2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)三角?？紗栴} 第1講 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 含解析

第1講三角函數(shù)的煤合應(yīng)用

典型例題

【例1】函數(shù)y=sinχ2的圖象大致是（）

A

【答案】D

【解析】因為J=Siru2為偶函數(shù),所以它的圖象關(guān)于y軸對稱,排除選項A,C；

當(dāng)即χ=±J∣時，ymaχ=1,排除選項B.

故選D.

【例21如圖,圓。的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動點(diǎn),角X的始邊為射線OA,終邊為射線

OP.過點(diǎn)P作直線的垂線,垂足為將點(diǎn)M到直線OP的距離表示為X的函數(shù)/（X）,則

y=∕（x）在區(qū)間［0,句上的圖象大致為（）

【答案】B

【解析】由題意知，/'(x)=∣cosx∣sinr?

士「八萬-II,/、1.?

當(dāng)XE0,—∏7,?(x)=sιrucosx=-sin2x；

,?時，/(X)=-COSXSinX=-gsin2x

當(dāng)x∈

故選B.

【例3】如圖,某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(3x+°)+6

(1)求這一天的最大溫差.

(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.

(2)從圖中可以看出，從6時至U14時的圖象是函數(shù)y=Asin(<ur+°)+b的半個周期的圖象,

A+/?=30,

則《

-A+6=10,

所以A=10,6=2().

Tr)ττπ

因為—=14一6=8,所以T=16=—,所以

2ω8

所以y=IOsinf(X+夕)+20,

因為點(diǎn)(6,10)是五點(diǎn)法作圖中的第四點(diǎn),

~、、4.31.3萬

所以gx6+e=—,解得0φ=—

所求函數(shù)的解析式為y=IOsinKX+?)+20,x∈[6,14].

【例4】設(shè)函數(shù)/(x)=Sin(α)x+0)(口>0),則/(x)的奇偶性()

A.與⑷有關(guān),且與°有關(guān)B.與。有關(guān),但與8無關(guān)

C.與&無關(guān),且與°無關(guān)D.與0無關(guān),但與9有關(guān)

【答案】D

【解析】若函數(shù)/(x)=Sin(a>+0)為奇函數(shù)，則/(O)=Sin(O+夕)=0,即。=%乃,女∈Z.

■JT

若函數(shù)/(%)=Sin(GX+夕)為偶函數(shù),則/(O)=Sin(0+夕)=±1,即9=,+&凡Z∈Z.

所以函數(shù)/(犬)=sin?%+。)的奇偶性與①無關(guān),但與夕有關(guān).故選D.

[例5]若αe[0,句*∈-?,?"￡11,且卜一5)-cosa-22=O,4夕，+gsin2夕+2=O,則

CoS(羨+尸)的值為()

C*

A.()B,-

2DW

【答案】C

【解析】由-COSa-2%=O得24=

由4"+gsin2尸+丸=O得2/1=(-2/7)3+sin(-2/?).

ππ

記/(x)=x3+sinx,x∈

2^,2^

因為r(x)=3χ2+cosx>0,所以/(x)在定義域上是增函數(shù).

由(_]]=/(—20得a/=_2￡,即1+24=全故界,=(,

所以COS(?∣?+∕j)=曰.

【例6】（1）設(shè)％%WR，且-------------1--------------=2,求∣10萬一α∣—4|的最小值?

2+sin<212+sin2%

11

【解析】-----------∈,1,∈

3J2+sin2a21

2+sinσlPl

11

所以1,

2÷sincrl2+sin(2%)

即Sin?=sin(2%)=T,

7tTt

所以因=--

+2?I?,<Z2=---^-k2π,k^k2∈Z

43?冗

|10^-a,-?2|n.n一(2k∣+&)Tr...

(2)已知sin2a+sin2/7+；=sinosin/?+g(sina+sin/?).,求銳角a,β.

【解析】解法1：經(jīng)過適當(dāng)分組,將等式兩邊乘以2,原式化為

sin*2?z-Sina+'+sin2尸一sin/?+?+sin2<z-2sinαsin∕7+sin2/?=0,

44

2

即卜ina-；)+1sin/j-?1I+(Sina-Sin,y=0,

2

所以Sina=SinW=?.

TT

因為為銳角，所以α=∕7=?^.

6

解法2：原式化為關(guān)于Sina（或sin"）的二次方程,利用有實數(shù)根的條件來求解.

1

sin%-sin/?+—Sinα+sin?/j-?sin/7+?j=0.

2

所以A=[in夕+；—4僅in%_；sing+；)

因為SinaGR,..0,

2

所以一3sin2￡+3Sin6-1..0,即卜in/?—1,,0,故sin￡1=0.

22

?111

代入原方程得sin2a-Sina+=0,sina-5=0,所以Sina=Sinp=—.

JT

又a,β為銳角,所以a=/?=一.

6

【例7】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)角α的終邊上任意一點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（無,y）,它與原點(diǎn)的距離是

r（r>0）.規(guī)定:比值T叫做。的“正余混弦”，記作SCha.若SCha=《（Ova<笈）^Jtana=

A?4B?Ic?4D??

【答案】D

【解析】若SCha=—，則~^=Sina-COSa=L

5r5

又sin,a+cos2"=1

43

sιna=—.Sina=一

55(舍去).

解得《或?

34

COSa=一CoSa=-

55

4

求得tana=一

3

［例8］已知向量m=(cosasin6)和n=(?Z∑-sinacose}e∈(4,2τr)閏∣m+n∣=3^^

θπ

COS—+—的值.

28

【解析】〃=卜05夕一Sine+λ∕∑,cose+sinθ),

/n+w∣=J(COSe—SiCe+夜)2+(CoSe+sic。)？=,4+2夜(COSθ-Sin6)

4+4COS16+?2√1+COV4-

Wcosfθ-sr-π^-?=-

由已知∣∕n+w∣=~γ~

425

M(π?(θπ?(θπ?16

m因為tCoSθnH—I=2cos2—I—I—1,又cos1—ι—=—,

14)(28JU8J25

所以e∈(肛2)),從而*工<2+工<22，

v78288

、八

所g以iCOS—+—V0,M故COS—+—=——4.

(28)(28)5

【例9]已知數(shù)列｛%｝滿足4="COS]%也=4+?！?1，求數(shù)列也｝的前50項和.

【解析】bi+b-t++40=(4+4)+(42+4)++(?)+%)

=(tz1+α2++?)+(?+<?+%)

=2(4+%++%o)+%1—4

=2(12×2+α49+tz50)=2(24-50)=-52

【例10](1)已知13111匕114=匕11(。+4),有下列兩個結(jié)論11)存在夕是第一象限角,僅是第三象

限角;⑵存在α是第二象限角,僅是第四象限角.則()

A.⑴⑵均正確B.⑴⑵均錯誤C.⑴對⑵錯D.⑴錯⑵對

【答案】D

[解析】設(shè)tana=x,tan/?=y,則孫="),

l-ry

即孫—X2y2=X+y(*).

對于結(jié)論①，當(dāng)α在第一象限，β在第三象限時,有X>0,y>0.

(*)式等號兩邊同除以刈，得I=D+｝+；

由三元均值不等式知孫+,+,..3,故結(jié)論①錯誤.

Xy

對于結(jié)論②,將(*)式整理成關(guān)于X的二次方程y2f+(l-γ)x+y=0.

當(dāng)夕在第四象限時，y<0,方程丁2/+(1—y)χ+y=o的兩根之積%々=_1<0.

故該方程有一個負(fù)根,存在第二象限的a,故結(jié)論②正確.綜上可知,選D.

（2）已知sir√α+sir?/+sin2/=1（?,β,Y均為銳角）,則CoSaCoSSCoS7的最大值等于.

【答案】：工而

9

【解析】因為sin2α+sin2∕J+sin2∕=l,

所以cos2cr+cos1β+cos2/=2..3#CoSZcos2尸CoST,

【例11】已知函數(shù)/（x）=2SinX+sin2x,則/（x）的值域是.

rΛΛ?<*>1??/???/?

【答案】一一—,——

22

【解析】函數(shù)〃x)的一個周期為2萬,

故/(x)在區(qū)間［-鞏句上的值域就是其在整個定義域上的值域.

下面求“力在區(qū)間［―4,句上的值域.

1

/'（X）=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4COSX——cosx+1）.

2

令（（x）..0,得g勵OSX1,所以-?c

令/'（X）”0,得-掇9OSX；,所以-磁Jr-y,y≡!kπ

故/(x)在區(qū)間-π*上單調(diào)遞減,在區(qū)間-微,《上單調(diào)遞增,

在區(qū)間-,π上單調(diào)遞減.

3

故/(x)max=max</(一萬)，/(7),=竽，

/(x)min=min</(一5)'/(7)，=一孚.

故/(x)的值域為一孚,孚.

【例12】已知a,b,ceR若,cos2χ+