2022-2023學(xué)年山東省青島市普通高校對(duì)口單招數(shù)學(xué)自考測(cè)試卷(含答案)

2022-2023學(xué)年山東省青島市普通高校對(duì)口

單招數(shù)學(xué)自考測(cè)試卷(含答案)

班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(10題)

1.命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)是奇函數(shù)”的否命題是()

A.f(x)是偶函數(shù)，則f(-x)是偶函數(shù)

B.若f(x)不是奇函數(shù)，則f(-x)不是奇函數(shù)

C.若f(-x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)

D.若f(-x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)

2.已知a是函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點(diǎn)，則a=()

A.-4B,-2C.4D,2

M-'xS=”

3.設(shè)集合l「2j，則MS等于()

2

A.{x|x>二}

2

B.{x|x>-}

C.{x|x<2}

2

D.{x|x<1}

4.若向量"','11'-

A.(4,6)B,(-4,-6)C.(-2,-2)D.(2,2)

5.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2,則3a+3b的最小值是()

A.18

B.6

C.2J3

D.1>

6.已知sin2a<0,且cosa>0,則a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.函數(shù))'=31+旭。一工)的定義域是()

A.(-l,l)B.[0,l]C.[-l,1)D.(-1,1]

8.己知向量a=(2,1),b=(-L2),則a,b之間的位置關(guān)系為()

A.平行B.不平行也不垂直C.垂直D.以上都不對(duì)

9.設(shè)m>n>l且0<a<1,則下列不等式成立的是()

A.am<an

B.an<am

C.am<an

D.ma<na

10.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,-3),焦點(diǎn)為F(-4,3)的拋物線方程是()

A.(y-3)2=-4(x+2)

B.(y+3)2=4(x+2)

C.(y-3)2=8(x+2)

D.(y+3)2=-8(x+2)

二、填空題(10題)

11.若lgx=-l,貝Ux=.

12.設(shè)平面向量a=(2,sina),b=(cosa,1/6),且a//b,則sin2a的值是

13.執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的k的值為.

t

14.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和%若％=$3=12,則％=

15.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,3),其傾斜角為135。，則直線1的方程為

點(diǎn)M(3.4)關(guān)「X軸對(duì)稱點(diǎn)的的

16.

一等差數(shù)列中已如公差為3,且為12,WJ5*

17.

18汝口圖是一個(gè)程序框圖，若輸入x的值為8,則輸出的k的值為

邛

3

AP=—AB_

19.已知點(diǎn)A(5,-3)B(1,5)4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

20.已知圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)與底面的直徑相等，則該圓柱的

表面積為.

三、計(jì)算題(5題)

21.有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為10,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)

列，公比為3,求這四個(gè)數(shù).

22.己知｛aQ為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a3=6,S3=12,求公差d.

23.甲、乙兩人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球

命中的概率是3/5,且兩人投球命中與否相互之間沒(méi)有影響.

(1)若兩人各投球1次，求恰有1人命中的概率；

(2)若兩人各投球2次，求這4次投球中至少有1次命中的概率.

24.在等差數(shù)列｛an｝中,前n項(xiàng)和為Sn,且S4=-62,S6=-75,求等差數(shù)列

｛an｝的通項(xiàng)公式an.

25.近年來(lái)，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為“廚余

垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四類，并分別垛置

了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾的正確分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)

抽取了該市四類垃圾箱總計(jì)100噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：

噸）:

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾"箱“其他垃圾"箱

廚余垃圾24412

可回收垃圾41923

有害垃圾22141

其他垃圾15313

(1)試估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率;

(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率。

四、簡(jiǎn)答題(10題)

26.如圖：在長(zhǎng)方體從，愀2?48￡。］中，4)=必=34=五日，F(xiàn)分

別為和AB和4。中點(diǎn)。

(1)求證：^//平面4E0。

(2)求4。與底面ABCD所成角的正切值。

27.在拋物線y2=12x上有一弦(兩端點(diǎn)在拋物線上的線段)被點(diǎn)M

(1,2)平分.

(1)求這條弦所在的直線方程；

(2)求這條弦的長(zhǎng)度.

28.化簡(jiǎn)

29.設(shè)等差數(shù)列&:的前n項(xiàng)數(shù)和為S?,已知

￡=工且0向=131+身=2].求{4}

二，J的通項(xiàng)公式及它的前n項(xiàng)和Tn.

30.點(diǎn)A是BCD所在平面外的一點(diǎn)，且AB=AC,BAC=BCD=90°,

BDC=60°,平面ABC_L平面BCDo

(1)求證平面ABD_L平面ACD；

(2)求二面角A-BD-C的正切值。

D

31.在1,2,3三個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的所有三位數(shù)中，隨機(jī)抽取一

個(gè)數(shù)，求：

(1)此三位數(shù)是偶數(shù)的概率；

(2)此三位數(shù)中奇數(shù)相鄰的概率.

32.如圖四面體ABCD中，AB_L平面BCD,BD_LCD.求證:

(1)平面ABD_L平面ACD；

(2)若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的正弦值.

33.在ABC中，AC_LBC,ABC=45°,D是BC上的點(diǎn)且ADC=60。,

BD=20,求AC的長(zhǎng)

BDC

Vl-2stnWcoslO

34.化簡(jiǎn)coslO-Vl-sm'lOO

35.已知I是等差數(shù)列H；的前n項(xiàng)和，若勺=7,邑=弘5.求公差在

五、解答題(10題)

36.已知函數(shù)f(x)=log21+x/l-x.

⑴求f(x)的定義域；

⑵討論f(x)的奇偶性；

⑶用定義討論f(x)的單調(diào)性.

37.

已知\是等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，且％=」,S,=I5.

(D求4；(2)令以=24("=1,2,3.L)，計(jì)算匕也和&,由此推測(cè)數(shù)列｛4｝

是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，證明你的結(jié)論.

38.已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+7i/6)-1.

(1)求f(x)的最小正周期；

⑵求f(x)在區(qū)間［“/6m/4］上的最大值和最小值.

己知數(shù)列｛”“｝的首項(xiàng)丐=1,4,=3??.,+2n2-6n+3(n=2,3,?)

數(shù)列｛b“｝的通項(xiàng)公式b“=?“+n2：

(1)證明數(shù)列｛，」是等比數(shù)列.

”(2)求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和立.

39.

40.如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，E,F分別為DDi,CCi的中點(diǎn).

求證：

(l)AC±BDi;

(2)AE//平面BFDi.

已知AA8C,。也C是中，NA、ZB、NC的對(duì)邊，b=l,c=V3，ZC=1

⑴求。的值；

(2)求cosB的值.

41.

42.

等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)4=1,%是q和。5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前io項(xiàng)之和是

A.90B.100C.145D.190

43.已知等比數(shù)列｛an｝,ai=2,a4=16.

(1)求數(shù)列｛a“的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛na“的前n項(xiàng)和｛Sn｝.

44.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB_L平面BCD,BC_LBD,BC=3,

BD=4,直線AD與平面BCD所成的角為45。點(diǎn)E,F分別是AC,AD

的中點(diǎn).

(1)求證:EF//平面BCD;

⑵求三棱錐A-BCD的體積.

45.

已知向量”=(-Lcos。)，fe=(sm^,2)求3cos：5-6)+4sui2。

的值

六、單選題(0題)

46.垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面()

A.互相垂直B.互相平行C.相交D.前三種情況都有可能

參考答案

l.B

四種命題的定義.否命題是既否定題設(shè)又否定結(jié)論.

2.D

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,「f(x)=x3-12x,f(x)=3x2-12,令f(x)=O,貝lj

xi=-2,X2=2.當(dāng)x￡(-oo,-2),(2,+oo)時(shí),f(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x￡(—2,2)時(shí)，f(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減，，f(x)的極小值點(diǎn)為a=2.

3.A

由于MS表示既屬于集合M又屬于集合的所有元素的集合，因此MS=

(1]

'XX>

O

4.A

向量的運(yùn)算.=(1,2)+(3,4)=(4,6).

5.B

不等式求最值守+3*2''"小

6.D

三角函數(shù)值的符號(hào),?,sin2a=2sina.cosa<0,又cosa>0,sina<0,

a的終邊在第四象限，

7.C

由題可知，x+l>=0,l-x>0,因此定義域?yàn)镃。

8.C

由小7=(12)?(-2,l)=lx(-2)+2xl=0知,

a±b.

9.A

由題可知，四個(gè)選項(xiàng)中只有選項(xiàng)A正確。

10.C

四個(gè)選項(xiàng)中，只有C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,3),焦點(diǎn)為(-4,3)o

11.1/10對(duì)數(shù)的運(yùn)算.x=10-i=l/10

12.2/3平面向量的線性運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換.因?yàn)閍//b,所以2x1/6-

sinacosa=0即sinacosa=l/3.所以sin2a=2sinacosa=2/3.

13.5

程序框圖的運(yùn)算.由題意，執(zhí)行程序框圖，可得k=l,S=l,S=3,k=2不

滿足條件S>16,S=8,k=3不滿足條件S>16,S=16,k=4不滿足條

件S>16,S=27,k=5滿足條件S>16,退出循環(huán)，輸出k的值為5.故

答案為：5.

14.2n,

。1+5d=12

3x2

(3alH———d=12

解得｛an｝的公差d=2,首項(xiàng)ai=2,

故易得廝=2+(2—1)n=2n.

15.x+y-2=0

16.(3,-4)

17.33

18.4

程序框圖的運(yùn)算.執(zhí)行循環(huán)如下：x=2x8+l=17,k=l;x=2x17+1=35,k=2

時(shí)；x=2x35+l=71,k=3時(shí);x=2x71+l=143>115,k=4,此時(shí)滿足條件.

故輸出k的值為4.

19.(2,3),設(shè)P(x,y),AP=(x-5,y+3),AB=(-4,8),所以

x-5=(-4)*(3/4)=-3；得x=2；y+3=8*(3/4)=6；得y=3；所以P

(2,3).

20.671圓柱的側(cè)面積計(jì)算公式.利用圓柱的側(cè)面積公式求解，該圓柱的側(cè)

面積為27x1x2=471,一個(gè)底面圓的面積是兀，所以該圓柱的表面積為

4兀+27冗=6兀.

21.

解:設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為b-10,b,b+10,因?yàn)閎,b+10成等比數(shù)列且公比為3

b+10、

/.------=3

b

，b+10=3b,b=5

所以四個(gè)數(shù)為-5,5,15,45.

22.

解：因?yàn)閍3=6,S3=12,所以S3=12==3/6)

22

解得ai=2,a3=6=ai+2d=2+2d,解得d=2

23.

解：記甲投球命中為事件A,甲投球未命中為事件彳；乙投球命中為事件B,乙投球未命中為事件》。則：

1—13—2

P(4)=.P(⑷=-；P(B)=-；P(B)=-

(1)記兩人各投球1次，恰有1人命中為事件C,則

--12131

P(C)=PM).P(B)+P(A)?P(B)=-x-+-x-=-

Z3ZbZ

(2)記兩人各投球2次，4次投球中至少有1次命中為事件D，則.兩人各投球2次，4次投球中全未命中為事

件萬(wàn)

P(P)=l-P(P)=l-P(^)?PM)?P(B)?PW=l--x-x-x-=l--=—

24.解：設(shè)首項(xiàng)為出、公差為d,依題意;4ai+6d=-62；6ai+l5d=-75

解得ai=-20,d=3,a?=ai+(n-l)d=3n-23

25.

解：⑴依題意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28(噸)

其中投放正確的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19噸

19_19

所以，可估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率為：19+4+2+3—28

(2)據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，總共抽取了100噸生活垃圾，其中“廚余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正確的數(shù)量分別為24噸，19噸，14噸，13噸。故生活垃圾投放正

確的數(shù)量為24+19+14+13=70噸，所以，生活拉場(chǎng)投放錯(cuò)誤的總量為100-70=30噸，

100-(19+24+14+13)_3

所以生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率：------100-------二Io

26.

證明(1)取AC的中點(diǎn)0,連接OF,OE

在△ACDW，F(xiàn),0分別為AC的中點(diǎn)

roz/nc.且FO」DC

2

則，F(xiàn)O//AE：.FO=AE,汨四邊形AEOf是平行四邊形

A￡//or.

則AF〃平面A.EC

(2)連接AC,AA-L平面ABCD

在RtZ^AAC中，ianN_ACA尸=J7^:==:='^P'

ACV9+65

因此角的正切值為、7

27.V(1)這條弦與拋物線兩交點(diǎn)4孫乂*(孫四)，*=12而*=12向

為

：?(M-力)(M+必)=12(X]-x2)V弦的中點(diǎn)M(l,2)

.乂一招?、

:.~=--1-2--=——12=一6=y—2r=2(x-1)1

X,-x2y,+y22y02

二弦所在的直線方程為3x-y-l=0

(2)/.\y2~12X得(3x-l)2-12x=0.?.9xz-18x+l=0

\3x-j-1=0

弦長(zhǎng)=后＞殍=竽

28.l+2cos2a-cos2=l+2cos2a-(cos2a-sin2a)=l+cos2a+sin2a=2

j_=2

29.(1)3y2號(hào)+&=21，ai=d=1

又?.?等差數(shù)列瓦:

,%/1\

丁上

(2),附+】

30.分析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法。

(1)推導(dǎo)出CD_LAB,AB±AC,由此能證明平面ABD,平面

ACDo

(2)取BC中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O作CD的平行線為x軸，OC

為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角

A-BD-C的正切值。

解答：

證明：(I)?.?面ABC,底面BCD,ZBCD=90°,面ABCC面

BCD=BC,y

二.CDJ_平面ABC,ACD1AB,

VZBAC=90°,AAB±AC,

VACnCD=C,

，平面ABD_L平面ACDo

解：(II)取BC中點(diǎn)O,?.?面ABC，底面BCD,ZBAC=90°,

AB=AC,

Z.AOXBC,「.AO,平面BDC,

以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O作CD的平行線為X軸，OC為y軸，OA為Z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

l/-2\/3a「

A(0f0,y/2a)tB(0f-y/2at0),D6,0),

AB=(0,-y/2a,-x/2a),AD=y/2a,-y/2a).

o

設(shè)平面ABD的法向量/=(x,y,z),

?AB=—\^2ay—\/2az=0「

則_、廠,取y=1,得幾=(-\/6,1,-1),

n?AD="3"+—\/2az=0

平面BDC的法向量有=(00,1),

設(shè)二面角A-BD-C的平面角為①

Im?7^I1/12x/7「

貝kosB=------r-=——rsin0=4/1—(——)=——,tan6=0.

|m|.|n|2V2y2^22y/2

二面角A-BD-C的正切值為。.

31.1,2,3三個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的所有三位數(shù)共有彳=6個(gè)

(1)其中偶數(shù)有者=2個(gè)，故所求概率為“一匕一］

(2)其中奇數(shù)相鄰的三位數(shù)有2d=4個(gè)

故所求概率為八二石;§

32.

解：(D證明過(guò)程略

(2)解析：：平面ABDI.面ACD二平面ABD平面ACD=￡D作B￡

±ADTE

則BEL平面ACD作BF_LAC于F

連接EF二EFJ.AC:.BFJE為所求角

設(shè)BD=u則AC=2&aBF-41a

sinZBFE=—

33.在指數(shù)AABC中，NABC=45。，AC=BC

皂

在直角AADC中，ZADC=60°,CD=_3AC

CD=BC-BD,BD=20

心AC=AC-20r

則3,則AC=30+10招

34.

-y'CsinlO-cos10

解:原式:

cos10->;'cos?100

_|sin10-coslO|_coslO-sin10

sinlO-|cosl(X)cos10-sinlO

35.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得

345=(-5)xl5+--y-xJ

解得：d=4

36.(1)要使函數(shù)f(x)=log21+x/l-x有意義，則須l+x/l-x>0解得-l<x<

1,所以f(x)的定義域?yàn)閧R-lVxVl}.

(2)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閧x|-l<x<l},且f(-x)=log2(l+x/l-x)-i=-bg

21+x/l-x=-f(X).所以f(X)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù).

(3)設(shè)貝！jf(Xl)-f(X2)=logl+Xl/l+X2=log(l+Xl)(l-X2)f(l-

VI—<1一”,

<一-<IJD<-<1.90<

1I一4■

.一一…

-------?[I-4Vl?所以kigf(J=?a?,1-■>

r*-上.14-<1

<0.B/(>i></(#>XM

X1)(1+X2)V-1<X1<X2<1

37.

（1）設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d，那么5a+；?5?4d=15.

把a(bǔ)>1代入上式，得d=2.

因此，a^1+2（n-1）=2n-3.

（2）根據(jù)i=2人，得b尸一，b一=2，b=8.

由此推測(cè)｛b｝是等比數(shù)列.

證明如下：

/1?fl

由（1）得，a-a=2，所以<-==2?=4（常數(shù)）,

b

n

因此數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列.

38.

(1)因?yàn)?(jr)-4cowin(jr+—1

6

4coj(—sinx+丁COM)-1=0sinZx+

2cM'*_1■■73sinZx+raa2x=2sin(2x+1)?

6

所以/U)的最小正周期為".

(2)因?yàn)橐凰砸蝗?]+:￡?.

于是?當(dāng)匕+2??■?即l?時(shí)./(l)取網(wǎng)最

o40

大值2,當(dāng)21+；*一；即*—一1時(shí),/G)

oO0

JK?I?小值-1.

39.

(1)依題意得：

圓C的圓心坐標(biāo)為C(1,0)

半徑r=，3,-1=2^2

.?.圓C的方程為：

“1『十鏟=8

在橢圓D中，焦點(diǎn)在x軸上，

〃=4,。=3

，a=y/b2+c2=J42+3.=V25=5

.?.橢圓/%勺方程為：

-----1-----=1

2516

(2)由(1)可知橢圓。的方程為：=1

則)岸=16—

在橢圓。上任取一點(diǎn)〃(x,y)

則圓C的圓心C(1.0)到〃點(diǎn)的距離為

22

</=.J(.x-i)ty=J.11116—R-

128

.?.圓C的圓心與橢圓D上任意一點(diǎn)的距離大于圓C的半徑;

40.(1)連接BD,由DiDL平面ABCD-DiD_LAC又BDLAC,

BDnDiD=D,BDi,BD平面BDDi—AC,平面BDDi,又因?yàn)锽Di包含

于平面BDDi^ACXBDi.

⑵連接EF,因