組合（教學設計）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

.2.3組合教學設計課時教學內容本節(jié)主要內容是組合的概念，是在學生學習了兩個基本計數(shù)原理、排列及排列數(shù)公式以后學習的，是排列與排列數(shù)知識的延續(xù)，也是后面學習組合數(shù)和二項式定理的基礎.學生已經掌握了排列問題，并且對順序與排列的關系已經有了一個比較清晰的認識.而組合與排列的關鍵區(qū)別在于問題是否與順序有關.與順序有關的是排列問題，與順序無關的是組合問題，順序對排列、組合問題的求解特別重要.理解了這一點，能加深對組合概念的理解.課時教學目標（1）理解組合和組合數(shù)的概念，能夠區(qū)分組合數(shù)和組合；（2）通過探索排列和組合的關系，利用計數(shù)原理推導組合數(shù)公式；（3）通過組合數(shù)的計算，體會“數(shù)學運算”，通過探索排列和組合的關系，體會“邏輯推理”教學重點、難點1.重點：理解組合數(shù)的概念、推導組合數(shù)的公式及性質2.難點：將實際問題中的具體對象抽象為元素，歸納總結出組合的定義；正確區(qū)分排列與組合.教學過程設計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，引入課題問題1.從甲乙丙三名同學中選兩名去參加一項活動，有多少種不同的選法？這一問題與6.2.1節(jié)問題一有什么聯(lián)系與區(qū)別？師生活動：教師提出問題，學生思考辨析、討論交流.讓學生充分討論交流后，找?guī)酌矸窒碛懻摻Y果.本節(jié)問題1中的所有選法有3種情況：甲乙，甲丙，乙丙.選法與順序無關.6.2.1節(jié)問題1中的所有選法有6種情況：甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙.選法與順序有關.設計意圖：通過對這兩個問題的辨析，讓學生理解這兩類問題的本質區(qū)別，為引入組合的概念奠定基礎.分析：在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2種不同順序的選法，我們可以將它看成是先選出甲、乙2名同學，然后再分配上午和下午而得到的．同樣，先選出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2種方法．而從甲、乙、丙3名同學中選2名去參加一項活動，就只需考慮將選出的2名同學作為一組，不需要考慮他們的順序．于是，在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，將選出的2名同學作為一組的選法就只有如下3種情況：．甲乙，甲丙，乙丙．將具體背景舍去，上述問題可以概括為：從3個不同元素中取出2個元素作為一組，一共有多少個不同的組?這就是我們要研究的問題．師生活動：可以根據(jù)學生的具體情況，選擇下列合適的問題引導學生對問題1進行分析：(1)問題1中要完成的“一件事情”是什么？比較6.2.1節(jié)問題1與本節(jié)問題1中要完成的“一件事情”，它們有什么異同？(2)列出問題1的各種不同選法，與6.2.1節(jié)問題1的選法相比，它們有什么不同？是否與順序有關？設計意圖：既檢測了分析解決排列問題的情況，又在排列問題的基礎上引出組合問題，為抽象得到組合的概念作準備.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念問題2：6.2.1節(jié)中的問題1可歸結為“從3個不同的元素中任意取出2個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法?”類似地，應該如何表述本節(jié)問題1呢？師生活動：如果學生作上述歸納有困難，可引導他們思考下列問題：(1)在6.2.1節(jié)中，把問題1歸結為“從3個不同的元素中任意取出2個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法?”類似地，應該如何表述本節(jié)問題1呢？(2)在6.2.1節(jié)中，把問題1和問題2推廣為一般形式“從個不同元素中取出個元素，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法?”類似地，應該如何將本節(jié)問題1推廣到一般情形呢？在問題2的基礎上，給出組合的定義：設計意圖：通過類比排列定義的得出過程，歸納得出組合的定義，讓學生體會類比與歸納在抽象數(shù)學概念中的作用，提升學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念組合的相關概念1.組合:一般地，從個不同元素中取出個元素作為一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合(combination)．2.相同組合:兩個組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.設計意圖：類比排列概念的形成，從特殊到一般得出組合的概念.問題3：你能說一說排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎？師生活動：可引導學生結合下列具體問題進行思考：(1)列出6.2.1節(jié)問題1中相同元素的排列，這樣的排列共有幾組？(2)對比本節(jié)問題1與6.2.1節(jié)問題1,它們所取的元素是否相同？它們與順序是否有關?本節(jié)問題1的組合個數(shù)與6.2.1節(jié)問題1的排列數(shù)有何關系？（3）“從〃個不同元素中取出加個元素的組合”與“從〃個不同元素中取出相個元素的排列”的聯(lián)系與區(qū)別分別是什么？(1)共同點:兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素.(2)不同點:排列與元素的順序有關,組合與元素的順序無關.師生活動：教師引導學生根據(jù)排列、組合的定義，抓住是否有“順序”這個關鍵點解決問題.環(huán)節(jié)四辨析理解，深化概念從排列與組合的定義可以知道，兩者都是從個不同元素中取出個元素，這是它們的共同點．但排列與元素的順序有關，而組合與元素的順序無關．只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的；而兩個組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的．例如，在上述探究問題中，“甲乙”與“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列順序不同，因此它們是相同的組合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”為標準分類，就可以建立起排列和組合之間的對應關系，如圖6.2-7所示．由此，6.2.1節(jié)問題1的6個排列可以分成每組有2個不同排列的3個組，也就是上面探究問題的3個組合．思考：校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛．下面的問題是排列問題，還是組合問題?（1）從中選3輛，有多少種不同的方法?（2）從中選3輛給3位同學，有多少種不同的方法?（1）與順序無關，是組合問題；（2）選出3輛給3位同學是有順序的，是排列問題。師生活動：教師引導學生根據(jù)排列、組合的定義，抓住是否有“順序”這個關鍵解決問題.在教學中，還可以讓學生舉出不同的具體實例，并說明這些例子是否屬于組合問題，通過這些實例增強對組合的認識.設計意圖：通過分析、比較組合與排列的實例，以及利用概念判斷是排列問題還是組合問題，厘清排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別，讓學生利用排列與組合的定義進行辨析，加深對這兩個概念的理解，進一步明確組合的概念,提升學生的數(shù)學建模核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)五概念應用，鞏固內化例5平面內有A，B，C，D共4個點（1）以其中2個點為端點的有向線段共有多少條?（2）以其中2個點為端點的線段共有多少條?分析：（1）確定一條有向線段，不僅要確定兩個端點，還要考慮它們的順序，是排列問題；（2）確定一條線段，只需確定兩個端點，而不需考慮它們的順序，是組合問題．解：（1）一條有向線段的兩個端點要分起點和終點，以平面內4個點中的2個為端點的有向線段的條數(shù)，就是從4個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為．這12條有向線段分別為．（2）由于不考慮兩個端點的順序，因此將（1）中端點相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是以平面內4個點中的2個點為端點的線段的條數(shù)，共有如下6條：．師生活動：教師要引導學生判斷是排列問題還是組合問題，關鍵是下面兩個問題：（1）要完成的“一件事情”是什么？（2）完成的“一件事情”是否與“順序”有關？設計意圖：通過分析和解決具體的排列與組合問題，幫助學生理解組合的概念.問題4：利用排列和組合之間的關系，以“元素相同”為標準分類，你能建立起例5（1）中排列和（2）中組合之間的對應關系嗎？進一步地，能否從這種對應關系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個數(shù)？設計意圖：讓學生區(qū)分有向線段與線段這兩個概念，進一步辨析排列與組合的概念，加深對排列與組合概念的理解與認識.環(huán)節(jié)六歸納總結,反思提升1.教師引導學生回顧本節(jié)課所學知識，并讓學生結合實例說明：(1)如何判斷一個計數(shù)問題是排列問題還是組合問題？(2)如何求一個組合問題的所有組合個數(shù)？組合個數(shù)與排列個數(shù)的關系是什么？2.知識清單：(1)組合與組合數(shù)的定義．(2)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系．(3)用列舉法寫組合．設計意圖：通過兩個問題的設計，讓學生回顧本節(jié)課學習的內容，提升學生歸納總結的能力.環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置完成教材：教科書第26頁習題6.2第4,7題.練習（第22頁）1．甲、乙、丙、丁支足球隊舉行單循環(huán)賽．（1）列出所有各場比賽的雙方；解析：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙?。?）列出所有冠、亞軍的可能情況．解析：冠軍甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁亞軍乙甲丙甲丁甲丙乙丁乙丁丙2．已知平面內A，B，C，D這4個點中任何3個點都不在一條直線上，寫出以其中任意3個點為頂點的所有三角形．2．【解析】因為平面內A，B，C，D這4個點中任何3個點都不在