2024年中考數(shù)學必考考點總結+題型專訓（全國通用）專題22 銳角三角函數(shù)篇（原卷版+解析）

專題22銳角三角形函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的定義：①正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA.②余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA.③正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA.2.特殊角的銳角三角函數(shù)值特殊角11.(2023·天津)tan45°的值等于()2.(2023·濱州)下列計算結果，正確的是()3.(2023·荊門)計算：4.(2023·綏化)定義一種運算：例如：當α=45°,β=30°時，則sin15°的值5.(2023·廣東)sin30°=6.(2023·荊州)如圖，在平面直角坐標系中，點A,B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC:BC=1:2,連接AC,過點O作OP//AB交AC的延長線于P.若P(1,1),則tan∠OAP的值是B7.(2023·揚州)在△ABC中，∠C=90°,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若b2=ac,則sinA的8.(2023·濱州)在Rt△ABC中，若∠C=90°,AC=5,BC=12,則sinA的值為9.(2023·通遼)如圖，由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，點A,B,CBAB都在格點上，以AB為直徑的圓10.(2023·貴港)如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1,頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是()1.直角三角形有關的性質：①直角三角形的兩銳角互余。②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。③含30°的直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。④直角三角形的兩直角邊的成績等于斜邊乘以斜邊上的高線。⑤直角三角形的勾股定理。2.坡角，坡度(坡比):①坡角：斜坡與水平面形成的夾角叫做坡角。②坡度(坡比):坡面的鉛垂高度與水平寬度的比值叫做坡度或坡比。簡單理解即為坡角的正切值。3.仰角與俯角：①仰角：向上看的視線與水平線構成的夾角叫做仰角。②俯角：向下看的視線與水平線構成的夾角叫做俯角。由方向+角度構成。微專題微專題11.(2023·廣西)如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α,則高BC12.(2023·廣元)如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長第12題B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P,則cos∠APC的值為()AB第13題第14題A.3√2B.3A.2√5B.315.(2023·瀘州)如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B的坐標為(10,4),四邊形ABEF則直線1的解析式為()第15題第18題—·18.(2023·連云港)如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形頂端記為點A,變幅索的底端記為點B,AD=α,下列關系式正確的是()第19題垂直地面，垂足為點D,BC⊥AD,垂足為點C.設∠ABC第20題20.(2023·沈陽)如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測量河的寬度PT(PT與河岸PQ垂直),測量得P,則河寬PT的長為()則河寬PT的長為()21.(2023·福建)如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC第21題第22題A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm22.(2023·金華)一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形.已知BC=6m,∠ABC=α,則房頂A離地面EF的高度為()A.(4+3sina)mB.(4+3tana)m23.(2023·棗莊)北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設計，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念.如圖所示，它的第23題第24題24.(2023·綿陽)如圖，測量船以20海里每小時的速度沿正東方向航行并對某海島進行測量，測量船在A處測得海島上觀測點D位于北偏東15°方向上，觀測點C位于北偏東45°方向上.航行半個小時到達B點，這時測得海島上觀測點C位于北偏西45°方向上，若CD與AB平行，則CD=海里(計算結果不取近似值).25.(2023·荊門)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方 小時26.(2023·黑龍江)小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°,小明在坡比為5:12的山坡上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°,山高為()米第26題第27題A.600-250√5B.600√3-250AB的長度為()A.10mB.10√3mC.5m28.(2023·十堰)如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB,當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影BC長為m,則大樹AB的高為()29題29.(2023·柳州)如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α,30.(2023·濟南)數(shù)學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度.如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°,再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°,點C,D,B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為()A.28m31.(2023·貴港)如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹CD的高度，在第31題測得樹頂C的仰角為45°,在點B處測得樹頂C的仰角為60°,且A,B,D三點在同一直線上，若AB=16m,則這棵樹CD的高度是()A.8(3-√3)mB.8(3+√3)mc.6(3-√3)m32.(2023·隨州)如圖，已知點B,D,C在同一直線的水平地面上，在點C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α,在點D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β,若CD=a,則建筑物AB的高度為()第32題第33題33.(2023·黃石)某校數(shù)學興趣小組開展“無人機測旗桿”的活動：已知無人機的飛行高度為30m,當無人機飛行至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30°,繼續(xù)飛行20m到達B處，測得旗桿頂部的俯角為60°,34.(2023·黔東南州)如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹AB,距樹12米處有一棟教學樓CD,為了安全，學校決定砍伐該樹，站在樓頂D處，測得點B的仰角為45°,點A的俯角為30°.小青計算后得到如下結論：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接從點A處砍伐，樹干倒向教學樓CD方向會對教學樓有影響；④若第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐，不會對教學樓CD造成危害.其中正確的第34題第35題35.(2023·湖北)如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物D點的俯角α為45°,C點的俯角β為58°,BC為兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度CD為6m,則甲建筑物的高度AB為111.,,(sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,結果保留整數(shù)).36.(2023·巴中)一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方,,第36題第37題37.(2023·黔西南州)如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛.測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向.A,B之間的距離為80nmile,則C島到航線AB的最短距離約是nmile.(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.4,√3≈1.7,保留整數(shù)結果)38.(2023·岳陽)喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟.丹丹在汨羅江國際龍舟競渡中心廣場點P處觀看200米直道競速賽.如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點A位于點P的北偏西30°方向上，終點B位于點P的北偏東60°方向上，AB=200米，則點P到賽道AB的距離約為米(結果保留整數(shù)，專題22銳角三角形函數(shù)考點一：銳角函數(shù)在Rt△ABC中，∠C=90°.①正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA.②余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA.③正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA.即tanA=∠A的對邊除以∠A的鄰邊=發(fā)。特殊角14.特的銳角函1.(2023·天津)tan45°的值等于()【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可解答.2.(2023·濱州)下列計算結果，正確的是()A.(a2)3=q?B.√8=3√2c.?8=2【分析】根據(jù)冪的乘方的運算法則對A選項進行判斷；利用二次根式的乘法法則對B選項進行判斷；根據(jù)立方根對C選項進行判斷：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對D選項進行判【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答.4.(2023·綏化)定義一種運算：sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sin【分析】把15°看成是45°與30°的差，再代入公式計算得結論.=sin45°cos30°-cos45°故答案為：5.(2023·廣東)sin30°=【分析】熟記特殊角的三角函數(shù)值進行求解即可得出答案.【解答】解：6.(2023·荊州)如圖，在平面直角坐標系中，點A,B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC:BC=1:2,連接AC,過點【分析】根據(jù)OP//AB,證明出△OCP∽△BCA,得到CP:AC=OC:BC=1:成比例定理得到OQ:AO=CP:AC=1:2,根據(jù)P(1,1),AO=2,根據(jù)正切的定義即可得到tan∠OAP的值.【解答】解：如圖，過點P作PQ⊥x軸于點Q,有有∴CO//PQ,7.(2023·揚州)在△ABC中，∠C=90°,a、b、c【分析】根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義解答即可.【解答】解：在△ABC中，∠C=90°,等式兩邊同時除以ac得：則(舍去),;(舍去),是原分式方程的解，【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進而利用勾股定理得出AB的長，再利用銳角三角函數(shù)關系，即可得出答案.【解答】解：如圖所示：∵∠C=90°,AC=5,BC=12,9.(2023·通遼)如圖，由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，點A,B,C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C,D,則cos∠ADC的值為()【分析】由格點構造直角三角形，由直角三角形的邊角關系以及圓周角定理可得答案.【解答】解：∵AB為直徑，又∵點A,B,C都在格點上，10.(2023·貴港)如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1,頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是()考點二：解直角三角形③含30°的直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。6.坡角，坡度(坡比):②坡度(坡比):坡面的鉛垂高度與水平寬度的比值叫做坡度或坡比。簡單理解即為坡角的正切值。7.仰角與俯角：①仰角：向上看的視線與水平線構成的夾角叫做仰角。②俯角：向下看的視線與水平線構成的夾角叫做俯角。8.方向角：由方向+角度構成。微專題微專題11.(2023·廣西)如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α,則高BC是()米米【分析】直接根據(jù)∠A的正弦可得結論.∴BC=12sina(米).12.(2023·廣元)如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都B【分析】把AB向上平移一個單位到DE,連接CE,則DE//AB,由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以sin∠APC=sin∠EDC即可得答案.【解答】解：把AB向上平移一個單位到DE,連接CE,如圖.則邊AB的長為()A.3√2B.3√5C.6√2【分析】根據(jù)BD=2CD=6,可得CD=3,由可得AD=6,可得△ABD是等腰三角形，進而可以解決問題.BD.若則CD的長為(),【分析】過D點作DE⊥AB于E,由銳角三角函數(shù)的定義可得5DE=AB,再解直角三角形可求得AC的長，利用勾股定理可求解AB的長，進而求解AD的長.【解答】解：過D點作DE⊥AB于E,,15.(2023·瀘州)如圖，在平面直四邊形ABEF是菱形，且若直線1把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線1的解析式為()【分析】分別求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐標，利用待定系數(shù)法求經(jīng)過兩中心的直線即可得出結論.【解答】解：連接OB,AC,它們交于點M,連接AE,BF,它們交于點N,則直線MN為符合條件的直線1,如圖，∵B的坐標為(10,4),BE=AB=10.∵B的坐標為(10,4),AB//x軸，∵點N為AE的中點，設直線1的解析式為y=ax+b,16.(2023·西寧)在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1,BC=√2,則cosA=.【分析】根據(jù)勾股定理求出AB,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出cosA即可.所以【分析】利用分類討論的思想方法，畫出圖形，過點A作AD⊥BC于點D,利用勾股定理解答即可.【解答】解：①當△ABC為銳角三角形時，②當△ABC為鈍角三角形時，過點A作AD⊥BC交BC延長線于點D,如圖，18.(2023·連云港)如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C都在網(wǎng)格線上，【分析】先構造直角三角形，然后即可求出sinA的值.【解答】解：設每個小正方形的邊長為a,作CD⊥AB于點D,19.(2023·長春)如圖是長春市人起重機的變幅索頂端記為點A,變幅索的底端記為點B,AD垂直地面，垂足為點D,BC⊥AD,垂足為點C.設∠ABC=a,下列關系式正確的是()【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關系進行判斷即可.【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=α,直),測量得P,Q兩點間距離為m米，∠PQT=α,則河寬PT的長為()【分析】根據(jù)垂直定義可得PT⊥PQ,然后在Rt△PQT中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.【解答】解：由題意得：PT⊥PQ,在Rt△APQ中，PQ=m米，∠PQT=a,∴河寬PT的長度是mtana米，21.(2023·福建)如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABCA.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm【分析】根據(jù)等腰三角形性質求出BD,根據(jù)角度的正切值可求出AD.【解答】解：∵AB=AC,BC=44cm,22.(2023·金華)一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形.已知BC=6m,∠ABC=α,則房頂A離地面EF的高度為()【分析】過點A作AD⊥BC于點D,利用直角三角形的邊角關系定理求得AD,.用AD+BE即可表示出房頂A離地面EF的高度.【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D,如圖，∵它是一個軸對稱圖形，在Rt△ADB中，∴房頂A離地面EF的高度=AD+BE=(4+3tana)m,23.(2023·棗莊)北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設計，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念.如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形.若點A,F,B,D,C,E是正六邊形的六個頂點，【分析】由正六邊形的性質得AB=BC=AC,BE垂直平分AC,再由等邊三角形的性質得∠ABC=60°,!,即可得出結論.【解答】解：如圖，連接AB、BC、AC、BE,∵點A,F,B,D,C,E是正六邊形的六個頂點，∴AB=BC=AC,BE垂直平分AC,24.(2023·綿陽)如圖，測量船以20海里每小時的速度沿正東方向航行并對某海島進行測量，測量船在A處測得海島上觀測點D位于北偏東15°方向上，觀測點C位于北偏東若CD與AB平行，則CD=海里(計算結果不取近似值).【分析】過點D作DE⊥AB,垂足為E,根據(jù)題意可得：AB=10海里，∠FAD=15°,∠EAC=45°,∠EAB=90°,∠CBA=45°,從而可得進而利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB=90°,然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，設DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長，在Rt△DEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EC,DC=5√2海里，列出關于x的方程，進行計算即可解答.【解答】解：如圖：過點D作DE⊥AB,垂足為E,(海里),∠FAD=15°,∠FAC=45°,∠FAB在Rt△ACB中，(海里),在Rt△ADE中，(海里),26.(2023·荊門)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50√2海里/小時的速度航行1小時后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的點B處，則t=_ 【分析】根據(jù)題意可得：∠PAC=45°,∠PBA=30°,AP=100海里，然后在Rt△APC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC,PC的長，再在Rt△BCP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，從而求出AB的長，最后根據(jù)時間=路程÷速度，進行計算即可解【解答】解：如圖：(海里),∴AB=AC+BC=(50~/2+50VG)海里，小時，故答案為：(1+√3).26.(2023·黑龍江)小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°,小明在坡比為5:12的山坡上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°,山高為()米A.600-250√5B.600√3-250C.350+350√3D.500√3【分析】設EF=5x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出BF,根據(jù)勾股定理求出x,根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案.【解答】解：設EF=5x米，∵斜坡BE的坡度為5:12,由勾股定理得：(5x)2+(12x)2=(1300)2,由題意可知，四邊形DCFE為矩形，27.(2023·畢節(jié)市)如圖，某地修建的一座建筑物的截面圖的高BC=5m,坡面AB的坡度A.10mB.10√3mC.5m【分析】由坡面AB的坡度為√3,可得AC=5√3m,再根據(jù)勾股定理可【解答】解：∵坡面AB的坡度為28.(2023·十堰)如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB,當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影BC長為m,則大樹AB的高為()A.m(cosα-sinα)B.m(sinα-cosα)【分析】過點C作水平地面的平行線，交AB的延長線于D,根據(jù)正弦的定義求出BD,根據(jù)余弦的定義求出CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質求出AD,計算即可.【解答】解：過點C作水平地面的平行線，交AB的延長線于D,則∠BCD=α?則BD=BC·sin∠BCD=msina,CD=BC·cos∠BCD=mcosa,29.(2023·柳州)如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為堤壩高BC=30m, 則迎水坡面AB的長度為m. 【分析】直接利用坡角的定義結合銳角三角函數(shù)關系得出答案.【解答】解：堤壩高BC=30m,故答案為：50.30.(2023·濟南)數(shù)學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度.如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°,再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°,點C,D,B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為()(精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37,tan22°≈0.40,sin58A.28mB.34mC.37m【分析】根據(jù)題意得到AB⊥BC,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論.在Rt△ADB中，∠B=90°,∠ADB=58°,在Rt△ACB中，∠B=90°,∠C=22°,答：該建筑物AB的高度約為37m.31.(2023·貴港)如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°,在點B處測得樹頂C的仰角為60°,且A,B,D三點在同一直線上，若AB=16m,則這棵樹CD的高度是()A.8(3-√3)mB.8(3+√3)mC.6(3-√3)m【分析】設AD=x米，則BD=(16-x)米，在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，然后在Rt△CDB中，利用銳角三角函數(shù)列出關于x的方程，進行計算即【解答】解：設AD=x米，在Rt△ADC中，∠A=45°,∴CD=AD·tan45°=x(米),在Rt△CDB中，∠B=60°,32.(2023·隨州)如圖，已知點B,D,C在同一直線的水平地面上，在點C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α,在點D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β,若CD=α,則建筑物AB的高度為()【分析】設AB=x,在Rt△ABD中，,可得則BC=BD+CD求解x即可.【解答】解：設AB=x,33.(2023·黃石)某校數(shù)學興趣小組開展“無人機測旗桿”的活動：已知無人機的飛行高度為30m,當無人機飛行至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30°,繼續(xù)飛行20m到達B處，測得旗桿頂部的俯角為60°,則旗桿的高度約為m.【分析】設旗桿底部為點C,頂部為點D,過點D作DE⊥AB,交直線AB于點E.設DE=xm,在Rt△BDE中，根據(jù)CD=CE-DE可得出答案.【解答】解：設旗桿底部為點C,頂部為點D,過點D作DE⊥AB,交直線AB