一元二次方程知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程及其解法關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.一元二次方程的相關(guān)概念(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0),其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng),a、b、c分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．例：方程是關(guān)于x的一元二次方程,則方程的根為－1.2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程,可直接開平方求解.(2)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程,用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.(4)配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí),也可以考慮用配方法．解一元二次方程時(shí),注意觀察,先特殊后一般,即先考慮能否用直接開平方法和因式分解法,不能用這兩種方法解時(shí),再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0變形為(x+h)2=k的形式后,h=-3,k=6.知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系3.根的判別式(1)當(dāng)Δ＝>0時(shí),原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)當(dāng)Δ＝=0時(shí),原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(3)當(dāng)Δ＝<0時(shí),原方程沒有實(shí)數(shù)根．例：方程的判別式等于8,故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；方程的判別式等于－8,故該方程沒有實(shí)數(shù)根.*4.根與系數(shù)的關(guān)系（1）基本關(guān)系：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)根分別為x1、x2,則x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是△≥0.（2）解題策略：已知一元二次方程,求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時(shí),先把所求代數(shù)式變形為含有x1+x2、x1x2的式子,再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解.與一元二次方程兩根相關(guān)代數(shù)式的常見變形：(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.失分點(diǎn)警示在運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解題時(shí),注意前提條件時(shí)△=b2-4ac≥0.知識(shí)點(diǎn)三：一元二次方程的應(yīng)用4.列一元二次方程解應(yīng)用題（1）解題步驟：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗(yàn)根是否有意義；⑥作答．運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題時(shí),方程一般有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則必須要根據(jù)題意檢驗(yàn)根是否有意義.（2）應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長(zhǎng)率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長(zhǎng)率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n,a表示基數(shù),x表示平均增長(zhǎng)率（降低率）,n表示變化的次數(shù),b表示變化n次后的量；②利潤(rùn)問題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補(bǔ)或平移形成規(guī)則圖形,運(yùn)用面積之間的關(guān)系列方程.第7講分式方程知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：分式方程及其解法關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．例：在下列方程中,①；②；③,其中是分式方程的是③.2.解分式方程方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母約去分母基本思路：分式方程整式方程約去分母例：將方程轉(zhuǎn)化為整式方程可得：1－2＝2(x－1).解法步驟：(1)去分母,將分式方程化為整式方程；(2)解所得的整式方程；(3)檢驗(yàn)：把所求得的x的值代入最簡(jiǎn)公分母中,若最簡(jiǎn)公分母為0,則應(yīng)舍去．3.增根使分式方程中的分母為0的根即為增根.例：若分式方程有增根,則增根為1.知識(shí)點(diǎn)二：分式方程的應(yīng)用4.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟(1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)檢驗(yàn)：(6)作答．在檢驗(yàn)這一步中,既要檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是不是所列分式方程的解,又要檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是不是符合題目的實(shí)際意義.第8講一元一次不等式(組)知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：不等式及其基本性質(zhì)關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.不等式的相關(guān)概念（1）不等式：用不等號(hào)(＞,≥,＜,≤或≠)表示不等關(guān)系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍.例：“a與b的差不大于1”用不等式表示為a－b≤1.2.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：若a＞b,則a±c>b±c；性質(zhì)2：若a＞b,c>0,則ac>bc,>；性質(zhì)3：若a＞b,c<0,則ac<bc,<.牢記不等式性質(zhì)3,注意變號(hào).如：在不等式－2x＞4中,若將不等式兩邊同時(shí)除以－2,可得x＜2.知識(shí)點(diǎn)二：一元一次不等式3.定義用不等號(hào)連接,含有一個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是1的,左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式.例：若是關(guān)于x的一元一次不等式,則m的值為-1.4.解法（1）步驟：去分母；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；系數(shù)化為1.失分點(diǎn)警示系數(shù)化為1時(shí),注意系數(shù)的正負(fù)性,若系數(shù)是負(fù)數(shù),則不等式改變方向.（2）解集在數(shù)軸上表示:x≥ax＞ax≤ax＜a知識(shí)點(diǎn)三：一元一次不等式組的定義及其解法5.定義由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式合在一起,就組成一個(gè)一元一次不等式組．（1）在表示解集時(shí)“≥”,“≤”表示含有,要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”,“＞”表示不包含要用空心圓點(diǎn)表示．（2）已知不等式（組）的解集情況,求字母系數(shù)時(shí),一般先視字母系數(shù)為常數(shù),再逆用不等式（組）解集的定義,反推出含字母的方程,最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1,則a的取值范圍是a＜1.6.解法先分別求出各個(gè)不等式的解集,再求出各個(gè)解集的公共部分7.不等式組解集的類型假設(shè)a＜b解集數(shù)軸表示口訣x≥b大大取大x≤a小小取小a≤x≤b大小,小大中間找無解大大,小小取不了知識(shí)點(diǎn)四：列不等式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題8.列不等式解應(yīng)用題（1）一般步驟：審題；設(shè)未知數(shù)；找出不等式關(guān)系；列不等式；解不等式；驗(yàn)檢是否有意義.（2）應(yīng)用不等式解決問題的情況：a.關(guān)鍵詞：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超過（＞）”、“不足（＜）”等；b.隱含不等關(guān)系：如“更省錢”、“更劃算”等方案決策問題,一般還需根據(jù)整數(shù)解,得出最佳方案注意：列不等式解決實(shí)際問題中,設(shè)未知數(shù)時(shí),不應(yīng)帶“至少”、“最多”等字眼,與方程中設(shè)未知數(shù)一致.第9講平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：平面直角坐標(biāo)系關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.相關(guān)概念（1）定義：在平面內(nèi)有公共原點(diǎn)且互相垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系．（2）幾何意義：坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M與有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)．點(diǎn)的坐標(biāo)先讀橫坐標(biāo)(x軸),再讀縱坐標(biāo)(y軸).2.點(diǎn)的坐標(biāo)特征(1)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征（如圖所示）：點(diǎn)P(x,y)在第一象限?x＞0,y＞0；點(diǎn)P(x,y)在第二象限?x＜0,y＞0；點(diǎn)P（x,y）在第三象限?x＜0,y＜0；點(diǎn)P（x,y）在第四象限?x＞0,y＜0.坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：①在橫軸上?y＝0；②在縱軸上?x＝0；③原點(diǎn)?x＝0,y＝0.（3）各象限角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)①第一、三象限角平分線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等；②第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)（4）點(diǎn)P（a,b）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征：①關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(a,－b)；②關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－a,b)；③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(－a,－b)．（5）點(diǎn)M（x,y）平移的坐標(biāo)特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限.（2）平面直角坐標(biāo)系中圖形的平移,圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)變化情況相同.（3）平面直角坐標(biāo)系中求圖形面積時(shí),先觀察所求圖形是否為規(guī)則圖形,若是,再進(jìn)一步尋找求這個(gè)圖形面積的因素,若找不到,就要借助割補(bǔ)法,割補(bǔ)法的主要秘訣是過點(diǎn)向x軸、y軸作垂線,從而將其割補(bǔ)成可以直接計(jì)算面積的圖形來解決.3.坐標(biāo)點(diǎn)的距離問題（1）點(diǎn)M(a,b)到x軸,y軸的距離：到x軸的距離為|b|；)到y(tǒng)軸的距離為|a|．（2）平行于x軸,y軸直線上的兩點(diǎn)間的距離：點(diǎn)M1(x1,0),M2(x2,0)之間的距離為|x1－x2|,點(diǎn)M1(x1,y),M2(x2,y)間的距離為|x1－x2|；點(diǎn)M1(0,y1),M2(0,y2)間的距離為|y1－y2|,點(diǎn)M1(x,y1),M2(x,y2)間的距離為|y1－y2|．平行于x軸的直線上的點(diǎn)縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等.知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)4.函數(shù)的相關(guān)概念（1）常量、變量：在一個(gè)變化過程中,數(shù)值始終不變的量叫做常量,數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量．（2）函數(shù)：在一個(gè)變化過程中,有兩個(gè)變量x和y,對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng),那么就稱x是自變量,y是x的函數(shù)．函數(shù)的表示方法有：列表法、圖像法、解析法.（3）函數(shù)自變量的取值范圍：一般原則為：整式為全體實(shí)數(shù)；分式的分母不為零；二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；使實(shí)際問題有意義．失分點(diǎn)警示函數(shù)解析式,同時(shí)有幾個(gè)代數(shù)式,函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)是各個(gè)代數(shù)式中自變量的公共部分.例：函數(shù)y=中自變量的取值范圍是x≥-3且x≠5.5.函數(shù)的圖象（1）分析實(shí)際問題判斷函數(shù)圖象的方法：①找起點(diǎn)：結(jié)合題干中所給自變量及因變量的取值范圍,對(duì)應(yīng)到圖象中找對(duì)應(yīng)點(diǎn)；②找特殊點(diǎn)：即交點(diǎn)或轉(zhuǎn)折點(diǎn),說明圖象在此點(diǎn)處將發(fā)生變化；③判斷圖象趨勢(shì)：判斷出函數(shù)的增減性,圖象的傾斜方向.（2）以幾何圖形（動(dòng)點(diǎn)）為背景判斷函數(shù)圖象的方法：①設(shè)時(shí)間為t（或線段長(zhǎng)為x）,找因變量與t(或x)之間存在的函數(shù)關(guān)系,用含t(或x)的式子表示,再找相應(yīng)的函數(shù)圖象.要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍.讀取函數(shù)圖象增減性的技巧：①當(dāng)函數(shù)圖象從左到右呈“上升”（“下降”）狀態(tài)時(shí),函數(shù)y隨x的增大而增大（減?。?；②函數(shù)值變化越大,圖象越陡峭；③當(dāng)函數(shù)y值始終是同一個(gè)常數(shù),那么在這個(gè)區(qū)間上的函數(shù)圖象是一條平行于x軸的線段.第10講一次函數(shù)知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：一次函數(shù)的概念及其圖象、性質(zhì)關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.一次函數(shù)的相關(guān)概念（1）概念：一般來說,形如y＝kx＋b(k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)．特別地,當(dāng)b＝0時(shí),稱為正比例函數(shù)．（2）圖象形狀：一次函數(shù)y＝kx＋b是一條經(jīng)過點(diǎn)（0,b）和（-b/k,0）的直線.特別地,正比例函數(shù)y＝kx的圖象是一條恒經(jīng)過點(diǎn)（0,0）的直線.例：當(dāng)k＝1時(shí),函數(shù)y＝kx＋k－1是正比例函數(shù),2.一次函數(shù)的性質(zhì)k,b符號(hào)K＞0,b＞0K＞0,b＜0K＞0,b=0k<0,b>0k<0,b<0k<0,b＝0（1）一次函數(shù)y=kx+b中,k確定了傾斜方向和傾斜程度,b確定了與y軸交點(diǎn)的位置.（2）比較兩個(gè)一次函數(shù)函數(shù)值的大?。盒再|(zhì)法,借助函數(shù)的圖象,也可以運(yùn)用數(shù)值代入法.例：已知函數(shù)y=－2x＋b,函數(shù)值y隨x的增大而減小(填“增大”或“減小”)．大致圖象經(jīng)過象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四圖象性質(zhì)y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小3.一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)(1)交點(diǎn)坐標(biāo)：求一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn),只需令y=0,解出x即可；求與y軸的交點(diǎn),只需令x=0,求出y即可.故一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,k)，0)),與y軸的交點(diǎn)是(0,b)；(2)正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象恒過點(diǎn)(0,0)．例：一次函數(shù)y＝x＋2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2,0）,與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,2）.知識(shí)點(diǎn)二：確定一次函數(shù)的表達(dá)式4.確定一次函數(shù)表達(dá)式的條件（1）常用方法：待定系數(shù)法,其一般步驟為：①設(shè)：設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)；②代：將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,解方程或方程組；③解：求出k與b的值,得到函數(shù)表達(dá)式．（2）常見類型：①已知兩點(diǎn)確定表達(dá)式；②已知兩對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)值確定表達(dá)式；③平移轉(zhuǎn)化型：如已知函數(shù)是由y=2x平移所得到的,且經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,則可設(shè)要求函數(shù)的解析式為y=2x+b,再把點(diǎn)（0,1）的坐標(biāo)代入即可.(1)確定一次函數(shù)的表達(dá)式需要兩組條件,而確定正比例函數(shù)的表達(dá)式,只需一組條件即可.(2)只要給出一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出b的值,b值為其縱坐標(biāo),可快速解題.如:已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（0,2）,則可知b=2.5.一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：①一次函數(shù)圖象平移前后k不變,或兩條直線可以通過平移得到,則可知它們的k值相同.②若向上平移h單位,則b值增大h；若向下平移h單位,則b值減小h.例：將一次函數(shù)y=-2x+4的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+2．知識(shí)點(diǎn)三：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系6.一次函數(shù)與方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù),k≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).例：（1）已知關(guān)于x的方程ax+b=0的解為x=1,則函數(shù)y=ax+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）.（2）一次函數(shù)y=-3x+12中,當(dāng)x＞4時(shí),y的值為負(fù)數(shù)．7.一次函數(shù)與方程組y=k2x+by=k1x+b二元一次方程組的解兩個(gè)一次函數(shù)y=k1x+b和y=k2x+by=k2x+by=k1x+b8.一次函數(shù)與不等式（1）函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y＞0時(shí),自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＞0的解集（2）函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y＜0時(shí),自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＜0的解集知識(shí)點(diǎn)四：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用9.一般步驟（1）設(shè)出實(shí)際問題中的變量；（2）建立一次函數(shù)關(guān)系式；（3）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；（4）確定自變量的取值范圍；（5）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求相應(yīng)的值,對(duì)所求的值進(jìn)行檢驗(yàn),是否符合實(shí)際意義；（6）做答.一次函數(shù)本身并沒有最值,但在實(shí)際問題中,自變量的取值往往有一定的限制,其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數(shù)表達(dá)式→確定函數(shù)增減性→根據(jù)自變量的取值范圍確定最值.10.常見題型（1）求一次函數(shù)的解析式.（2）利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決方案問題.第11講反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：反比例函數(shù)的概念及其圖象、性質(zhì)關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.反比例函數(shù)的概念（1）定義：形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù),k叫做比例系數(shù),自變量的取值范圍是非零的一切實(shí)數(shù)．（2）形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式：①y＝eq\f(k,x)；②y=kx-1;③xy=k.(其中k為常數(shù),且k≠0)例：函數(shù)y=3xm+1,當(dāng)m=－2時(shí),則該函數(shù)是反比例函數(shù)．2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)k的符號(hào)圖象經(jīng)過象限y隨x變化的情況（1）判斷點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：①把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代入看是否滿足其解析式；②把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相乘,判斷其乘積是否等于k.失分點(diǎn)警示（2）反比例函數(shù)值大小的比較時(shí),首先要判斷自變量的取值是否同號(hào),即是否在同一個(gè)象限內(nèi),若不在則不能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行比較,可以畫出草圖,直觀地判斷.k>0圖象經(jīng)過第一、三象限（x、y同號(hào)）每個(gè)象限內(nèi),函數(shù)y的值隨x的增大而減小.k<0圖象經(jīng)過第二、四象限（x、y異號(hào)）每個(gè)象限內(nèi),函數(shù)y的值隨x的增大而增大.3.反比例函數(shù)的圖象特征（1）由兩條曲線組成,叫做雙曲線；（2）圖象的兩個(gè)分支都無限接近x軸和y軸,但都不會(huì)與x軸和y軸相交；（3）圖象是中心對(duì)稱圖形,原點(diǎn)為對(duì)稱中心；也是軸對(duì)稱圖形,2條對(duì)稱軸分別是平面直角坐標(biāo)系一、三象限和二、四象限的角平分線．例：若(a,b)在反比例函數(shù)的圖象上,則(－a,－b)在該函數(shù)圖象上.(填“在"、"不在")4.待定系數(shù)法只需要知道雙曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)函數(shù)解析式,代入求出反比例函數(shù)系數(shù)k即可.例：已知反比例函數(shù)圖象過點(diǎn)（－3,－1）,則它的解析式是y=3/x.知識(shí)點(diǎn)二：反比例系數(shù)的幾何意義及與一次函數(shù)的綜合5.系數(shù)k的幾何意義（1）意義：從反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線,垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點(diǎn)、一個(gè)垂足和原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為1/2|k|.（2）常見的面積類型：失分點(diǎn)警示已知相關(guān)面積,求反比例函數(shù)的表達(dá)式,注意若函數(shù)圖象在第二、四象限,則k＜0.例：已知反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線所圍成矩形為3,則該反比例函數(shù)解析式為：或.6.與一次函數(shù)的綜合（1）確定交點(diǎn)坐標(biāo)：【方法一】已知一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（a,b）,則根據(jù)中心對(duì)稱性,可得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-a,-b）.【方法二】聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式,利用方程思想求解.（2）確定函數(shù)解析式：利用待定系數(shù)法,先確定交點(diǎn)坐標(biāo),再分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式中求解（3）在同一坐標(biāo)系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系,可采用假設(shè)法,分k＞0和k＜0兩種情況討論,看哪個(gè)選項(xiàng)符合要求即可.也可逐一選項(xiàng)判斷、排除.（4）比較函數(shù)值的大小：主要通過觀察圖象,圖象在上方的值大,圖象在下方的值小,結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo),確定出解集的范圍.涉及與面積有關(guān)的問題時(shí),①要善于把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為圖形的邊長(zhǎng),對(duì)于不好直接求的面積往往可分割轉(zhuǎn)化為較好求的三角形面積；②也要注意系數(shù)k的幾何意義.例：如圖所示,三個(gè)陰影部分的面積按從小到大的順序排列為：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知識(shí)點(diǎn)三：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.一般步驟（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系；（2設(shè)出函數(shù)表達(dá)式；（3）依題意求解函數(shù)表達(dá)式；（4）根據(jù)反比例函數(shù)的表達(dá)式或性質(zhì)解決相關(guān)問題.第13講二次函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的應(yīng)用關(guān)鍵點(diǎn)撥實(shí)物拋物線一般步驟若題目中未給出坐標(biāo)系,則需要建立坐標(biāo)系求解,建立的原則：①所建立的坐標(biāo)系要使求出的二次函數(shù)表達(dá)式比較簡(jiǎn)單；②使已知點(diǎn)所在的位置適當(dāng)（如在x軸,y軸、原點(diǎn)、拋物線上等）,方便求二次函數(shù)丶表達(dá)式和之后的計(jì)算求解.據(jù)題意,結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式；②確定自變量的取值范圍；③根據(jù)圖象,結(jié)合所求解析式解決問題.實(shí)際問題中求最值分析問題中的數(shù)量關(guān)系,列出函數(shù)關(guān)系式；研究自變量的取值范圍；確定所得的函數(shù)；④檢驗(yàn)x的值是否在自變量的取值范圍內(nèi),并求相關(guān)的值；⑤解決提出的實(shí)際問題.解決最值應(yīng)用題要注意兩點(diǎn)：①設(shè)未知數(shù),在“當(dāng)某某為何值時(shí),什么最大（最?。钡脑O(shè)問中,“某某”要設(shè)為自變量,“什么”要設(shè)為函數(shù)；②求解最值時(shí),一定要考慮頂點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)）的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi).結(jié)合幾何圖形根據(jù)幾何圖形的性質(zhì),探求圖形中的關(guān)系式；根據(jù)幾何圖形的關(guān)系式確定二次函數(shù)解析式；利用配方法等確定二次函數(shù)的最值,解決問題由于面積等于兩條邊的乘積,所以幾何問題的面積的最值問題通常會(huì)通過二次函數(shù)來解決.同樣需注意自變量的取值范圍.第12講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念及解析式關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.一次函數(shù)的定義形如y＝ax2＋bx＋c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).例：如果函數(shù)y=(a－1)x2是二次函數(shù),那么a的取值范圍是a≠0.2.解析式（1）三種解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）;③交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（2）待定系數(shù)法：巧設(shè)二次函數(shù)的解析式；根據(jù)已知條件,得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；解方程（組）,求出待定系數(shù)的值,從而求出函數(shù)的解析式.若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)或三對(duì)對(duì)應(yīng)函數(shù)值,可設(shè)一般式；若已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最值,可設(shè)頂點(diǎn)式；若已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可設(shè)交點(diǎn)式.知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象（1）比較二次函數(shù)函數(shù)值大小的方法：①直接代入求值法；②性質(zhì)法：當(dāng)自變量在對(duì)稱軸同側(cè)時(shí),根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷；當(dāng)自變量在對(duì)稱軸異側(cè)時(shí),可先利用函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同側(cè),再利用性質(zhì)比較；④圖象法：畫出草圖,描點(diǎn)后比較函數(shù)值大小.失分點(diǎn)警示（2）在自變量限定范圍求二次函數(shù)的最值時(shí),首先考慮對(duì)稱軸是否在取值范圍內(nèi),而不能盲目根據(jù)公式求解.例：當(dāng)0≤x≤5時(shí),拋物線y=x2+2x+7的最小值為7.開口向上向下對(duì)稱軸x＝頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性當(dāng)x>時(shí),y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜時(shí),y隨x的增大而減小.當(dāng)x>時(shí),y隨x的增大而減小；當(dāng)x＜時(shí),y隨x的增大而增大.最值x=,y最?。?x=,y最大＝.3.系數(shù)a、b、ca決定拋物線的開口方向及開口大小當(dāng)a＞0時(shí),拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí),拋物線開口向下.某些特殊形式代數(shù)式的符號(hào)：a±b+c即為x=±1時(shí),y的值；②4a±2b+c即為x=±2時(shí),y的值.2a+b的符號(hào),需判斷對(duì)稱軸-b/2a與1的大小.若對(duì)稱軸在直線x=1的左邊,則-b/2a＞1,再根據(jù)a的符號(hào)即可得出結(jié)果.④2a-b的符號(hào),需判斷對(duì)稱軸與-1的大小.b決定對(duì)稱軸（x=-b/2a）的位置當(dāng)a,b同號(hào),-b/2a＜0,對(duì)稱軸在y軸左邊；當(dāng)b＝0時(shí),-b/2a=0,對(duì)稱軸為y軸；當(dāng)a,b異號(hào),-b/2a＞0,對(duì)稱軸在y軸右邊．c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)的位置當(dāng)c＞0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸上；當(dāng)c＝0時(shí),拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)c＜0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.b2－4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)b2－4ac＞0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);b2－4ac＝0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);b2－4ac＜0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的平移4.平移與解析式的關(guān)系注意：二次函數(shù)的平移實(shí)質(zhì)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的平移,因此只要找出原函數(shù)頂點(diǎn)的平移方式即可確定平移后的函數(shù)解析式失分點(diǎn)警示：拋物線平移規(guī)律是“上加下減,左加右減”,左右平移易弄反.例：將拋物線y=x2沿x軸向右平移2個(gè)單位后所得拋物線的解析式是y=（x－2）2．知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式5.二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0,兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0,兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0,無實(shí)根例：已經(jīng)二次函數(shù)y=x2-3x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1,0）,則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為2,1.6.二次函數(shù)與不等式拋物線y=ax2＋bx＋c＝0在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正,所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù),所對(duì)應(yīng)的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.第四單元圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形第14講平面圖形與相交線、平行線知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：直線、線段、射線關(guān)鍵點(diǎn)撥1.基本事實(shí)（1）直線的基本事實(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．（2）線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間,線段最短．例：在墻壁上固定一根橫放的木條,則至少需要2枚釘子,依據(jù)的是兩點(diǎn)確定一條直線.知識(shí)點(diǎn)二：角、角平分線2.概念（1）角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形．（2）角平分線：在角的內(nèi)部,以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線例：（1）15°25'＝15.5°；37°24'45''＋32°48'49''＝70°13'34''.（2）32°的余角是58°,32°的補(bǔ)角是148°.3.角的度量1°＝60′,1′＝60'',1°＝3600''4.余角和補(bǔ)角(1)余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；(2)補(bǔ)角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補(bǔ)角.（3）性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等．知識(shí)點(diǎn)三：相交線、平行線5.三線八角（1）同位角：形如”F”;（2）內(nèi)錯(cuò)角：形如“Z”;(3)同旁內(nèi)角：形如“U”.一個(gè)角的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角可能不止一個(gè),要注意多方位觀察6.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角（1）概念：兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)而沒有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.（2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等,鄰補(bǔ)角之和為180°.例：在平面中,三條直線相交于1點(diǎn),則圖中有6組對(duì)頂角.7.垂線（1）概念：兩條直線互相垂直,其中的一條直線叫做另一條直線的垂線．（2）性質(zhì)：①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．②垂線段最短．（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度例：如圖所示,點(diǎn)A到BC的距離為AB,點(diǎn)B到AC的距離為BD,點(diǎn)C到AB的距離為BC.8.平行線（1）平行線的性質(zhì)與判定①同位角相等兩直線平行②內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行③同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行（2）平行公理及其推論①經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與已知直線平行．②平行于同一條直線的兩直線平行．（1）如果出現(xiàn)兩條平行線被其中一條折線所截,那么一般要通過折點(diǎn)作已知直線的平行線.（2）在平行線的查考時(shí),通常會(huì)結(jié)合對(duì)頂角、角平分線、三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì),解題時(shí)注意這些性質(zhì)的綜合運(yùn)用.知識(shí)點(diǎn)四：命題與證明9.命題與證明（1）概念：對(duì)某一事件作出正確或不正確判斷的語句(或式子)叫做命題,正確的命題稱為真命題；錯(cuò)誤的命題稱為假命題.（2）命題的結(jié)構(gòu)：由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成,命題常寫成"如果p,那么q"的形式,其中p是題設(shè),q是結(jié)論.（3）證明：從一個(gè)命題的題設(shè)出發(fā),通過推理來判斷命題是否成立的過程.證明一個(gè)命題是假命題時(shí),只要舉出一個(gè)反例署名命題不成立就可以了.例：下列命題是假命題的有(③)①相等的角不一定是對(duì)頂角；②同角的補(bǔ)角相等；③如果某命題是真命題,那么它的逆命題也是真命題；④若某個(gè)命題是定理,則該命題一定是真命題.第15講一般三角形及其性質(zhì)知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：三角形的分類及性質(zhì)關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.三角形的分類（1）按角的關(guān)系分類（2）按邊的關(guān)系分類失分點(diǎn)警示：在運(yùn)用分類討論思想計(jì)算等腰三角形周長(zhǎng)時(shí),必須考慮三角形三邊關(guān)系.例：等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是3和6,則該三角形的周長(zhǎng)為15.2.三邊關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊．3.角的關(guān)系（1）內(nèi)角和定理：①三角形的內(nèi)角和等180°；②推論：直角三角形的兩銳角互余.（2）外角的性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.②三角形的任意一個(gè)外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角.利用三角形的內(nèi)、外角的性質(zhì)求角度時(shí),若所給條件含比例,倍分關(guān)系等,列方程求解會(huì)更簡(jiǎn)便.有時(shí)也會(huì)結(jié)合平行、折疊、等腰（邊）三角形的性質(zhì)求解.4.三角形中的重要線段四線性質(zhì)（1）角平分線、高結(jié)合求角度時(shí),注意運(yùn)用三角形的內(nèi)角和為180°這一隱含條件.（2）當(dāng)同一個(gè)三角形中出現(xiàn)兩條高,求長(zhǎng)度時(shí),注意運(yùn)用面積這個(gè)中間量來列方才能夠求解.角平分線角平線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等三角形的三條角平分線的相交于一點(diǎn)（內(nèi)心）中線將三角形的面積等分直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半高銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn)；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半5.三角形中內(nèi)、外角與角平分線的規(guī)律總結(jié)如圖①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,則∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；如圖②,BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線,則有∠O=∠A+90°；如圖③,BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線,則∠O=∠A,∠O’=∠O；如圖④,BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線,則∠O=90°-∠A.對(duì)于解答選擇、填空題,可以直接通過結(jié)論解題,會(huì)起到事半功倍的效果.知識(shí)點(diǎn)二：三角形全等的性質(zhì)與判定6.全等三角形的性質(zhì)(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等．(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高相等．(3)全等三角形的周長(zhǎng)等、面積等．失分點(diǎn)警示：運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)時(shí),要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三邊對(duì)應(yīng)相等）SAS（兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等）ASA（兩角和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等）AAS（兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等）失分點(diǎn)警示如圖,SSA和AAA不能判定兩個(gè)三角形全等.直角三角形全等(1)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）(2)證明兩個(gè)直角三角形全等同樣可以用SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的運(yùn)用（1）利用全等證明角、邊相等或求線段長(zhǎng)、求角度：將特征的邊或角放到兩個(gè)全等的三角形中,通過證明全等得到結(jié)論.在尋求全等的條件時(shí),注意公共角、公共邊、對(duì)頂角等銀行條件.（2）全等三角形中的輔助線的作法：①直接連接法：如圖①,連接公共邊,構(gòu)造全等.②倍長(zhǎng)中線法：用于證明線段的不等關(guān)系,如圖②,由SAS可得△ACD≌△EBD,則AC=BE.在△ABE中,AB+BE＞AE,即AB+AC＞2AD.③截長(zhǎng)補(bǔ)短法：適合證明線段的和差關(guān)系,如圖③、④.例：如圖,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,則CE=3.第16講等腰、等邊及直角三角形知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：等腰和等邊三角形關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.等腰三角形（1）性質(zhì) ①等邊對(duì)等角：兩腰相等,底角相等,即AB＝AC∠B＝∠C；②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合;③對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,直線AD是對(duì)稱軸.（2）判定①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②等角對(duì)等邊：即若∠B＝∠C,則△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個(gè)條件中,只要滿足其中兩個(gè),其余均成立.如：如左圖,已知AD⊥BC,D為BC的中點(diǎn),則三角形的形狀是等腰三角形.失分點(diǎn)警示：當(dāng)?shù)妊切蔚难偷撞幻鞔_時(shí),需分類討論.如若等腰三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角為30°,則另外兩個(gè)角的度數(shù)為30°、120°或75°、75°.2.等邊三角形（1）性質(zhì)①邊角關(guān)系：三邊相等,三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC,∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②對(duì)稱性：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對(duì)稱軸.（2）判定①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等（均為60°）的三角形是等邊三角形；③任一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.即若AB＝AC,且∠B＝60°,則△ABC是等邊三角形.（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形,所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質(zhì).（2）等邊三角形有一個(gè)特殊的角60°,所以當(dāng)?shù)冗吶切纬霈F(xiàn)高時(shí),會(huì)結(jié)合直角三角形30°角的性質(zhì),即BD=1/2AB.例：△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,則△ABC的周長(zhǎng)為9.知識(shí)點(diǎn)二：角平分線和垂直平分線3.角平分線（1）性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．即若∠1＝∠2,PA⊥OA,PB⊥OB,則PA＝PB.（2）判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的角平分線上．例：如圖,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分線交AC于D,交AB于E,CD=2,則AC=6.4.垂直平分線圖形（1）性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)距離相等．即若OP垂直且平分AB,則PA＝PB.（2）判定：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．知識(shí)點(diǎn)三：直角三角形的判定與性質(zhì)5.直角三角形的性質(zhì)(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30°則AC＝AB；斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半．即若CD是中線,則CD＝AB.勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．即a2＋b2＝c2.（1）直角三角形的面積S=1/2ch=1/2ab(其中a,b為直角邊,c為斜邊,h是斜邊上的高),可以利用這一公式借助面積這個(gè)中間量解決與高相關(guān)的求長(zhǎng)度問題.（2）已知兩邊,利用勾股定理求長(zhǎng)度,若斜邊不明確,應(yīng)分類討論.（3）在折疊問題中,求長(zhǎng)度,往往需要結(jié)合勾股定理來列方程解決.6.直角三角形的判定(1)有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°,則△ABC是Rt△；(2)如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD,則△ABC是Rt△(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2,則△ABC是Rt△.第17講相似三角形知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：比例線段關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例比例線段在四條線段a,b,c,d中,如果a與b的比等于c與d的比,即,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段．列比例等式時(shí),注意四條線段的大小順序,防止出現(xiàn)比例混亂.2.比例的基本性質(zhì)(1)基本性質(zhì)：?ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性質(zhì)：?＝；（b、d≠0）(3)等比性質(zhì)：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?＝k.（b、d、···、n≠0）已知比例式的值,求相關(guān)字母代數(shù)式的值,常用引入?yún)?shù)法,將所有的量都統(tǒng)一用含同一個(gè)參數(shù)的式子表示,再求代數(shù)式的值,也可以用給出的字母中的一個(gè)表示出其他的字母,再代入求解.如下題可設(shè)a=3k,b=5k,再代入所求式子,也可以把原式變形得a=3/5b代入求解.例：若,則.3.平行線分線段成比例定理（1）兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示,若l3∥l4∥l5,則.利用平行線所截線段成比例求線段長(zhǎng)或線段比時(shí),注意根據(jù)圖形列出比例等式,靈活運(yùn)用比例基本性質(zhì)求解.例：如圖,已知D,E分別是△ABC的邊BC和AC上的點(diǎn),AE=2,CE=3,要使DE∥AB,那么BC：CD應(yīng)等于.（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示,若AB∥CD,則.（3）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形和原三角形相似．如圖所示,若DE∥BC,則△ADE∽△ABC.4.黃金分割點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果eq\f(AC,AB)＝=eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割．其中點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比．例：把長(zhǎng)為10cm的線段進(jìn)行黃金分割,那么較長(zhǎng)線段長(zhǎng)為5(－1)cm．知識(shí)點(diǎn)二：相似三角形的性質(zhì)與判定5.相似三角形的判定(1)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(AAA).如圖,若∠A＝∠D,∠B＝∠E,則△ABC∽△DEF.判定三角形相似的思路：①條件中若有平行線,可用平行線找出相等的角而判定；②條件中若有一對(duì)等角,可再找一對(duì)等角或再找夾這對(duì)等角的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例；③條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例可找夾角相等；④條件中若有一對(duì)直角,可考慮再找一對(duì)等角或證明直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例；⑤條件中若有等腰關(guān)系,可找頂角相等或找一對(duì)底角相等或找底、腰對(duì)應(yīng)成比例.(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．如圖,若∠A＝∠D,,則△ABC∽△DEF.(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．如圖,若,則△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性質(zhì)(1)對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例．(2)周長(zhǎng)之比等于相似比,面積之比等于相似比的平方．(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周長(zhǎng)為3,△DEF的周長(zhǎng)為2,則△ABC與△DEF的面積之比為9：4.(2)如圖,DE∥BC,AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4,則AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解問題的基本圖形,可以迅速找到解題思路,事半功倍.（2）證明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式,把比例式的四條線段分別看做兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊.然后,通過證明這兩個(gè)三角形相似,從而得出結(jié)果.第18講解直角三角形知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的定義關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.銳角三角函數(shù)正弦:sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(a,c)余弦:cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)正切:tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b).根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí),一定根據(jù)題目圖形來理解,嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解,有時(shí)需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.2.特殊角的三角函數(shù)值度數(shù)三角函數(shù)30°45°60°sinAcosAtanA1知識(shí)點(diǎn)二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五個(gè)元素,即三條邊和兩個(gè)銳角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊,正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊,理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊,勾股定理最方便；已知兩邊求一角,函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角,互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊,用除還需正余弦.例：在Rt△ABC中,已知a=5,sinA=30°,則c=10,b=5.4.解直角三角形的常用關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝=cosB=eq\f(a,c),cosA＝sinB=eq\f(b,c),tanA＝eq\f(a,b).知識(shí)點(diǎn)三：解直角三角形的應(yīng)用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．（如圖①）(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比),用字母i表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角,用α表示,則有i＝tanα.（如圖②）(3)方向角：平面上,通過觀察點(diǎn)Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向),則從點(diǎn)O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角,叫做觀測(cè)的方向角．（如圖③）解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：疊合式（2）背靠式解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊,解題時(shí),往往通過這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊,或通過公共邊相等,列方程求解.6.解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟(1)弄清題中名詞、術(shù)語,根據(jù)題意畫出圖形,建立數(shù)學(xué)模型；(2)將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；(3)選擇合適的邊角關(guān)系式,使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義,從而得到問題的解．第五單元四邊形第19講多邊形與平行四邊形知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：多邊形關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.多邊形的相關(guān)概念（1）定義：在平面內(nèi),由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．（2）對(duì)角線：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對(duì)角線,并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n－2)個(gè)三角形；n邊形對(duì)角線條數(shù)為．多邊形中求度數(shù)時(shí),靈活選擇公式求度數(shù),解決多邊形內(nèi)角和問題時(shí),多數(shù)列方程求解.例：(1)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1440°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為10．(2)從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引對(duì)角線,可以把這個(gè)多邊形分割成7個(gè)三角形,則該多邊形為九邊形．2.多邊形的內(nèi)角和、外角和(1)內(nèi)角和：n邊形內(nèi)角和公式為(n－2)·180°（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.3.正多邊形（1）定義：各邊相等,各角也相等的多邊形.（2）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為,每一個(gè)外角為360°/n.(3)正n邊形有n條對(duì)稱軸.（4）對(duì)于正n邊形,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形.知識(shí)點(diǎn)二：平行四邊形的性質(zhì)4.平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形,平行四邊形用“□”表示.利用平行四邊形的性質(zhì)解題時(shí)的一些常用到的結(jié)論和方法：（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長(zhǎng)的一半.（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系,所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題.（3）過平行四邊形對(duì)稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長(zhǎng).例：如圖,□ABCD中,EF過對(duì)角線的交點(diǎn)O,AB=4,AD=3,OF=1.3,則四邊形BCEF的周長(zhǎng)為9.6.5.平行四邊形的性質(zhì)邊：兩組對(duì)邊分別平行且相等.即AB∥CD且AB＝CD,BC∥AD且AD＝BC.（2）角：對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ).即∠BAD＝∠BCD,∠ABC＝∠ADC,∠ABC＋∠BCD＝180°,∠BAD＋∠ADC＝180°.（3）對(duì)角線：互相平分.即OA＝OC,OB＝OD（4）對(duì)稱性：中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱.6.平行四邊形中的幾個(gè)解題模型（1）如圖①,AF平分∠BAD,則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABF為等腰三角形,即AB=BF.（2）平行四邊形的一條對(duì)角線把其分為兩個(gè)全等的三角形,如圖②中△ABD≌△CDB；兩條對(duì)角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形,如圖②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性,可得經(jīng)過對(duì)稱中心O的線段與對(duì)角線所組成的居于中心對(duì)稱位置的三角形全等,如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半.（3）如圖③,已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn),根據(jù)平行線間的距離處處相等,可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）根據(jù)平行四邊形的面積的求法,可得AE·BC=AF·CD.知識(shí)點(diǎn)三：平行四邊形的判定7.平行四邊形的判定（1）方法一（定義法）：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.即若AB∥CD,AD∥BC,則四邊形ABCD是□.（2）方法二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.即若AB＝CD,AD＝BC,則四邊形ABCD是□.（3）方法三：有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.即若AB＝CD,AB∥CD,或AD=BC,AD∥BC,則四邊形ABCD是□.（4）方法四：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.即若OA＝OC,OB＝OD,則四邊形ABCD是□.（5）方法五：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形若∠ABC＝∠ADC,∠BAD＝∠BCD,則四邊形ABCD是□.例：如圖四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,AO=CO,請(qǐng)你添加一個(gè)條件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一個(gè)即可）,使四邊形ABCD為平行四邊形.第20講特殊的平行四邊形知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.性質(zhì)（具有平行四邊形的一切性質(zhì),對(duì)邊平行且相等）矩形菱形正方形(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC;_兩對(duì)全等的等腰三角形.所以經(jīng)常結(jié)合勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)解題.（2）菱形中,有兩對(duì)全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°,則△ABC和△ADC為等邊三角形,且四個(gè)直角三角形中都有一個(gè)30°的銳角.（3）正方形中有8個(gè)等腰直角三角形,解題時(shí)結(jié)合等腰直角三角形的銳角為45°,斜邊=直角邊.（1）四個(gè)角都是直角（2）對(duì)角線相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.（3）面積=長(zhǎng)×寬=2S△ABD=4S△AOB.（1）四邊相等（2）對(duì)角線互相垂直、平分,一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（3）面積=底×高=對(duì)角線_乘積的一半(1)四條邊都相等,四個(gè)角都是直角(2)對(duì)角線相等且互相垂直平分(3)面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=2S△ABD=4S△AOB2.判定（1）定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形（2）有三個(gè)角是直角（3）對(duì)角線相等的平行四邊形（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形（3）四條邊都相等的四邊形（1）定義法：有一個(gè)角是直角,且有一組鄰邊相等的平行四邊形（2）一組鄰邊相等的矩形（3）一個(gè)角是直角的菱形（4）對(duì)角線相等且互相垂直、平分例：判斷正誤.鄰邊相等的四邊形為菱形.（）有三個(gè)角是直角的四邊形式矩形.（）對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.（）對(duì)邊相等的矩形是正方形.（）3.聯(lián)系包含關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)二：特殊平行四邊形的拓展歸納4.中點(diǎn)四邊形（1）任意四邊形多得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.（2）對(duì)角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.（3）對(duì)角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.（4）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.如圖,四邊形ABCD為菱形,則其中點(diǎn)四邊形EFGD的形狀是矩形.5.特殊四邊形中的解題模型（1）矩形：如圖①,E為AD上任意一點(diǎn),EF過矩形中心O,則△AOE≌△COF,S1=S2.（2）正方形:如圖②,若EF⊥MN,則EF=MN;如圖③,P為AD邊上任意一點(diǎn),則PE+PF=AO.（變式：如圖④,四邊形ABCD為矩形,則PE+PF的求法利用面積法,需連接PO.）圖①圖②圖③圖④第六單元圓第21講圓的基本性質(zhì)知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：圓的有關(guān)概念關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)（1）圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形．如圖所示的圓記做⊙O.（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,過圓心的弦叫做直徑,直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦.（3）弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧,小于半圓的弧叫做劣弧,大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.（4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.（5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角.（6）弦心距：圓心到弦的距離.（1）經(jīng)過圓心的直線是該圓的對(duì)稱軸,故圓的對(duì)稱軸有無數(shù)條；（2）3點(diǎn)確定一個(gè)圓,經(jīng)過1點(diǎn)或2點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè).（3）任意三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓,即該三角形的外接圓.知識(shí)點(diǎn)二：垂徑定理及其推論2.垂徑定理及其推論定理垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧．關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合,解題時(shí)往往需要添加輔助線,一般過圓心作弦的垂線,構(gòu)造直角三角形.推論(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條??；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.延伸根據(jù)圓的對(duì)稱性,如圖所示,在以下五條結(jié)論中：弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直徑.只要滿足其中兩個(gè),另外三個(gè)結(jié)論一定成立,即推二知三.知識(shí)點(diǎn)三：圓心角、弧、弦的關(guān)系3.圓心角、弧、弦的關(guān)系定理在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立.推論在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．知識(shí)點(diǎn)四：圓周角定理及其推論4.圓周角定理及其推論（1）定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.如圖a,∠A=1/2∠O.圖a圖b圖c(2)推論：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.如圖b,∠A=∠C.直徑所對(duì)的圓周角是直角.如圖c,∠C=90°.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).如圖a,∠A+∠C=180°,∠ABC+∠ADC=180°.在圓中求角度時(shí),通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑,得到直角三角形,通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等.例：如圖,AB是⊙O的直徑,C,D是⊙O上兩點(diǎn),∠BAC=40°,則∠D的度數(shù)為130°．第22講與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：與圓有關(guān)的位置關(guān)系關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d.(1)d<r?點(diǎn)在⊙O內(nèi)；(2)d＝r?點(diǎn)在⊙O上；(3)d>r?點(diǎn)在⊙O外．判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系,將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可.2.直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交由于圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形,所以關(guān)于圓的位置或計(jì)算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況.例：已知：⊙O的半徑為2,圓心到直線l的距離為1,將直線l沿垂直于l的方向平移,使l與⊙O相切,則平移的距離是1或3.圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)數(shù)量關(guān)系d＞rd＝rd＜r知識(shí)點(diǎn)二：切線的性質(zhì)與判定3.切線的判定（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）.（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.（3）經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí),連半徑,證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時(shí),作垂直,證垂線段等于半徑.4.切線的性質(zhì)（1）切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.（3）切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.利用切線的性質(zhì)解決問題時(shí),通常連過切點(diǎn)的半徑,利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題.*5.切線長(zhǎng)（1）定義：從圓外一點(diǎn)作圓的切線,這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,兩切線長(zhǎng)相等,圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.例：如圖,AB、AC、DB是⊙O的切線,P、C、D為切點(diǎn),如果AB=5,AC=3,則BD的長(zhǎng)為2.知識(shí)點(diǎn)四：三角形與圓5.三角形的外接圓圖形相關(guān)概念圓心的確定內(nèi)、外心的性質(zhì)內(nèi)切圓半徑與三角形邊的關(guān)系：（1）任意三角形的內(nèi)切圓（如圖a）,設(shè)三角形的周長(zhǎng)為C,則S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的內(nèi)切圓（如圖b）①若從切線長(zhǎng)定理推導(dǎo),可得r=1/2(a+b+c);若從面積推導(dǎo),則可得r=.這兩種結(jié)論可在做選擇題和填空題時(shí)直接應(yīng)用.例：已知△ABC的三邊長(zhǎng)a=3,b=4,c=5,則它的外切圓半徑是2.5.經(jīng)過三角形各定點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心叫做三角形的外心,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等6.三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心,這個(gè)三角形叫圓的外切三角形到三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三角形的三條邊的距離相等第23講與圓有關(guān)的計(jì)算知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：正多邊形與圓關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.正多邊形與圓（1）正多邊形的有關(guān)概念：邊長(zhǎng)(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示①.（2）特殊正多邊形中各中心角、長(zhǎng)度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°,△BOC為等邊△a:r:R=2:1:2a:r:R=2::2a:r:R=2:2例：(1)如果一個(gè)正多邊形的中心角為72°,那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是5.(2)半徑為6的正四邊形的邊心距為,中心角等于90°,面積為72.知識(shí)點(diǎn)二：與圓有關(guān)的計(jì)算公式2.弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)l＝；扇形的面積S＝＝例：已知扇形的圓心角為45°,半徑長(zhǎng)為12,則該扇形的弧長(zhǎng)為3π.3.圓錐與側(cè)面展開圖（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形,扇形的半徑等于圓錐的母線,扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng).（2）計(jì)算公式：,S側(cè)==πrl在求不規(guī)則圖形的面積時(shí),注意利用割補(bǔ)法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形,再利用規(guī)則圖形的公式求解.例：如圖,已知一扇形的半徑為3,圓心角為60°,則圖中陰影部分的面積為第七單元圖形與變換第24講平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)與位似知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)