重慶市九龍坡區(qū)楊家坪中學高三上學期第五次月考數(shù)學試題

高2024屆高三上學期月考（第五次）數(shù)學試卷（數(shù)學試題卷共4頁，考試時間120分鐘，滿分150分）一、單選題1.已知集合，，則（）A.（3，2] B.[3，2） C.（2，3] D.[2，3）【答案】D【解析】【分析】分別求得集合，，再結合集合的交集和補集的運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，則，又由，所以．故選：D．【點睛】本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記對數(shù)的運算性質正確求解集合，再根據(jù)集合的交集、并集和補集的運算是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.2.某圓臺的側面展開圖為如圖所示的扇環(huán)（實線部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結合扇形的面積公式，列出方程，即可求求解.【詳解】由該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，可得，解得，即扇環(huán)的圓心角的大小為.故選：D.3.復數(shù)在復平面內對應的點是A，其共軛復數(shù)在復平面內對應的點是B，O是坐標原點.若A在第一象限，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設出，則，由向量垂直得到，從而求出的值.【詳解】設，則，由得：，因為，所以，故，故.故選：B4.重慶已經(jīng)成為中外游客旅游的熱門目的地之一，比如洪崖洞，長江索道，李子壩穿樓輕軌已經(jīng)成為網(wǎng)紅景點，旅游的必到打卡地．現(xiàn)有名外地游客來重慶旅游，若每個人只能從上述三個網(wǎng)紅景點中選擇一處進行游覽，則每個景點都有人去游玩的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】基本事件總數(shù)，每個景點都有人去游玩包含的基本事件個數(shù)，由此能求出每個景點都有人去游玩的概率．【詳解】解：洪崖洞，長江索道，李子壩穿樓輕軌已經(jīng)成為網(wǎng)紅景點，旅游的必到打卡地．現(xiàn)有名外地游客來重慶旅游，若每個人只能從上述三個網(wǎng)紅景點中選擇一處進行游覽，則基本事件總數(shù)，每個景點都有人去游玩包含的基本事件個數(shù)，則每個景點都有人去游玩的概率為．故選：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5.在聲學中，音量被定義為：，其中是音量（單位為dB），是基準聲壓為，P是實際聲音壓強.人耳能聽到的最小音量稱為聽覺下限閾值.經(jīng)過研究表明，人耳對于不同頻率的聲音有不同的聽覺下限閾值，如下圖所示，其中240對應的聽覺下限閾值為20，1000對應的聽覺下限閾值為0，則下列結論正確的是（）A.音量同為20的聲音，30~100的低頻比1000~10000的高頻更容易被人們聽到.B.聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.C.240的聽覺下限閾值的實際聲壓為0.002.D.240的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000的聽覺下限閾值實際聲壓的10倍.【答案】D【解析】【分析】對于選項A、B，可以直接觀察圖像得出聽覺下限閾值與聲音頻率的關系進行判斷；對于C、D，通過所給函數(shù)關系代入聽覺下限閾值計算即可判斷.【詳解】對于A，30~100的低頻對應圖像的聽覺下限閾值高于20，1000~10000的高頻對應的聽覺下限閾值低于20，所以對比高頻更容易被聽到，故A錯誤；對于B，從圖像上看，聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大有減小也有增大，故B錯誤；對于C，240對應的聽覺下限閾值為20，，令，此時，故C錯誤；對于D，1000的聽覺下限閾值為0，令，此時，所以240的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000的聽覺下限閾值實際聲壓的10倍，故D正確.故選：D.6.已知圓C:，直線：，直線被圓C截得的弦長最短時，實數(shù)m的值為（

）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線方程，求得直線所過的定點，直線被圓C截得的弦長最短時有，則，解出方程即可.【詳解】因為直線：，方程可化為，令，解得，故直線過定點，且在圓C:內，又,故當直線被圓C截得的弦長最短時,有，則，解得，故選：B.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合同角三角函數(shù)關系以及輔助角公式，可化簡原式得到，再利用輔助角公式可得，由余弦的二倍角公式可得解【詳解】，則故選：D8.已知正數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】不等式可化為，分別構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大、最小值，由不等式左邊最小值等于右邊的最大值，建立方程即可得解.【詳解】由，設，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，故，當且僅當，即時取等號；設，則，當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，當且僅當時取等號，又，則，此時，則.故選：A【點睛】關鍵點點睛：不等式中含有不相關的雙變量，據(jù)此分別構造不同的函數(shù)，利用導數(shù)求最值是關鍵之一，其次根據(jù)不等式左邊的最小值與不等式右邊的最大值相等，由不等式成立得出方程是關鍵點之二，據(jù)此建立方程求解即可.二、多選題9.已知是空間兩個不同的平面，是空間兩條不同的直線，則（）A.，則B.且，則C.，且，則D.，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)面面平行性質可判斷A；根據(jù)面面平行結合線面垂直性質判斷B；根據(jù)面面平行的判定判斷C；利用空間平面的法向量判斷平面的位置關系判斷D.【詳解】對于A，若，m與有可能是異面直線，故錯誤；對于B，因為且，可得出，再由，可得出，故B正確；對于C，若，則，又，所以，故C正確；對于D，若，則可在直線上取向量，分別作為的法向量，由于，則，即，故可得，故D正確.故選：BCD.10.下列說法中，其中正確的是（）A.命題：“”的否定是“”B.化簡的結果為2C.…D.在三棱錐中，，，點是側棱的中點，且，則三棱錐的外接球的體積為.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)存在性量詞命題的否定即可判斷A；根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式和誘導公式計算即可判斷B；根據(jù)二項式定理即可判斷C；利用線面垂直的判定定理可得平面，結合正弦定理、勾股定理和球的體積公式計算即可判斷D.【詳解】A：命題：“”的否定是“”，故A錯；B：，故B正確；C：…，故C正確；D：如圖所示，由，，則，得，由是的中點，，易知：△為等邊三角形且，又，所以，得，又，平面，所以平面.設球心為且在過△中心垂直于面的垂線上，點到底面的距離為，由正弦定理得的外接圓半徑，球的半徑，所以三棱錐的外接球的體積為.故D正確.故選：BCD.11.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2臺加工的次品率為5%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個零件，則下列結論正確的是（）A.該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.06B.該零件是次品的概率為0.036C.如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為0.98D.如果該零件是次品，那么它不是第1臺車床加工出來的概率為【答案】BC【解析】【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判斷A，B；利用條件概率公式、對立事件即可判斷C，D．【詳解】記事件：車床加工的零件為次品，記事件：第臺車床加工的零件，對于A，任取一個零件是第1臺生產出來的次品概率為，故A錯誤；對于B，任取一個零件是次品概率為，故B正確；對于C，如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它是次品的概率為，則如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為，故C正確；對于D，如果該零件是次品，那么它是第1臺車床加工出來的概率為，則如果該零件是次品，那么它不是第1臺車床加工出來的概率為，故D錯誤．故選：BC.12.已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓內部，點在橢圓上，栯圓的離心率為，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為B.存在點，使得C.當時，的最大值為D.的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)點與橢圓的位置關系，可得，即可求出離心率的范圍，判斷A項；易知，只有原點滿足條件，即可判斷B項；根據(jù)橢圓的定義，可得，根據(jù)三角形的三邊關系結合圖象，即可判斷C項；根據(jù)橢圓的定義結合“1”的代換，根據(jù)基本不等式即可求解，判斷D項.【詳解】對于A，由已知可得，，所以，則，故A正確；對于B，由可知，點為原點，顯然原點不在橢圓上，故B錯誤；對于C，由已知時，，所以，.又，則.根據(jù)橢圓的定義可得，所以，如圖，當且僅當三點共線時，取得等號.的最大值為，故C正確；對于D，因為.所以，當且僅當，即時，等號成立.所以，的最小值為1，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.某班有45名同學，一次考試后的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，則理論上在85分到90分的人數(shù)約是________．（按四舍五入法保留整數(shù)）附：，，．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質得到，然后求人數(shù)即可.【詳解】由題意知，，所以，所以理論上在85分到90分的人數(shù)約是.故答案為：6.14.已知點，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量夾角為銳角利用數(shù)量積求解.【詳解】因為，，與成銳角，所以，解得，當與同向時，，即，解得，此時滿足，但與所成角為0，不滿足題意，綜上，與成銳角時，y的取值范圍為.故答案為：15.已知，則_______.【答案】【解析】【分析】對兩邊求導后，令得到答案.【詳解】兩邊求導得，，令得，故故答案為：16.已知函數(shù)，數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和_____．【答案】【解析】【分析】設，根據(jù)的奇偶性和單調性可得的奇偶性和單調性，然后結合等差數(shù)列的性質可得，再利用等差數(shù)列的通項公式及求和公式即得.【詳解】因為，，則，所以為R上的偶函數(shù)，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，且，設，則為奇函數(shù)，且在上單調遞增，因此在R上單調遞增，由題知，又數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列，可得，若，則，∴，即，同理可得，∴，與矛盾，舍去；同理若，則，與矛盾，舍去；∴，又的公差，∴，解得，∴＝2n2﹣8n，故答案為：．四、解答題17.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.（Ⅰ）求證：是等差數(shù)列；（Ⅱ）求的表達式；（Ⅲ）若），求證：.【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）將an＝Sn﹣Sn﹣1代入an+2Sn?Sn﹣1＝0中整理得，即證得數(shù)列為等差數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，進而根據(jù)an＝Sn﹣Sn﹣1求得n≥2時數(shù)列的通項公式，求得a1，則數(shù)列通項公式可得．（Ⅲ）把（Ⅱ）中的an代入bn＝2（1﹣n）an中求得，進而利用裂項法和放縮法可得到證明．【詳解】（Ⅰ）證明:當時，，又，所以，若，則與矛盾，故，所以，又，所以是首項為2，公差為2的等差數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，故，當時，；當時，，所以；（Ⅲ）證明：當時，，，.【點睛】本題考查利用定義法證明等差數(shù)列，考查數(shù)列通項公式的求法，考查裂項相消求和和放縮法的應用，屬于中檔題.18.銳角ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.（1）證明：.（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證法一：利用二倍角公式化簡等式右邊，然后結合兩角差的余弦公式以及角的范圍得到的關系，再通過正弦定理完成證明；證法二：利用二倍角公式化簡等式左右兩邊，然后結合兩角差的正弦公式以及角的范圍得到的關系，再通過正弦定理完成證明；（2）根據(jù)三角形是銳角三角形分析出的范圍，結合（1）的結論求解出的范圍.【小問1詳解】證法一：因為，所以，所以，即，因為，所以，所以，即，所以，由正弦定理得，即；證法二：因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，由正弦定理可得，即.【小問2詳解】由上可知，則，解得，又因為，所以，所以的取值范圍是.19.某醫(yī)療科研小組為研究某市市民患有疾病與是否具有生活習慣的關系，從該市市民中隨機抽查了100人，得到如下數(shù)據(jù)：疾病生活習慣具有不具有患病2515未患病2040（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為該市市民患有疾病與是否具有生活習慣有關？（2）從該市市民中任選一人，表示事件“選到人不具有生活習慣”，表示事件“選到的人患有疾病”，試利用該調查數(shù)據(jù)，給出的估計值；（3）從該市市民中任選3人，記這3人中具有生活習慣，且末患有疾病的人數(shù)為，試利用該調查數(shù)據(jù)，給出的數(shù)學期望的估計值．附：，其中．0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）有關（2）（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題設可得列聯(lián)表，故可求的值，結合臨界值表可判斷該市市民患有疾病與是否具有生活習慣有關.（2）根據(jù)條件概率的計算公式結合表中數(shù)據(jù)可求的估計值.（3）利用二項分布的期望公式可求的數(shù)學期望的估計值.【小問1詳解】由已知得列聯(lián)表如下：疾病生活習慣B合計具有不具有患病251540未患病204060合計4555100零假設為：該市市民患有疾病與是否具有生活習慣無關．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到．依據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為該市市民患有疾病與是否具有生活習慣有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．小問2詳解】由（1）數(shù)據(jù)可得：，，所以．【小問3詳解】由題意知可用估計的分布，所以的估計值為．20.如圖，在四棱錐中，，，，.（1）證明：平面平面；（2）已知，，.若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，然后利用夾角余弦值建立方程求解即可.【小問1詳解】如圖，取的中點分別為，連接BE，AF，EF，CF，所以，且，又，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，，所以，因為，，所以，又，所以，所以，即.又，，平面，所以平面，所以平面.又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，平面，因為，平面，所以，，所以.在Rt中，，，則，則.因為，，所以，所以，，兩兩垂直，以為坐標原點，向量，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，.由，，得.設平面的法向量為，則，即，取，則，得平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則，即，取，則，，所以，設平面與平面的夾角為，則，解得，故的值為.21.已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．（1）求的方程；（2）若直線經(jīng)過點，交于兩點，直線分別交直線于，兩點，試問與的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】（1）（2）與的面積之比為定值【解析】【分析】（1）利用橢圓的性質計算即可；（2）利用韋達定理及面積公式計算即可.【小問1詳解】由題意得，即①．當點為的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值，所以，即②．聯(lián)立①②，得．故的方程為．【小問2詳解】與的面積之比為定值．由（1）可得，由題意設直線．聯(lián)立得，則，，所以．直線的方程為，令，得，即．同理可得．故與的面積之比為，即與的面積之比為定值．【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是化積為和，得到，最后得到面積比值表達式，再進行代換即可得到面積比值.22.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在定義