2023年上海市松江區(qū)初三3月線下中考數(shù)學(xué)一模試卷含詳解

數(shù)學(xué)練習(xí)卷

考生注意：

1.本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ?/p>

選擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分.

2.答題前，務(wù)必在答題紙上填寫姓名、學(xué)校和考號.

3.答題紙與試卷在試題編號上是一一對應(yīng)的，答題時應(yīng)特別注意，不能錯位.

一、選擇題（本大題共6題）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的

代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

己知tanA=6口則銳角A的度數(shù)是（

1.□

A.30°B,45°C.60°D,75°

2.已知RtAABC中，ZC=90o,AC=2,BC=3,那么下列結(jié)論正確的是（）

2222

A.tanA=—B.cotA=一C.sinA=-D.cosA=-

3333

3.關(guān)于拋物線y=-2（x+lf-3,下列說法正確的是（)

A.開口向上B.與y軸的交點是（（）,一3）

C.頂點是（1,—3）D.對稱軸是直線X=-I

4.已知a、b為非零向量，下列判斷錯誤是（）

A.如果α=2人，那么α〃/?B.如果。+6=0,那么。〃/7

如果Id=W，那么Q=〃或〃=—人那么忖

C.D.如果e為單位向量，且a=2e，

5.如圖，為測量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距。米的A、8兩點處，觀測對岸的標(biāo)志物P,測得NQ4B=。、

NPBA=6，那么這條河的寬度是（）

aa

Ak麗米BE麗米

aa

Ctanα+tan夕米D?荷匚嬴7米

6.如圖，直角梯形ABCD中，AD//BC,NA5C=90。，A8=3,AD=2,3C=4.P是84延長線上一點,

使得RW與&PBC相似，這樣的點P的個數(shù)是（）

AD

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共12題）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】

X3x-y

7.己知一=一,則-——.

y2χ+y

8.已知線段A8=6,P是AB的黃金分割點，且B4>PB,那么的長是.

ΛβO

9.如圖，已知直線AO〃JB七〃C尸，如果——=一，DE=3,那么線段所的長是

BC3

10.如圖，一ABC中，NAc6=90。，AB=A,E是邊AC的中點，延長5C到點￡>,使BC=2C。，那么JDE的

長是.

11.如圖，RtAABC中，NACB=90。，CDJ_AB于點。，如果AC=3,A8=5,那么CoSNBeD的值是

12.如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比1=1:0.75,堤高BC=4.8米，那么坡面AB的長度是米.

13.把拋物線y=f+l向左平移2個單位，所得新拋物線的表達式是

14.如果一條拋物線經(jīng)過點A（-2,0）和6（4,0）,那么該拋物線的對稱軸是直線.

15.已知一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（0,2）,且在y軸左側(cè)部分是上升的，那么該二次函數(shù)的解析式可以是

（只要寫出一個符合要求的解析式）.

16.公園草坪上，自動澆水噴頭噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的離地高度y（米）關(guān)于水珠與噴頭的水平

距離X（米）的函數(shù)解析式是y=-1χ2+gχ（owχ≤4）.那么水珠的最大離地高度是米.

S

17.已知-ABC,P是邊BC上一點，PAB、ΛPAC重心分別為G∣,G2,那么苦瓜的值為______.

?.ABC

3

18.如圖，已知RtZ?A8C中，ZC=90o.sinA=-,將一A8C繞點C旋轉(zhuǎn)至^A3'C,如果直線AZ'_LA8，

Λ∩

垂足記為點。，那么——的值為

BD--------

三、解答題（本大題共7題）

19.如圖，已知JRC中，點。、E分別在邊AB、AC上，DE//BC,AD=IDB.

（1）如果BC=4,求Z）E的長；

（2）設(shè)A8=",DE=b，用a、b表示AC?

20已知二次函數(shù)y=2/—4x—l.

OX

(1)用配方法求這個二次函數(shù)的頂點坐標(biāo);

(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系Xoy中(如圖)，畫出這個二次函數(shù)的圖像;

(3)請描述這個二次函數(shù)圖像的變化趨勢.

21.如圖，已知~A3C中，AB=AC=10,BC=I2,。是AC的中點，DE上BC于點E，ED、B4的延長線

DF

(2)求匕的值.

DE

22.小明想利用測角儀測量操場上旗桿AB的高度.如圖，他先在點C處放置一個高為1.6米的測角儀(圖中CE),

測得旗桿頂部A的仰角為45。，再沿BC的方向后退3.5米到點。處，用同一個測角儀(圖中。E),又測得旗桿頂

部A的仰角為37°.試求旗桿AB的高度.(參考數(shù)據(jù)：sin37o≈0.6,COS37°≈0.8,tan37o≈0.75)

23.如圖，已知梯形ABC。中，AD//BC.E是邊AB上一點，CE與對角線交于點F,且8爐=EF?EC?

AD

F

BC

求證：

(1)ΛABD∕?FCB；

(2)BDBE=ADCE.

24.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中(如圖)，已知拋物線y=ɑt2+c(α≠o)經(jīng)過點4(2,0)和點B(-4,3).

yjk

B.-

1-

~,'l~O-'i^^A~~'

(1)求該拋物線表達式;

(2)平移這條拋物線，所得新拋物線的頂點為P(W,〃).

①如果Po=PA,且新拋物線的頂點在B的內(nèi)部，求加+〃的取值范圍；

②如果新拋物線經(jīng)過原點，且NPQ4=NQBA,求點P的坐標(biāo).

25.己知梯形ABCz)中，AD//BC,ZABC=90°,AB=4,BC=6,E是線段CD上一點，連接3E.

(1)如圖1,如果Az)=1,且CE=3DE,求NABE的正切值;

(2)如圖2,如果BELCD,且CE=2DE,求AO的長；

(3)如果BEJ?CD,且，ABE是等腰三角形，求.ABE的面積.

數(shù)學(xué)練習(xí)卷

考生注意：

1.本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ?/p>

選擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分.

2.答題前，務(wù)必在答題紙上填寫姓名、學(xué)校和考號.

3.答題紙與試卷在試題編號上是一一對應(yīng)的，答題時應(yīng)特別注意，不能錯位.

一、選擇題（本大題共6題）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的

代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

1.己知tanA=G口則銳角A的度數(shù)是（□

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】因為tanA=6，A為銳角,由特殊角的三角函數(shù)值即可解答.

【詳解】因為tanA=G,A為銳角

由特殊角的三角函數(shù)值知：

A=60o□

故選C.

【點睛】掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵.

2.已知RtZ?ABC中，ZC=90o,AC=2,BC=3,那么下列結(jié)論正確的是（）

2222

A.tanA=—B.CotA=—C.SinA=—D.cosA=—

3333

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理求得斜邊長，進而根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：如圖

□RtZXABC中，ZC=90o,AC=2,BC=3,

AB=^AC2+BC2=713.

BC3“AC2,BC33√13,AC22√13

/.tanA4=----=—,cotA=-----=—,sinA4=-----=__=--------,cosA=------=__=--------

AC2BC3AB√B13AB√1313

故選：B.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.關(guān)于拋物線y=-2（x+lf-3,下列說法正確的是（）

A.開口向上B.與y軸的交點是（（）,一3）

C.頂點是(1,-3)D,對稱軸是直線X=T

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式中系數(shù)與圖形的關(guān)系即可求解.

【詳解】解：A選項，拋物線y=-2(x+1)2—3中，?=-2<0,圖像開口向下，故A選項錯誤，不符合題意；

B選項，令X=0,函數(shù)值y=-2(0+I)2-3=-5,則拋物線與N軸的交點是(0,-5),故B選項錯誤，不符合

題意；

C選項，根據(jù)頂點式得，拋物線y=-2(x+Ip-3的頂點為(T-3),故C選項錯誤，不符合題意；

D選項，拋物線y=—2(x+l)2-3的對稱軸是直線X=-1,故D選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)系數(shù)與圖像的關(guān)系，理解并掌握二次函數(shù)中系數(shù)與圖像開口，對稱軸，與羽丁軸

交點的特點，頂點坐標(biāo)的計算方法是解題的關(guān)鍵.

4.已知4、為非零向量，下列判斷錯誤的是()

A.如果α=2∕),那么α〃∕?B.如果a+。=。，那么“〃/?

C.如果，/卜卜|,那么a=。或°=一8D,如果e為單位向量，且a=2e，那么卜卜2

【答案】C

【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義進行判斷即可.

【詳解】解：A、如果a=2b,那么a〃。，故本選正確;

B、如果a+b=O,那么a〃8，故本選正確；

C、如果H=W,沒法判斷a與b之間的關(guān)系，故本選項錯誤

D、如果e為單位向量，且a=2e，那么卜|=2,故本選正確；

故選：C.

【點睛】本題考查了平面向量，熟記單位向量、平行向量以及模的定義是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，為測量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距。米的A、8兩點處，觀測對岸的標(biāo)志物P,測得NPAB=e、

NPBA=尸，那么這條河的寬度是()

aa

,淅eB?M麗米

aa

Ctan…”米Dtan…米

【答案】A

PCPC

［分析］過點P作PC_LAB于點C,則這條河的寬度是PC的長,根據(jù)銳角三角函數(shù)可得ΛC=——,BC=--

tanatanp

從而得到PC?cot6+PC?cot∕=α,即可求解.

【詳解】解：如圖，過點P作PC，AB于點C,則這條河的寬度是PC的長，

PCPC

?*tana=---,tanβ=,

ACBC

PC

.?AC=-^-,BC=PC

tanatanβ

'：AB=AC+BC=α米,

PCPC

--------1----------=Cl,

?tanatanβ

即PC?cotβ+PC-cotβ-a.

：.PC(COt0+cotβ)=a,

即PC=E而米,

即這條河的寬度是-----------米，

cota+cotp

故選：A.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，直角梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=90o,AB=3,Ar）=2，BC=A.P是B4延長線上一點,

使得A4D與一PBC相似，這樣的點P的個數(shù)是（）

BC

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由于N24O=N~BC=90°,故要使94。與PBC相似，分兩種情況討論：①AAPO??BPC,②

∕?ΛPD4BCP，這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等求出”的長，即可得到尸點的個數(shù).

【詳解】2B90?,

.?.ZA=180o-ZB=90°,

\?PAD?PBC90?.

設(shè)”的長為X,則3P=AB+ΛP=3+x.

若AB邊上存在尸點，使4RM＞與APBC相似，那么分兩種情況:

DAΛΓ)

①若八針。?ZSBPC,則==H

BPBC

X2

即——=-

3+x4

解得：X=3

PAΛ∩

②若△仍9ABCP，KiJ-=--,

BCBr

X2

即ππ一=----

43+x

整理得：χ2+3X-8=0,

士四，-S-?（舍去）

2-2

滿足條件的點P的個數(shù)是2個,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，難度適中，進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共12題）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】

X3X-y

7.已知一=二，則一」=

y2χ+y

【答案】?

X33

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，由一=;可得χ=1）,然后代入式子進行計算即可得解.

V22

X3

【詳解】解：Y-=;,

）2

3

x=-y

2

3

-

,X-y一JV/Vy?

則一-=4----

χ+y35

Ly

故答案為：—

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，掌握分式的基本性質(zhì)并能靈活運用性質(zhì)進行分式的化簡求值是解題的關(guān)

鍵.

8.已知線段AB=6,P是AB的黃金分割點，且PA>PB,那么24的長是.

【答案】3√5-3

【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，24是較長線段得到PA=UAB,代入數(shù)據(jù)即可得出PA的長.

2

【詳解】解：???P是AB的黃金分割點，且PA>~B,AB=6,

.?.=i-×6=3√5-3?

2

故答案為：3石-3.

【點睛】本題考查了黃金分割的定義，理解黃金分割點的概念.牢記黃金分割比是解題關(guān)鍵.

AD2

9.如圖，已知直線A七〃b,如果一=—,DE=3,那么線段防的長是

BC3

【分析】由平行線所截線段對應(yīng)成比例可知——=—,然后代入OE的值求解即可.

BCEF

【詳解】解：：AD〃BE〃CF

.ABDE2

-5C^EF^3

DE=3

339

.?EF^-DE=-×3=~.

222

9

故答案為：—

2

【點晴】本題主要考查平行線所截線段對應(yīng)成比例，熟練掌握比例線段的計算是解決本題的關(guān)鍵.

10.如圖，—ABC中，NACB=90。，AB=4,E是邊AC的中點，延長BC到點。，使BC=2CD,那么OE的

長是

A

【答案】2

【分析】先判斷出aACBs^ECD,再利用相似三角形的性質(zhì)即可得到DE.

【詳解*YZACB=9()。，

?.ZACB=NECD,

??E是邊AC的中點，BC=2CD,

.BJAJo

?——2，

CDCE

,.ΛACB^ΛECD,

,BC_AB

.aT而一2

：AB=4

???DE=2.

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

11.如圖，RtzλABC中，NAC3=90。，CDJ_A3于點。，如果AC=3,AB=5,那么CoSNBcD的值是.

C

【分析】根據(jù)題意得出NδC0=9O°-NACD=NA,繼而根據(jù)余弦的定義即可求解.

【詳解】解：匚RtAABC中，ZACB=90o,CDlAB,

：.ZBCD=90°-ZACr)=ZA,

*?,AC=3>AB=5,

AC3

cosZJBCD-cosA==—,

AB5

3

故答案為：—.

【點睛】本題考查了求余弦，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比i=l:0.75,堤高6C=4.8米，那么坡面AB的長度是米.

B

CA

【答案】6

【分析】首先根據(jù)坡比求出AC的長度，然后根據(jù)勾股定理求出AB的長度.

【詳解】解：???迎水坡AB坡比i=kθ.75,

，BC:AC=1:0.75

???堤高BC=4.8米，

???AC=3.6米，

?^?AB=√AC2+BC2=6米，

故答案為：6.

【點睛】此題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，熟記坡比的定義是解題的關(guān)鍵.

13.把拋物線y=∕+l向左平移2個單位，所得新拋物線的表達式是.

【答案】y=(x+2)2+l

【分析】根據(jù)拋物線頂點坐標(biāo)(0,1),再左平移2個單位即(-2,1),再利用頂點式拋物線解析式寫出即可.

【詳解】)=犬+1的頂點坐標(biāo)(0』)，拋物線y=f+ι左平移2個單位后的拋物線的頂點坐標(biāo)為(-2,1),新的

頂點式拋物線為y=(x+2)2+1.

故答案為：y=(%+2)2+l.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.并根據(jù)規(guī)律利

用點的變化確定函數(shù)解析式.

14.如果一條拋物線經(jīng)過點A(-2,0)和B(4,0),那么該拋物線的對稱軸是直線.

【答案】X=I

【分析】根據(jù)AB的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對稱軸，即可得出.

【詳解】解：???拋物線經(jīng)過點A(-2,0)和B(4,0),

-2+4

二拋物線的對稱軸是直線X=-------=1，

2

故答案為：X=L

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的對稱軸，求出拋物線的對稱軸是解題的關(guān)鍵.

15.已知一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(0,2),且在y軸左側(cè)部分是上升的，那么該二次函數(shù)的解析式可以是

(只要寫出一個符合要求的解析式).

【答案】)=一￡+2(答案不唯一)

【分析】由于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0,2）,且在y軸左側(cè)部分是上升的，由此可以確定拋物線的對稱軸為V軸或

在〉軸的右側(cè)，且圖象開口向下，由此可以確定函數(shù)解析式不唯一.

【詳解】解：???二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（0,2）,且在y軸左側(cè)部分是上升的，

若二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（0,2）,且圖象開口向下，

.?.二次函數(shù)解析式的二次項系數(shù)4<0,

.?.二次函數(shù)解析式不唯一，如：y=-x2+2

故答案為：y=-x2+2（答案不唯一）

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù).

16.公園草坪上，自動澆水噴頭噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的離地高度y（米）關(guān)于水珠與噴頭的水平

距離X（米）的函數(shù)解析式是y=—gχ2+gχ（o≤χ≤4）.那么水珠的最大離地高度是米.

4

【答案】-

3

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可求解.

I414

【詳解】Vy=--χ2+-χ=--（χ-2）9-÷-（0≤%≤4）,

4

.?.x=2時，y取最大值

4

即水珠的高度達到最大一米時，水珠與噴頭的水平距離是2米，

3

4

故答案為：—.

3

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握把二次函數(shù)的解析式化為頂點式.

S

17.己知尸是邊BC上一點，_上鉆、z?P4C的重心分別為G1、G2,那么芳豆的值為______.

，ABC

2

【答案】1

【分析】由重心可知線段45=幽=2,得到ΛGiG^..AEF,從而得出面積比，再利用中線的性質(zhì)得到最

AEAF3

后的面積之比.

（詳解］解：G，G2是?APB,ZXAPC的重心，

,AG1_AG2_2

"~AE~^?F~3,

?.?ZG1AG2=NEAF,

.?.AGlG2^i.AEF,

S

.AG1G24

"S.AEF-9'

E,b分別是BPCP的中點,

qIq1

，..°AEP_——1，0APF—_—1

°ABP乙0APC乙

.SAEF=1

ABC2

SA「「412

【點睛】本題主要考查重心的性質(zhì)以及線段比與面積的關(guān)系，熟練掌握重心的性質(zhì)以及利用線段比求面積比是解

決本題的關(guān)鍵.

3

18.如圖，已知RtZ?A8C中，NC=90°,SinA=1,將A8C繞點C旋轉(zhuǎn)至^A'8'C,如果直線AZ'LAB，

垂足記為點。，那么——的值為

BD-----------

…4-28

【答案】77或二

213

【分析】設(shè)8C=34,則AB=54,AC=Aa,分兩種情況討論，畫出圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列式

計算即可求解.

3

【詳解】解：?；RtAABC中，NC=9O。，sinA=j,

bc3

??a--

AB5

設(shè)8C=3α,則ΛB=54,AC=44,

：將_ABC繞點C旋轉(zhuǎn)至△A'8'C,

BC=BC=3α,則AB'=AB=5a,AC=AC=4α,∠≤A=∠≤A,，NB=NB'，

如圖，A'B=o,ZA=ZA',ZACB=ZADB=90°,

A

L?X

B/

.?.小ACBS小NDB,

A'BBDaBD

：.——=—,則nl一=—,

ABBC5a3a

：.BD=-,

5

α284

.?.AD=AB+BD^5a+-^-，

55

28a

.AD-28

1

如圖，AB'=a,NA=NA',ZACB=ZADB'=90。,

C

??.ΛACB'^ΛADB,,

AB'AD,aAD

：.----=-----,則rl一=——,

A'B'A'C5a4a

._4α

AD——,

5

A2Ia

：.BD=AB-AD^5a—--a=-，

55

4α

.必=￡=土

"BD21α21,

5

故答案為：陽■或工

213

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正弦函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)

知識解決問題.

三、解答題（本大題共7題）

19.如圖，已知JiBC中，點O、E分別在邊AB、AC上，DE//BC,AD^2DB.

A

（1）如果8C=4,求Z）E的長；

（2）設(shè)48=",DE-b>用&、〃表示AC?

O

【答案】（1）DE=-

3

3

（2）AC=aH—b

2

4nn/7Δ∩2DF2

【分析】（1）先證明A4DEA3。得到一=一，再根據(jù)已知條件推出——=得到一=-,由此即

ABBCAB3BC3

可得到答案；

（2）先求出BC=之〃，再由AC=A3+3C進行求解即可.

2

【小問1詳解】

解：：。七〃BC,

Λ?APf∞?AβC

.ADDE

??--------.

ABBC

,.?AD=2DB,

.AD2

?.--——,

AB3

DE2

---=—,

BC3

?.?BC=4,

O

...DE=—；

3

【小問2詳解】

閆DE2

解：?DE-b>'

DC3

3

??.BC=-b,

2

VAB^a，

3

：.AC=AB+BC=a-?—b.

2

DE是解題

【點睛】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)與判定，向量的線性運算，證明ESAABC推出一=2

BC3

的關(guān)鍵.

20.已知二次函數(shù)y=2χ2-4x-l.

1

；;OI：X

（1）用配方法求這個二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；

（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系Xoy中（如圖），畫出這個二次函數(shù)的圖像；

（3）請描述這個二次函數(shù)圖像的變化趨勢.

【答案】（1）頂點坐標(biāo)（L—3）

（2）見解析（3）這個二次函數(shù)圖像在對稱軸直線X=I左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的

【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得出答案；

（2）先求出幾個特殊的點，然后描點連線即可；

（3）根據(jù)（2）函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

解：（1）y=2Y-?4x-1=2（x?-2x）-1=2（x-1）-3

.?.二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)（1,—3）；

【小問2詳解】

解：當(dāng)X=O時，y=-l,

當(dāng)>=-1時，X=2,

經(jīng)過點（O,τ）,（2,-1）,

頂點坐標(biāo)為：（1,-3）

圖像如圖所示：

【小問3詳解】

解：這個二次函數(shù)圖像在對稱軸直線X=I左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及作圖方法，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

21.如圖，已知」IBC中，4B=AC=10,BC=I2,。是AC的中點，DELBC于點E，ED、84的延長線

(1)求NABC的正切值;

DF

(2)求士上的值.

DE

4

【答案】ɑ)tan8=-

3

⑵*

【分析】3)過點A作4/_LBC于點”，由AB=AC=Io得到是等腰三角形，由三線合一得到

BH=CH=6,由勾股定理求得47=8,根據(jù)正切的定義即可得到答案;

「J-?

(2)由AHL3C,FE上BC得到AH〃FE，則上"=?~由。是AC的中點，得到Z)E是一AeH的中位線,

ADEH

求得Z)E=4,進一步得到4色=2=2,求得EF=I2,得到=8,即可得到答案.

FEBE3

【小問1詳解】

解：過點A作A〃_L3C于點H,

VBC=12,AHLBC,

：.BH=CH=6,

.?.Rt△AB”中，AH=y∣AB2-BH2=√102-62=8，

???tanT=1

BH63

【小問2詳解】

解：?：AHLBC,FELBC,

'.AH//FE，

.CDCE

AD~EH'

：。是AC中點，

/.EH=CE,

，DE是一AC〃的中位線，DE=-AH=A,

2

?.?BH=CH,

.AHBH2

''~FE~~BE~3,

：.EF=I2,

：.DF=8

，絲=2.

DE

【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定

義、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

22.小明想利用測角儀測量操場上旗桿AB的高度.如圖，他先在點C處放置一個高為1.6米的測角儀（圖中CE）,

測得旗桿頂部A的仰角為45°,再沿BC的方向后退3.5米到點。處，用同一個測角儀（圖中￡>/），又測得旗桿頂

部A的仰角為37°.試求旗桿AB的高度.（參考數(shù)據(jù):sin37°?0.6,cos37°≈0.8.tan37o≈0.75）

A

【答案】旗桿的高度AB約為12.1米

【分析】如圖所示，延長EE,交AB于點G,則EGiA3,設(shè)EG=x,則AG=GE=x,FG=GE+EF=x+3.5,

在RtZXAFG中，根據(jù)三角函數(shù)值的計算方法即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長在，交AB于點G,則戶GlAB,

由題意得，NAEG=45°,NAFG=37°,FE=3.5,CE=1.6,

設(shè)EG=%,則AG=GE=X,FG=GE+EF=x+3.5,GB=CE=Is

在RtaAFG中，tanZAFG=tan37°=-^=0.75,

FG

：.--------=0.75,解得X=Io.5,即AG=GE=I0.5（米），

X+3.5

.?.AB=4G+GS=10.5+L6=12.1（米）.

.?.旗桿的高度AB約為12.1米.

【點睛】本題主要考查仰俯角測量高度，理解圖示中角與線的關(guān)系，掌握仰俯角測量高度的方法，三角函數(shù)值的計

算方法是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，已知梯形ABCf）中，AD//BC.E是邊AB上一點，CE與對角線BD交于點F,且8爐=成?.后。.

B

求證：

(1)AABDAFCB；

(2)BDBE=ADCE.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【分析】(1)由BE2=EPEC可證7BEF:NCEB,得到NEBF=NECB,再由A?！˙C得到

ZADB=ZDCB,即可證明ZXASOBCB；

BFBFABRDADBFAD

(2)由VB￡F:VCEB得到——=——，ΛABD△八%得到——=—=—,進而得到——=—,即可

BCCEFCBCBFCEBD

得到BDBE=ADCE.

【小問1詳解】

???BE12=EF-EC>

.BECE

"'~EF~~BE

"：?BEF?CEB,

.?.NBEF:NCEB

：./EBF=ZECB

,/AD//BC,

ZADB=ZDCB

.?ΛABDAFCB；

【小問2詳解】

,/NBEF:NCEB,

.BFBE

"~BC~~CE

'：/XABD∕?FCB,

.ABBDAD

''~FC^~BC^~BF

.BFAD

"~BC~~BD

.BEAD

：.BEBD=ADCE.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定方法是解題的關(guān)鍵.

24.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中（如圖），已知拋物線y=以2+?620）經(jīng)過點4（2,0）和點3（—1,3）.

%

B..

1-

1^~δi~A^^'

(1)求該拋物線的表達式；

(2)平移這條拋物線，所得新拋物線的頂點為

①如果PO=B4,且新拋物線的頂點在的內(nèi)部，求m+〃的取值范圍;

②如果新拋物線經(jīng)過原點，且NPQ4=NQBA,求點P的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的表達式y(tǒng)=-d+4

(2)①加+〃的取值范圍是1<加+〃<2；②

【分析】(1)根據(jù)拋物線y=狽2+c(ɑ≠0)經(jīng)過點A(2,0)和點8(-l,3),待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)①新拋物線的頂點為P(m,n),A(2,0),由PO=Q4得出機=1,待定系數(shù)法求解析式得直線AB的解析式：

y=-x+2,根據(jù)題意，當(dāng)x=l時，y=l,新拋物線的頂點在二AO8的內(nèi)部，得出0<〃<1,繼而即可求解；

②新拋物線的頂點為。(牡〃)，設(shè)拋物線解析式為y=—(x—〃?/+〃，由新拋物線經(jīng)過原點，得出〃=/川，根據(jù)

加21

ZPOA=ZOBA9得出tan/PO4="一二上，即可求解.

m2

【小問1詳解】

；拋物線y=以2+c(a≠0)經(jīng)過點A(2,0)和點B(-l,3),

[40+c=0[a=-?

a+c=3[c=4-

.?.拋物線的表達式y(tǒng)=-V+4

【小問2詳解】

①新拋物線的頂點為PW,〃)，A(2,0)

*/PO=PA,

/.m=1

?.?A(2,0)?3(-1,3),

設(shè)直線AB的解析式為y=kχ+b,