余弦定理（第一課時(shí)） 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

1第六章《平面向量及其應(yīng)用》人教A版2019必修第二冊(cè)6.4.3正弦定理、余弦定理

第一課時(shí)

余弦定理

一、溫故知新初中學(xué)習(xí)過三角形全等的判定定理有：

，這些判定方法表明，給定三角形的三個(gè)角、三條邊這六個(gè)元素中的某些元素，這個(gè)三角形就是唯一確定的。ABC問題1:我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，即給定兩邊及其夾角，第三邊是唯一確定的，如何通過已知的兩邊及其夾角求第三邊和其余角呢？表達(dá)式是什么？

SSS,SAS,ASA,AAS,HL二、情境引入ABC

某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道通過這座山的長度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置C，量出A到山腳A、B的距離，再利用經(jīng)緯儀（測(cè)角儀）測(cè)出C對(duì)山腳AB的張角C，最后通過計(jì)算求出山腳的長度AB。三、新知探究

ABC

思考:兩邊及夾角如何與向量聯(lián)系起來？夾角模長數(shù)量積

ABC

向量表示:

=

=

=

向量運(yùn)算:

幾何表示:

三、新知探究

ABC

ABC

問題2:回顧剛剛我們用數(shù)量積研究平面幾何的過程？三、新知探究幾何圖形到向量恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算向量回到幾何關(guān)系

向量表示:

=

=

=

向量運(yùn)算:

幾何表示:

三、新知探究ABC

向量表示:

=

=

=

向量運(yùn)算:

幾何表示:

三、新知探究ABC

問題：利用余弦定理可以解決三角形的哪類問題？

利用余弦定理，我們可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊.余弦定理的定義

于是，我們得到了三角形中邊角關(guān)系的一個(gè)重要定理：

余弦定理

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即

你能用其他方法證明余弦定理嗎？

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？由余弦定理，可得到如下推論：問題：利用余弦定理的推論可以解決三角形的哪類問題？

利用余弦定理，可以由三角形的三條邊直接算出三角形的三個(gè)角.

余弦定理及其推論把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫.余弦定理的推論三、新知探究ACBabc思考勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系．你能說說這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎?辨析理解，深化概念

某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道通過這座山的長度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置C，量出A到山腳A、B的距離，分別是BC=5km，AC=8km,再利用經(jīng)緯儀（測(cè)角儀）測(cè)出C對(duì)山腳AB的張角C，最后通過計(jì)算求出山腳的長度AB。四、鞏固練習(xí)ABC5km8km

四、鞏固練習(xí)四、鞏固練習(xí)五、課堂小結(jié)一．余弦定理平方平方的和余弦的積的兩倍b2＋c2－2bccosAa2＋b2－2abcosCa2＋c2－2acc