第三節(jié) 條件概率與獨(dú)立性

隨機(jī)事件及其概率第三節(jié)條件概率與獨(dú)立性

在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.1.條件概率的引入如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).一般P(A|B)≠P(A).

一、條件概率P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A|B)=？已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能擲出偶數(shù)點(diǎn)的結(jié)果構(gòu)成的集合就是B(即新的樣本空間)，于是P(A|B)=1/3.B中共有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個(gè)在集A中，容易看到P(A|B)一、條件概率P(A)又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)

注意:P(A),P(B),P(AB)都是在原樣本空間中計(jì)算,而P(A|B)只能在新的樣本空間中計(jì)算,雖然在數(shù)字上，,但意義完全不同,這是理解條件概率這一概念時(shí)特別要加以注意的.一、條件概率=3/10，一、條件概率P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計(jì)算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.一、條件概率若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).2.條件概率的定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0，則稱

(1)為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.一、條件概率3.條件概率的性質(zhì)設(shè)B是一事件，且P(B)>0,則1.(非負(fù)性)對(duì)任一事件A，0≤P(A|B)≤1;

2.(規(guī)范性)P(S|B)=1；3(可加性).設(shè)A1,…,An互不相容，則P[(A1+…+An

)|B]=P(A1|B)+…+P(An|B)而且，前面對(duì)概率所證明的一些重要性質(zhì)都適用于條件概率.一、條件概率

2)用縮減的樣本空間計(jì)算4.條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算擲骰子例：A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(A|B)=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)一、條件概率例1

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?

解法1:

解法2:解:設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算一、條件概率例2

設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件.已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率是多少?

解法1:應(yīng)用定義解:設(shè)A={有一件是不合格品}B={另一件也是不合格品}解法2:利用縮減的樣本空間由條件概率的定義：P(AB)=P(B)P(A|B)，P(B)>0P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)>0二、乘法公式可以得到乘法公式：推廣到多個(gè)事件的乘法公式:當(dāng)P(A1A2…An-1)>0時(shí)，有P(A1A2…An)

=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)二、乘法公式例3

假設(shè)某地區(qū)位于甲、乙兩河流匯合處，當(dāng)任一河流泛濫時(shí)，該地區(qū)被淹沒.設(shè)某時(shí)期內(nèi)甲河流泛濫的概率為0.1，乙河流泛濫的概率為0.2，當(dāng)甲河流泛濫時(shí)乙河流泛濫的概率為0.3.求：(1)該時(shí)期內(nèi)這個(gè)地區(qū)被淹沒的概率；(2)當(dāng)乙河流泛濫時(shí)甲河流泛濫的概率.

解：設(shè)A表示“甲河流泛濫”，B表示“乙河流泛濫”.(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.1+0.2-0.1×0.3=0.27;(2)P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)P(B|A)/P(B)=0.15.二、乘法公式例4

設(shè)一批零件共100個(gè)，其中10個(gè)次品，從中任取兩次(每次一件不放回抽取).求：(1)第一次取得次品情況下，第二次也取得次品的概率;(2)兩次都取得次品的概率；(3)第二次取得次品的概率.解：設(shè)A“第一次取得次品”，B“第二次取得次品”.(1)P(B|A)=9/99=1/11;(2)P(AB)=P(A)P(B|A)=10/100×9/99=1/110;二、乘法公式例4

設(shè)一批零件共100個(gè)，其中10個(gè)次品，從中任取兩次(每次一件不放回抽取).求：(1)第一次取得次品情況下，第二次也取得次品的概率;(2)兩次都取得次品的概率；(3)第二次取得次品的概率.二、乘法公式此類問題可用如下概率樹枝圖法解，方便直觀.P(B)為A→B與→B兩條線上各概率之積再求和.練習(xí)1

某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件，B表示“能活25歲以上”的事件,則有解二、乘法公式練習(xí)2

五個(gè)鬮,其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有”字，

三個(gè)鬮內(nèi)不寫字，五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)?

二、乘法公式二、乘法公式依此類推故抓鬮與次序無關(guān).二、乘法公式練習(xí)3

設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”.所以二、乘法公式顯然P(A|B)=P(A)這就是說，已知事件B發(fā)生，并不影響事件A發(fā)生的概率，這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)三、事件的獨(dú)立性三、事件的獨(dú)立性

由乘法公式用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有

P(AB)=P(A)P(B)三、事件的獨(dú)立性定義若兩事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱A、B相互獨(dú)立.1.兩個(gè)事件獨(dú)立定理2

若兩事件A、B獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立.特別，不可能事件及必然事件均與任意事件獨(dú)立.

三、事件的獨(dú)立性2.多個(gè)事件相互獨(dú)立注意：三個(gè)事件相互獨(dú)立必然兩兩獨(dú)立，但兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立.三、事件的獨(dú)立性兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如由此可見兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們思考二者之間沒有必然聯(lián)系三、事件的獨(dú)立性由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.三、事件的獨(dú)立性設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí).三、事件的獨(dú)立性三、事件的獨(dú)立性例5

設(shè)甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射一發(fā)子彈，甲射中的概率為0.9，乙射中的概率為0.8，若有一人射中，則認(rèn)為目標(biāo)被擊中，求擊中目標(biāo)的概率.解設(shè)A表示甲擊中目標(biāo)，B表示乙擊中目標(biāo)，

C表示目標(biāo)被擊中，則三、事件的獨(dú)立性例5

設(shè)甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射一發(fā)子彈，甲射中的概率為0.9，乙射中的概率為0.8，若有一人射中，則認(rèn)為目標(biāo)被擊中，求擊中目標(biāo)的概率.若利用逆事件求，則若利用事件的和求，則三、事件的獨(dú)立性例6

甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p

(

p≥1/2).求對(duì)甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利，設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.解采用三局二勝制，甲最終獲勝，勝局情況是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”，且三種情況互斥，由獨(dú)立性得，甲最終獲勝的概率為采用五局三勝制，甲最終獲勝，至少需比賽三局，且最后一局必須甲勝，而前面甲需勝2局，于是三、事件的獨(dú)立性例6

甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p

(

p≥1/2).求對(duì)甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利，設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.三、事件的獨(dú)立性即三、事件的獨(dú)立性1,設(shè)兩事件Ａ與Ｂ互斥，且P(A)＞0，P(B)＞0，則（D）正確A．與互斥B．與互斥C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A-B)=P(A)2(93),設(shè)兩事件Ａ與Ｂ滿足P(B|A)=1,則（D）正確。A.A是必然事件B.

C.D.思考題三、事件的獨(dú)立性3、某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為（C）4，對(duì)于任意二事件A和B（B）若，則A,B一定獨(dú)立.若，則A,B有可能獨(dú)立.(C)若，則A,B一定獨(dú)立.(D)若，則A,B