初二年級(jí)有關(guān)三角形證明的中考題

./WORD格式可編輯三角形的證明測(cè)試卷〔源于中考的試題〕參考答案與試題解析一．選擇題〔共9小題〕1．〔2013?XX〕如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一點(diǎn)．將Rt△ABC沿CD折疊,使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處,則∠ADB′等于〔〕A．25°B．30°C．35°D．40°解答：解：∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠B=90°﹣25°=65°,∵△CDB′由△CDB反折而成,∴∠CB′D=∠B=65°,∵∠CB′D是△AB′D的外角,∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故選D．2．〔2012?濰坊〕輪船從B處以每小時(shí)50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行,在B處觀測(cè)燈塔A位于南偏東75°方向上,輪船航行半小時(shí)到達(dá)C處,在C處觀測(cè)燈塔A位于北偏東60°方向上,則C處與燈塔A的距離是〔〕海里．A．25B．25C．50D．25解答：解：根據(jù)題意,∠1=∠2=30°,∵∠ACD=60°,∴∠ACB=30°+60°=90°,∴∠CBA=75°﹣30°=45°,∴△ABC為等腰直角三角形,∵BC=50×0.5=25,∴AC=BC=25〔海里〕．故選D．3．〔2011?XX〕如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則AP長(zhǎng)不可能是〔〕A．3.5B．4.2C．5.8D．7解答：解：根據(jù)垂線段最短,可知AP的長(zhǎng)不可小于3；∵△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,∴AB=6,∴AP的長(zhǎng)不能大于6．故選D．4．〔2012?XX地區(qū)〕如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,則線段MN的長(zhǎng)為〔〕A．6B．7C．8D．9考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．分析：由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)E,∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,利用兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,利用等量代換可∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,然后即可求得結(jié)論．解答：解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)E,∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,∵M(jìn)N∥BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB,∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,∴BM=ME,EN=CN,∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9,故選D．5．〔2011?XX州〕如圖,AD是△ABC的角平分線,DF⊥AB,垂足為F,DE=DG,△ADG和△AED的面積分別為50和39,則△EDF的面積為〔〕A．11B．5.5C．7D．3.5考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC,利用角平分線的性質(zhì)得到DN=DF,將三角形EDF的面積轉(zhuǎn)化為三角形DNM的面積來(lái)求．解答：解：作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC,∵DE=DG,DM=DE,∴DM=DG,∵AD是△ABC的角平分線,DF⊥AB,∴DF=DN,在Rt△DEF和Rt△DMN中,,∴Rt△DEF≌Rt△DMN〔HL〕,∵△ADG和△AED的面積分別為50和39,∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11,S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線,將所求的三角形的面積轉(zhuǎn)化為另外的三角形的面積來(lái)求．6．〔2012?XX〕在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,則點(diǎn)C到AB的距離是〔〕A．B．C．D．解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形,如圖所示：在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,根據(jù)勾股定理得：AB==15,過(guò)C作CD⊥AB,交AB于點(diǎn)D,又S△ABC=AC?BC=AB?CD,∴CD===,則點(diǎn)C到AB的距離是．故選A7．〔2007?XX〕如圖,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D、E,AD、CE交于點(diǎn)H,已知EH=EB=3,AE=4,則CH的長(zhǎng)是〔〕A．1B．2C．3D．4解答：解：在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠AEH=∠ADB=90°；∵∠EAH+∠AHE=90°,∠DHC+∠BCH=90°,∵∠EHA=∠DHC〔對(duì)頂角相等〕,∴∠EAH=∠DCH〔等量代換〕；∵在△BCE和△HAE中,∴△AEH≌△CEB〔AAS〕；∴AE=CE；∵EH=EB=3,AE=4,∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．故選A．8．〔2011?XX〕如圖,點(diǎn)O是矩形ABCD的中心,E是AB上的點(diǎn),沿CE折疊后,點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合,若BC=3,則折痕CE的長(zhǎng)為〔〕A．B．C．D．6解答：解：∵△CEO是△CEB翻折而成,∴BC=OC,BE=OE,∠B=∠COE=90°,∴EO⊥AC,∵O是矩形ABCD的中心,∴OE是AC的垂直平分線,AC=2BC=2×3=6,∴AE=CE,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,即62=AB2+32,解得AB=3,在Rt△AOE中,設(shè)OE=x,則AE=3﹣x,AE2=AO2+OE2,即〔3﹣x〕2=32+x2,解得x=,∴AE=EC=3﹣=2．故選A．9．〔2012?XX〕如圖,已知：∠MON=30°,點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上,點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形,若OA1=1,則△A6BA．6B．12C．32D．64解答：解：∵△A1B1A2∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°,∵∠MON=30°,∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°,又∵∠3=60°,∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°,∵∠MON=∠1=30°,∴OA1=A1B1=1,∴A2B1=1,∵△A2B2A3、△A3B3A∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,∵∠4=∠12=60°,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2∴A3B3=4B1A2A4B4=8B1A2A5B5=16B1A2以此類推：A6B6=32B1A2故選：C．二．填空題〔共8小題〕10．〔2011?XX〕如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的角平分線交BC邊于點(diǎn)D,AB=5,BC=6,則AD=4．考點(diǎn)：勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．分析：首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的三線合一,求出DB=DC=CB,AD⊥BC,再利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)．解答：解：∵AB=AC,AD是∠BAC的角平分線,∴DB=DC=CB=3,AD⊥BC,在Rt△ABD中,∵AD2+BD2=AB2,∴AD==4,故答案為：4．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用,做題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證出△ADB是直角三角形．11．〔2011?XX〕如圖所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,將△ABC折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,折痕為DE,則△ABE的周長(zhǎng)為7．考點(diǎn)：翻折變換〔折疊問(wèn)題〕；勾股定理．專題：壓軸題；探究型．分析：先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng),再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出AE=CE,進(jìn)而求出△ABE的周長(zhǎng)．解答：解：∵在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,∴BC===4,∵△ADE是△CDE翻折而成,∴AE=CE,∴AE+BE=BC=4,∴△ABE的周長(zhǎng)=AB+BC=3+4=7．故答案為：7．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì),即折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．12．〔2010?濱州〕如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),若AE=2,EM+CM的最小值為．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；勾股定理．專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．分析：要求EM+CM的最小值,需考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化EM,CM的值,從而找出其最小值求解．解答：解：連接BE,與AD交于點(diǎn)M．則BE就是EM+CM的最小值．取CE中點(diǎn)F,連接DF．∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,AE=2,∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4,∴CF=EF=AE=2,又∵AD是BC邊上的中線,∴DF是△BCE的中位線,∴BE=2DF,BE∥DF,又∵E為AF的中點(diǎn),∴M為AD的中點(diǎn),∴ME是△ADF的中位線,∴DF=2ME,∴BE=2DF=4ME,∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME,∴BE=BM．在直角△BDM中,BD=BC=3,DM=AD=,∴BM==,∴BE=．∵EM+CM=BE∴EM+CM的最小值為．點(diǎn)評(píng)：考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱與勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．13．〔2013?XX〕如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分線DE交AC于E,交BC的延長(zhǎng)線于F,若∠F=30°,DE=1,則BE的長(zhǎng)是2．考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)同角的余角相等、等腰△ABE的性質(zhì)推知∠DBE=30°,則在直角△DBE中由"30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半"即可求得線段BE的長(zhǎng)度．解答：解：∵∠ACB=90°,FD⊥AB,∴∠ACB=∠FDB=90°,∵∠F=30°,∴∠A=∠F=30°〔同角的余角相等〕．又AB的垂直平分線DE交AC于E,∴∠EBA=∠A=30°,∴直角△DBE中,BE=2DE=2．故答案是：2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形．解題的難點(diǎn)是推知∠EBA=30°．14．〔2013?黔西南州〕如圖,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上,且CG=CD,DF=DE,則∠E=15度．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)等邊三角形三個(gè)角相等,可知∠ACB=60°,根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)．解答：解：∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,∠ACD=120°,∵CG=CD,∴∠CDG=30°,∠FDE=150°,∵DF=DE,∴∠E=15°．故答案為：15．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì),互補(bǔ)兩角和為180°以與等腰三角形的性質(zhì),難度適中．15．〔2005?XX〕如圖,在△ABC中,BC=5cm,BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,且PD∥AB,PE∥AC,則△PDE的周長(zhǎng)是5c考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：分別利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定,求得△DBP和△ECP為等腰三角形,由等腰三角形的性質(zhì)得BD=PD,CE=PE,那么△PDE的周長(zhǎng)就轉(zhuǎn)化為BC邊的長(zhǎng),即為5cm．解答：解：∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,∴∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE,∵PD∥AB,PE∥AC,∴∠ABP=∠BPD,∠ACP=∠CPE,∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,∴BD=PD,CE=PE,∴△PDE的周長(zhǎng)=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．答：△PDE的周長(zhǎng)是5cm．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行線的判定,角平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．本題的關(guān)鍵是將△PDE的周長(zhǎng)就轉(zhuǎn)化為BC邊的長(zhǎng)．17．〔2005?XX〕如圖中的螺旋由一系列直角三角形組成,則第n個(gè)三角形的面積為．考點(diǎn)：勾股定理．專題：規(guī)律型．分析：根據(jù)勾股定理,逐一進(jìn)行計(jì)算,從中尋求規(guī)律,進(jìn)行解答．解答：解：根據(jù)勾股定理：第一個(gè)三角形中：OA12=1+1,S1=1×1÷2；第二個(gè)三角形中：OA22=OA12+1=1+1+1,S2=OA1×1÷2=×1÷2；第三個(gè)三角形中：OA32=OA22+1=1+1+1+1,S3=OA2×1÷2=×1÷2；…第n個(gè)三角形中：Sn=×1÷2=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,要注意圖中三角形的面積的變化規(guī)律．三．解答題〔共5小題〕18．〔2013?XX〕如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．〔1〕求證：△ACD≌△AED；〔2〕若∠B=30°,CD=1,求BD的長(zhǎng)．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．分析：〔1〕根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE,根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可；〔2〕求出∠DEB=90°,DE=1,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．解答：〔1〕證明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°,∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED〔HL〕；〔2〕解：∵DC=DE=1,DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∵∠B=30°,∴BD=2DE=2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定,角平分線性質(zhì),含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用,注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．19．〔2013?XX〕如圖,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點(diǎn)E,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠BAD=45°,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF．〔1〕求證：BF=2AE；〔2〕若CD=,求AD的長(zhǎng)．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：證明題；壓軸題．分析：〔1〕先判定出△ABD是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD,再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE,然后利用"角邊角"證明△ADC和△BDF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC=2AF,從而得證；〔2〕根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=CF,然后根據(jù)AD=AF+DF代入數(shù)據(jù)即可得解．解答：〔1〕證明