2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題6：主從聯(lián)動(dòng)瓜豆模型（提優(yōu)版）

PAGE20PAGE1PAGE1中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)6：主從聯(lián)動(dòng)（瓜豆原理）【模型特點(diǎn)】1.主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定值（∠PAQ是定值）;2.主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定值（AP:AQ是定值）.主從聯(lián)動(dòng)模型五要素: 情形1:直線軌跡結(jié)論:①P，Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ或∠PAQ的補(bǔ)角;②P，Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN及△ABP∽△AMQ,可得AP:AQ＝AB:AM＝BC:MN） 情形2:圓軌跡結(jié)論:①主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角:∠PAQ＝∠OAM;②主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比，也等于兩圓的半徑之比，即AP:AQ＝AO:AM＝OP:MQ 【模型構(gòu)造】1.如圖，P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫(huà)出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡. 2.如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫(huà)出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡. 3.如圖，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫(huà)出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡. 4.如圖，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為邊在AP的上方作等邊△APQ.當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫(huà)出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡.【模型遷移】1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE，CE，點(diǎn)F是EC上一點(diǎn)，連接DF，點(diǎn)P為DF的中點(diǎn)，連接BP，則BP的最小值為_(kāi)____.2.如圖，等腰△ABC的面積為23，AB＝AC，BC＝2.作AE∥BC，且AE＝13.如圖，點(diǎn)O是等腰Rt△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝52，OE＝2，連接BE，以BE為直角邊，在BE的右側(cè)作等腰Rt△BEF，其中∠BEF＝90°，連接AF，則四邊形4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝?4x【綜合強(qiáng)化】1.（從動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線）[問(wèn)題發(fā)現(xiàn)]（1）如圖①，在邊長(zhǎng)為5的等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AB邊上一點(diǎn)，且BD＝2BE＝2，點(diǎn)P是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)，以PD為邊向右作等邊△PDF.①過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，連接DE.試探究PE與DG之間的數(shù)量關(guān)系;②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng);[類(lèi)比探究]（2）如圖②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG，求CG的最小值.圖①2.（從動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓）如圖①，正方形ABCD中，AB＝6，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),OE＝2,連接DE,過(guò)點(diǎn)D在DE的右側(cè)作DF⊥DE,且DE＝DF,連接AE,CF.（1）求證:AE＝CF;（2）如圖②，若A，E，O三點(diǎn)共線，求點(diǎn)F到直線BC的距離;（3）求線段OF的最小值.3.[問(wèn)題提出]（1）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F是DE上一點(diǎn)，連接BF，CF.若S1，S2分別表示△ABC和△BCF的面積，則S1與S2之間的等量關(guān)系為;[問(wèn)題探究]（2）如圖②，點(diǎn)D是等邊△ABC中AB邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，以CD為邊向BC上方作等邊△CDE，若AB＝6，求點(diǎn)E到BC邊的距離;[問(wèn)題解決]（3）如圖③是園林規(guī)劃局在草坪一角∠MON內(nèi)改建一個(gè)花卉展的展覽用地的設(shè)計(jì)示意圖，其中∠MON＝90°，OA＝30m，AC＝BC，∠ACB＝60°，連接OC.按照設(shè)計(jì)要求，在△OBC區(qū)域內(nèi)種植紅玫瑰，△OAC區(qū)域內(nèi)種植黃玫瑰，設(shè)OB的長(zhǎng)為x（m），紅