廣東省茂名市電白區(qū)2023-2024學年高二上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（含答案解析）

2023-2024學年度第一學期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學（時間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.雙曲線經(jīng)過點，焦點分別為、，則雙曲線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由關(guān)系結(jié)合已知即可求解.【詳解】由題意知，，所以，所以雙曲線的方程為.故選：D.2.如圖，正方體的棱長為1，設(shè)，，，則（）A.1 B. C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合空間向量的數(shù)量積分析求解.【詳解】由題意可知：，所以.故選：A.3.若點在圓內(nèi)，則直線與圓C的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點與圓，直線與圓位置關(guān)系計算即可判斷.【詳解】因為點在圓內(nèi)，所以，設(shè)圓心到直線的距離為,則，圓的半徑,因為，所以直線與圓的位置關(guān)系為相離.故選：.4.在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺 C.37.5尺 D.96尺【答案】A【解析】【分析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案．【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A．5.過拋物線的焦點作直線l，交拋物線于A、B兩點.若線段的中點橫坐標為2，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由中點坐標公式結(jié)合定義法求解拋物線焦點弦即可.【詳解】由題意，所以.故選：C.6.如圖，正三棱柱的棱長都是1，M是的中點，（），且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，由共線向量表示出，又，結(jié)合已知可得，由此即可得解.【詳解】建立空間直角坐標系如圖，則，，，，，設(shè)，由，得，所以，，，所有，，因為，，所以，得.故選：C.7.已知數(shù)列滿足，，且（，且），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以首項為1，公比為的等比數(shù)列，即可得結(jié)果.【詳解】因為，則，且，又因為，，即，可知數(shù)列是以首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以.故選：A.8.定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為1的正方體中，直線AC與之間的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解法1：設(shè)是上任意一點，過作，垂足為，設(shè)，，根據(jù)垂直關(guān)系可得，根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積運算求解；解法2：建系，利用坐標法結(jié)合向量投影運算求解.【詳解】解法1：設(shè)是上任意一點，過作，垂足為，設(shè)，，則，，由題意可知：，因為，則，可得，則，所以，當且僅當時，等號成立，所以直線與之間距離是；解法2：以DA，DC，為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，可得，，設(shè)，且，，則，取，則，，可得，則在上的投影就是兩異面直線間的距離.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解法2解決的關(guān)鍵是將兩異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為在上的投影，從而得解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.如果，，那么直線經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線斜率與截距判斷即可.【詳解】因為，故，故直線的斜截式方程為：，因為，，故，，故直線經(jīng)過第一象限、第三象限、第四象限．故選：ACD．10.已知角，則方程可能表示下列哪些曲線（）A.橢圓 B.雙曲線 C.圓 D.兩條直線【答案】ABCD【解析】【分析】根據(jù)題意討論的取值范圍，結(jié)合方程分析判斷.【詳解】當時，則，即，方程可化為，表示雙曲線，故B正確；當時，則，方程可化為，表示兩條直線，故D正確；當時，則，即方程可化為，表示焦點在軸上的橢圓，故A正確；當時，則，方程可化為，表示圓，故C正確.故選：ABCD.11.一條光線從點射出，經(jīng)x軸反射后，與圓C：相切，在下列方程中，不是反射光線所在直線方程的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由題意設(shè)，由直線和圓相切的條件列方程即可求解.【詳解】反射光線所在直線經(jīng)過點A關(guān)于軸對稱的點，圓C的圓心，半徑為1，顯然反射光線斜率存在，設(shè)反射光線所在直線方程為，因為反射光線與圓C相切，所以，解得，，代入方程得，，即反射光線所在直線方程為，.故選：AD.12.數(shù)列滿足：，，，下列說法正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.數(shù)列是遞減數(shù)列 D.的前項和【答案】AB【解析】【分析】推導出，，從而數(shù)列為首項為，公比為3的等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的性質(zhì)能求出結(jié)果．【詳解】解：數(shù)列滿足：，，，，，，數(shù)列為首項為，公比為3的等比數(shù)列，故正確；，，故正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，故錯誤；數(shù)列的前項和為：，的前項和，故錯誤．故選：．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓與圓，則兩圓心之間的距離為________.【答案】5【解析】【分析】由圓的一般方程可得圓心，再結(jié)合兩點間距離公式運算求解.【詳解】由題意可知：兩圓心坐標分別為，，所以兩圓心之間的距離為.故答案為：5.14.是雙曲線上一點，點，分別是雙曲線左右焦點，若，則______.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.【詳解】是雙曲線上一點，所以，所以，由雙曲線定義可知，所以或者，又，所以，故答案為：9.15.已知數(shù)列滿足：，則________.【答案】【解析】【分析】由題意構(gòu)造數(shù)列，由此可得當時，，進一步即可求解.【詳解】設(shè)，的前項和為，則，當時，，即，當時，，滿足題意，所以，.故答案為：.16.已知橢圓：的左右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用橢圓定義及對稱性表示出，結(jié)合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得.【詳解】令橢圓：半焦距為c，設(shè)，則，由點在軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，，所以的離心率為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項和為，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的求和公式進行基本量運算，可得數(shù)列的通項公式；（2）利用等差數(shù)列的求和公式可得數(shù)列的前項和．【詳解】（1）由題意可知解得所以數(shù)列通項公式為.（2）數(shù)列的前項和.18.已知圓與相交于A、B兩點，（1）求的長；（2）求圓心在直線上，且經(jīng)過A，B兩點的圓的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先兩圓方程相減得公共弦方程，結(jié)合點到直線的距離公式，弦長公式即可求解.（2）聯(lián)立兩圓方程求出A、B兩點坐標，得出中垂線方程，聯(lián)立直線方程得圓心坐標，由兩點之間距離公式得半徑，由此即可得解.【小問1詳解】兩圓方程相減得即，圓的圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，由垂徑定理得.【小問2詳解】由得或，不妨設(shè)，，的垂直平分線為，由得圓心坐標為，半徑長為，所以圓的方程為.19.已知點和圓Q：，過點P作圓Q的兩條切線，切點分別為A、B，（1）求切線的長；（2）求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，，結(jié)合勾股定理即可得解.（2）將原問題轉(zhuǎn)換為求以為直徑的圓和已知圓的公共弦方程來求解即可.【小問1詳解】圓的圓心為，半徑，，因為故所以，的長都是.【小問2詳解】因為，，所以A、B都在以為直徑的圓上，圓心為的中點，半徑長為，所以圓的方程為，即，由得，故直線的方程為.20.如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點在棱上.（1）證明：平面平面；（2）當時，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，求出各邊長，由勾股定理逆定理得到，從而證明出線面垂直，面面垂直；（2）解法一：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建系，寫出點的坐標及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取的中點，連接，以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建系，寫出點的坐標及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小問1詳解】因為底面，平面，所以.四邊形是直角梯形，，，因為，所以.所以，所以.又因為，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.【小問2詳解】解法一：以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設(shè)點的坐標為，因為，所以，即，所以.所以.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，得.又因為平面，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以，二面角的余弦值為.解法二：取的中點，連接，以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設(shè)點坐標為，因為，所以，即，所以.所以.設(shè)平面的一個法向量為，則.取，則，則.又因為平面，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以二面角的余弦值為21.已知某條河上有拋物線型拱橋，當水面距拱頂5米時，水面寬8米，一條木船寬4米，木船露出水面上的部分高為0.75米.（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求拱橋所在拋物線的方程；（2）當水面上漲0.5米時，木船能否通行？（3）當水面上漲多少米時，木船開始不能通行？【答案】（1）（2）能（3）3【解析】【分析】（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標系并設(shè)出拋物線的方程，進而求出方程;（2）（3）根據(jù)已知條件及（1）的結(jié)論，結(jié)合點在拋物線上即可求解；【小問1詳解】以拱頂為原點，拱橋的對稱軸為軸建立直角坐標系.如圖所示設(shè)拋物線的方程為，則點在拋物線上，代入方程得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】當水面上漲0.5米時，木船與拱頂?shù)木嚯x為3.75米，設(shè)，代入方程得，故，則，所以木船能通行；【小問3詳解】假設(shè)當水面上漲米時，木船開始不能通行，此時木船與拱橋接觸，且與拱頂?shù)木嚯x為，把代入方程，得，故，由，得.所以當水面上漲3米時，木船開始不能通行.22.已知橢圓：（）的上頂點為A，離心率為.拋物線：截x軸所得的線段長為的長半軸長.（1）求橢圓的方程；（2）過原點的直線l與相交于B，C兩點，直線分別與相交于P，Q兩點.①證明：直線與直線的斜率之積為定值；②記和的面積分別是，，求的最小值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）由的關(guān)系以及，即可求解.（2）①由題意設(shè)方程為.聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達定理以及斜率公式即可得證.②由三角形面積公式只需分別求出，分別聯(lián)立直線方程與拋物線、橢圓方程，結(jié)合弦長公式以