人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題18.12 三角形的中位線（培優(yōu)篇）（專項練習(xí)）

專題18.12三角形的中位線（培優(yōu)篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖，的周長為19，點，在邊上，的角平分線垂直于，垂足為，的角平分線垂直于，垂足為，若，則的長度為（

）A． B．2 C． D．32．如圖，在中，，，、分別是其角平分線和中線，過點作于，交于，連接，則線段的長為（

）A．1 B．2 C． D．73．如圖，四邊形中.為的平分線，，E，F(xiàn)分別是的中點，則的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.54．如圖所示，在中，，，D是邊的中點，E是邊上一點，若平分的周長，則的長是（

）A．1 B．2 C． D．5．如圖，三角形紙片ABC，點D是BC邊上一點，連結(jié)AD，把沿著AD翻折，得到，DE與AC交于點F．若點F是DE的中點，，，的面積為9，則點F到BC的距離為（

）A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.86．如圖，?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點E、P，連接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，則下列結(jié)論：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．17．如圖，△ABC的面積為1．第一次操作：分別延長AB，BC，CA至點A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，順次連接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分別延長A1B1，B1C1，C1A1至點A2，B2，C2；使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，順次連接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2021，最少經(jīng)過（）次操作．A．2 B．3 C．4 D．58．如圖，的對角線、相交于點E，點O為的中點，連接并延長，交的延長線于點D，交于點G，連接、，若的面積為24，則的面積為（

）A．5 B．3 C．2 D．19．如圖是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O上下轉(zhuǎn)動，立柱OC與地面垂直，設(shè)B點的最大高度為h1．若將橫板AB換成橫板A′B′，且A′B′=2AB，O仍為A′B′的中點，設(shè)B′點的最大高度為h2，則下列結(jié)論正確的是【】A．h2=2h1 B．h2=1.5h1 C．h2=h1 D．h2=h110．如圖，分別以直角的斜邊，直角邊為邊向外作等邊和等邊，為的中點，與交于點，與交于點，，．給出如下結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③；④；其中正確結(jié)論的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空題11．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，點H、G分別是邊DC、BC上的動點，其中點H不與點C重合，連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF，則EF的最小值為______．12．如圖，在中，是邊上的中點，是的平分線，于點，已知，，那么的長為________．13．在四邊形中，，分別是邊，的中點，若，，，，則______．14．如圖，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，點D和點E分別是AB，AC的中點，點F和點G分別在BA和CA的延長線上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，則GD的長為_____．15．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=90°,AB=4cm，BC=8cm，E、F是AD，DC的中點，連接EF、BE、BF，已知四邊形ABCD的面積為36，△DEF的面積是△DAC面積的，求△BEF的面積_____.16．如圖，在矩形中，，E是邊上的一個動點，連接，過點D作于F，連接，當(dāng)為等腰三角形時，則的長是______．17．在ABC中，D，E分別是AC，BC的中點，點F在邊AB上，BD與FC相交于點G，連接EG，若，則________．18．如圖，已知矩形對角線和相交于點O，點E是邊上一動點，與相交于點F，連結(jié)．（1）若點E為的中點，則=_______；（2）若點F為的中點，則=_________．三、解答題19．如圖，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BC，CD的延長線上，且CE＝2，DF＝1，G為EF的中點，連接OE，交CD于點H，連接GH．(1)求證：HO=HE．(2)求線段GH的長．20．如圖，，，D，E分別為AB，BC的中點，點F在CA的延長線上，(1)求證：；(2)若，，求四邊形AEDF的周長．21．如圖，在菱形中，、分別是、的中點．求證；若菱形的面積為8，則的面積為______．22．如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，，點為線段的中點．(1)求證：；(2)若，分別是，的中點．判斷的形狀并證明你的結(jié)論；當(dāng)，且時，求平行四邊形的面積．23．如圖1，直線和直線相交于A點，B、C分別在y軸的正半軸和負(fù)半軸上，且，C點坐標(biāo)為．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)在線段上找一點P，使得，求P點的坐標(biāo)；(3)如圖2，D點為線段的中點，若點Q是線段（不與點A、B重合）上一點，且使得，請求出Q點坐標(biāo)．24．如圖，在中，∠A＝60°，，垂足為F，點D、E分別為BC、AC上的點，連接BE，交CF于點M，連接DE、DF、EF．如圖①，當(dāng)BE⊥AC時：①若CM＝4，F(xiàn)M＝2，求BE的長；．②若AB＝AC，D為EC邊上的中點，求證：△DEF時是等邊三角形；．如圖②，若AB≠AC，DB＝DF，DC＝DE，試猜想△DEF是不是等邊三角形？如果是，請加以證明；如果不是，請說明理由．參考答案1．C【分析】證明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根據(jù)題意求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，．∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴點N是AE中點，點M是AD中點（三線合一），∴MN是△ADE的中位線，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=DE=．故選：C．【點撥】此題考查了三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．2．A【分析】根據(jù)已知條件利用ASA證明．再計算出BG，根據(jù)點E、F是中點，得到EF是△BGC的中位線，得出EF的長度．解：∵∴∠AFC=∠AFG∵AF是的角平分線∴∠GAF=∠CAF在和中，，，，，，，，，故選：．【點撥】本題考查三角形的中位線、全等三角形．靈活使用中點是本題的解題關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到，求得，如圖：連接并延長交于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵為的平分線，∴，∴，∴，如圖：連接并延長交于G∵∴，∵F是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是BD的中點，∴．故選：A．【點撥】本題主要考查了三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點，根據(jù)題意正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】延長到點F，使，連接AF，過點作于點H，根據(jù)DE平分的周長，D為中點，推出，得到，推出是的中位線．得到，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等邊對等角，，=1，得到，推出，推出，得到．解：延長到點F，使，連接AF，過點作于點H，平分的周長，且D為中點

是的中位線．，，=1，，∴，，．故選：D．【點撥】本題主要考查了三角形中位線，等腰三角形，三角形外角，含30°角的直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握三角形中位線的判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30°角的直角三角形邊的性質(zhì)．5．B【分析】連接BE，交AD于點O．過點E作于點H，點F作于點G，由翻折的性質(zhì)可得出AB=AE，，BD=DE，易證，得出結(jié)論BO=EO，，即證明．由題意可求出DF=EF=2.5，BD=DE=5，即得出和等底同高，即可求出的面積，從而可求出EO的長，進而可求出BE的長．再在中，利用勾股定理可求出OD的長，最后在中，利用等積法，即可求出的長，再由點F是DE的中點和所作輔助線，即可求出FG的長，即點F到BC的距離．解：如圖，連接BE，交AD于點O．過點E作于點H，點F作于點G，由翻折可知AB=AE，，BD=DE，又∵AO=AO，∴，∴BO=EO，，∴．∵點F是DE的中點，EF=2.5，∴DF=EF=2.5，BD=DE=5，∴和等底同高，∴．∵，∴，解得：．∴在中，，∵．∴．又∵，∴，解得：．∵點F是DE的中點，，，∴FG為中位線，∴．故選B．【點撥】本題考查翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的判定和性質(zhì)．正確的作出輔助線和利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．6．A【分析】①先根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)得：∠BAE＝∠BEA，則AB＝BE＝2，由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，即可得到E為BC中點，再根據(jù)中位線定理得到AB=2OE，即AD=4OE；②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根據(jù)勾股定理計算OC，OD的長，即可求BD的長；③根據(jù)大角對大邊進行計算求解即可得到答案；④過點P分別作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到即可求得，由此求出即可得出結(jié)論．解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝2，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝BE＝2，∵BC＝4，∴EC＝2，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE＝30°，∴∠BAC＝∠DCA＝90°，∵CE＝BE＝2∴E為BC的中點∴OE為△ABC的中位線∴OE=AB=1，OE∥AB，∴∠EOC＝∠BAC＝90°，∵BC＝2AB∴BC=4OE∴AD=4OE∴①正確Rt△EOC中，OC＝，在Rt△OCD中，OD＝BD＝2OD＝2故②正確在Rt△AOE中，∵AE是斜邊∴AE＞AO∴AB＞AO∴∠AOB＞∠ABO∴∠AOB＞45°∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°∵OE=∴∠BOE＞∠OBE∵∠ACB=30°，∠EOC=90°∴∠OEC=60°∴∠OEB=120°∴∠BOE+∠OBE=60°∴∠BOE＞30°∴③正確過點P分別作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N∴PM=PN（角平分線的性質(zhì)）∴∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∴∴∴∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=OC=，∴∴④正確綜上，正確的個數(shù)是4個故選：A．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積，角平分線的性質(zhì)，三角形中位線定理，大角對大邊等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABE是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵，并熟練掌握同高三角形面積的關(guān)系．7．C【分析】結(jié)合題意根據(jù)三角形的面積公式可知如果兩個三角形等底同高，則它們面積相等，從而推出，，進而得到，再以此類推進行求解即可．解：如圖，連接A1C，∵AB＝A1B，S△ABC＝1∴，∵BC＝B1C，∴，∴，同理，，，∴，同理可得，第二次操作后，第三次操作后的面積為7×49＝343，第四次操作后的面積為7×343＝2401，故按此規(guī)律，要使到的三角形的面積超過2021，至少要經(jīng)過4次操作．故選：C．【點撥】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形邊的關(guān)系推出其面積的關(guān)系，從而結(jié)合圖形進行求解．8．C【分析】利用平行四邊形的對角線、相交于點，可得，即點為的中點，由于點為的中點，所以為的中位線，可得，且；利用可得，進而得出；利用高相等的三角形的面積比等于它們底的比可得；利用，可得，利用，可得，答案可得．解：四邊形是平行四邊形，，，是的中位線，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，，，，故選：C．【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，三角形全等的判定與性質(zhì)，利用高相等的三角形的面積比等于它們底的比是解題的關(guān)鍵．9．C解：直接根據(jù)三角形中位線定理進行解答即可：如圖所示：∵O為AB的中點，OC⊥AD，BD⊥AD，∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位線．∴h1=2OC．同理，當(dāng)將橫板AB換成橫板A′B′，且A′B′=2AB，O仍為A′B′的中點，設(shè)B′點的最大高度為h2，則h2=2OC．∴h1=h2．故選C．10．D【分析】根據(jù)已知先判斷△ABC≌△EFA，則∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，證明FH是△ABC的中位線，得HF=BC，由BC=AB，AB=BD即可得FH=BD，從而有BD=4FH，接著證明△DBF≌△EFA得AE=DF，再由FE=AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG，從而得到答案．解：∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC，∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，∵F為AB的中點，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴∠AHE=90°，∴EF⊥AC，故①正確，∵EF⊥AC，∴AH=CH，∵F是AB的中點，∴FH是△ABC的中位線，∴HF=BC，∵BC=AB，AB=BD，∴FH=BD，即BD=4FH，故④說法正確；∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE=DF，∵FE=AB，∴EF=AD，∴四邊形ADFE為平行四邊形，故②說法正確；∴AG=AF，∴AG=AB，∵AD=AB，則AD=4AG，故③說法正確，故選：D．【點撥】本題考查含30度直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用所學(xué)知識解決問題是解題的關(guān)鍵．11．【分析】連接AG，根據(jù)點E為AH的中點，點F為GH的中點，得到EF=，故EF的最小值，只有當(dāng)AG取得最小值時，才能成立，AG的最小值為垂線段AG，根據(jù)勾股定理計算即可．解：如圖，連接AG，因為點E為AH的中點，點F為GH的中點，所以EF=，故EF的最小值，只有當(dāng)AG取得最小值時，才能成立，AG的最小值為垂線段AG，過點A作AM⊥BC，垂足為M，因為，，所以BM=2，AM=，故EF的最小值為=故答案為：．【點撥】本題考查了三角形中位線定理，垂線段最短，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．12．4【分析】延長BP交AC于N，利用三線合一得出△ABN為等腰三角形，再利用M是BC中點，求證PM是△BNC的中位線，即可求出MP的長．解：延長BP交AC于N∵AP是∠BAC的角平分線，BP⊥AP于P，∴為等腰三角形，∴AN=AB=16，BP=PN，∴CN=AC-AN=24-16=8，∵是邊上的中點∴BM=CM，∴PM是△BNC的中位線，∴PM=CN=4．故答案為：4．【點撥】此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證PM是△BNC的中位線．13．145°【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，結(jié)合圖形計算即可．解：連接BD，∵點E、F分別是邊AB、AD的中點，∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，∴∠ADB＝∠AFE＝55°，∵，，∵，，∴，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°，故答案為：145°．【點撥】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．【分析】先利用三角形的中位線的性質(zhì)求得線段，然后在，，，中分別利用勾股定理即可求解．解：∵點D和點E分別是AB，AC的中點，BC＝10，∴，∵Rt△ABC中∠BAC＝90°，∴，，，都是直角三角形，∵GF＝6，EF＝4，∴由勾股定理得，①，②，③，∴，得，∵在中，，∴，解得或（不合題意，舍去）故答案為：【點撥】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，此處勾股定理的靈活運算是解題的關(guān)鍵．15．13【分析】過D點作DM⊥AC,分別交AC、EF于點M、N，過B點作BP⊥AC，垂足為P,先利用勾股定理和中位線定理求出AC和EF的長，然后利用面積法求出相應(yīng)的高MN，BP，再利用面積公式求出的面積.解：過D點作DM⊥AC,分別交AC、EF于點M、N，過B點作BP⊥AC，垂足為P,∵AB=4，BC=8，∴AC=,∵E、F是AD，DC的中點，∴EF=

∵四邊形ABCD的面積=36,∴,即,∴

∴，∴

∴

=13.【點撥】本題主要考查了勾股定理和三角形中位線以及三角形面積問題，正確做出輔助線和利用面積法求出相應(yīng)的高MN，BP是解題的關(guān)鍵.16．2或或【分析】判斷是等腰三角形，要分類討論，①；②；③，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解．解：①時，過點作，垂足為點．∴為的中點，則，，取為的中點，∴，為的中位線，即，∴、、三點在一條線上，即，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴當(dāng)時，是等腰三角形；②時，則，∵，，∴，∴則，∴當(dāng)B時，是等腰三角形；③時，則點在的垂直平分線上，取中點，連接、．易知為矩形，∴，，∴、、在同一直線上，∴為的中位線，∵，，∴，，，∴，即：，整理得：，即，解得：或（舍去）∴當(dāng)時，△CDF是等腰三角形．綜上，當(dāng)、、時，是等腰三角形．故答案為：2或或．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．17．【分析】取AF的中點H，連接DH，可證得為BD中點，由中位線性質(zhì)證明，繼而證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合等底等高的面積相等解題即可．解：取AF的中點H，連接DH，如圖，為AF的中點，D為AC的中點，H為AF的中點，是的中位線，為BD中點，為BC的中點，D為AC的中點，設(shè)D為AC的中點，，故答案為：．【點撥】本題考查三角形中位線性質(zhì)、相似三角形的判斷與性質(zhì)、等底等高三角形的面積等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．18．

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2【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點O是的中點，再結(jié)合已知可得是的中位線，從而可得，，然后證明8字模型相似三角形可得，利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答；（2）過作交于點，利用平行線分線段成比例和三角形全等即可求解．(1)解：∵為矩形對角線交點，∴．∵點為中點，∴為的中位線，∴，，∵，∴，∴；(2)如圖，過作交于點，∴，∴點為中點．∴為的中位線，∴，∵，∴．又∵，，∴，∴，∴，即．故答案為（1）；（2）2．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)等，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．(1)見分析 (2)【分析】（1）過點O作OM⊥CD交CD于M，易證△OHM≌△EHC，可證得結(jié)論；（2）連接OF，根據(jù)（1）的結(jié)論，和點是的中點，可得是的中位線定理利用勾股定理可求得的長．解：（1）過點O作OM⊥CD交CD于M，∵O為正方形對角線AC和BD的交點，正方形ABCD的邊長為4，CE＝2，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，，在△OHM與△EHC中，，∴，∴HO=HE．（2）連接OF，點H、點G分別為OE、FE的中點，∴GH為△OEF的中位線，∴，∵，∴，在中，，∴．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明解答．20．(1)證明見分析 (2)16【分析】（1）D，E分別為AB，BC的中點，，因此AE=EB，等腰三角形兩底角相等，可證明，即可得到結(jié)果；（2）由（1）可得四邊形AFDE為平行四邊形，對邊相等，根據(jù)勾股定理可得AB的長，因為中點問題，可得到AD、AE、ED的長，即可得到結(jié)果．（1）證明：∵D，E分別為AB，BC的中點，∴，∴,即，∵D是中點，,∴AE=EB，即,∵，∴∵點F在CA的延長線上，∴，在和中，∴，∴；（2）解：由（1）得，∴四邊形AFDE為平行四邊形，∴AE=DF，∵，，∴,∵D，E分別為AB，BC的中點，∴，∴，即DE=AF=3，AE=DF=5，所以四邊形AEDF的周長=5+3+5+3=16．【點撥】本題考查了三角形中位線的定理，全等三角形的證明及判定，平行四邊形的證明及判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是找到角之間的關(guān)系和邊長之間的關(guān)系．21．(1)見分析 (2)3【分析】(1)由四邊形ABCD是菱形，即可求得AB＝AD，∠B＝∠D，又由、分別是、的中點可證得BE＝DF，根據(jù)SAS，即可證△ABE≌△ADF得AE＝AF，從而得證．(2)連接AC、BD，交于點O，AC交EF于點G，根據(jù)菱形性質(zhì)可得菱形面積公式，然后根據(jù)三角形中位線定理得EF與BD關(guān)系，最后根據(jù)三角形面積公式代入計算可得答案．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D，∵、分別是、的中點,∴，，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE．（2）連接AC、BD，交于點O，AC交EF于點G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝OC，菱形ABCD的面積為：，∵點E、F分別是邊BC、CD的中點，∴EF∥BD，EF＝BD，∴AC⊥EF，AG＝3CG，設(shè)AC＝a，BD＝b，∴，即ab＝16，∴．故答案為：3【點撥】此題考查的是菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，能夠利用三角形面積公式得到答案是解決此題關(guān)鍵．22．(1)見分析，(2)的形狀為等腰三角形，理由見分析；②24【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)易證，再證是等腰三角形，由等腰三角形三線合一性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（2）①易證，由為中點，得出，再由、分別是、的中點，得出，由平行四邊形的性質(zhì)得，即可得出，則是等腰三角形；②先證四邊形是平行四邊形，得出，，再證、、都是等腰直角三角形，設(shè)，則，，由勾股定理求出，得出，，最后由，即可得出答案．解：（1）四邊形是平行四邊形，，，，，，是等腰三角形，點為線段的中點，，；（2）①的形狀為等腰三角形，理由如下：是等腰三角形，是中點，，，為中點，，、分別是、的中點，，四邊形是平行四邊形，，，是等腰三角形；解：四邊形是平行四邊形，，，，，、分別是、的中點，，是的中位線，，，，是的中點，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，由得：，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：或不合題意，舍去，，，．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形面積的計算等知識；熟