壓軸小題06 探尋規(guī)律妙解數(shù)列綜合問題（原卷版）

壓軸小題06探尋規(guī)律妙解數(shù)列綜合問題壓軸壓軸秘籍等差數(shù)列通項公式：或等差中項：若，，三個數(shù)成等差數(shù)列，則，其中叫做，的等差中項若，為等差數(shù)列，則，仍為等差數(shù)列等差數(shù)列前n項和公式：或等差數(shù)列的前項和中，，（為奇數(shù)）等比數(shù)列通項公式：等比中項：若，，三個數(shù)成等比數(shù)列，則,其中叫做，的等比中項若，為等比數(shù)列，則，仍為等比數(shù)列等比數(shù)列前項和公式：已知與的關系分組求和若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則可用分組求和裂項相消求和壓軸訓練壓軸訓練一、單選題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項和為，，若對任意正整數(shù)n，，，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇·高三專題練習）已知數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，在之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為，在之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，在之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，則（

）A．當時，數(shù)列單調遞減 B．當時，數(shù)列單調遞增C．當時，數(shù)列單調遞減 D．當時，數(shù)列單調遞增4．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知一個等比數(shù)列的前項和?前項和?前項和分別為??，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023·江蘇揚州·?？级＃┮阎菙?shù)列的前項和，且，（），則下列結論正確的是（

）A．數(shù)列為等比數(shù)列 B．數(shù)列為等比數(shù)列C． D．二、多選題6．（2023·江蘇南通·三模）1979年,李政道博士給中國科技大學少年班出過一道智趣題:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡覺,準備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來,先吃掉1個桃子,然后將其分成5等份,藏起自己的一份就去睡覺了;第2只猴子又爬起來,吃掉1個桃子后,也將桃子分成5等份,藏起自己的一份睡覺去了;以后的3只猴子都先后照此辦理.問最初至少有多少個桃子?最后至少剩下多少個桃子?”.下列說法正確的是(

)A．若第n只猴子分得個桃子(不含吃的),則B．若第n只猴子連吃帶分共得到個桃子,則為等比數(shù)列C．若最初有個桃子,則第只猴子分得個桃子(不含吃的)D．若最初有個桃子,則必有的倍數(shù)7．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）佩爾數(shù)列是一個呈指數(shù)增長的整數(shù)數(shù)列．隨著項數(shù)越來越大，其后一項與前一項的比值越來越接近于一個常數(shù)，該常數(shù)稱為白銀比．白銀比和三角平方數(shù)、佩爾數(shù)及正八邊形都有關系．記佩爾數(shù)列為，且，，．則（

）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．白銀比為8．（2022·江蘇·高三專題練習）在（）中，內(nèi)角的對邊分別為，的面積為，若，，，且，，則（

）A．一定是直角三角形 B．為遞增數(shù)列C．有最大值 D．有最小值9．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學?？寄M預測）意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以2所得的余數(shù)按原來的順序構成的數(shù)列記為，數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．10．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，是圓上兩個不同的動點，是的中點，且滿足．設到直線的距離之和的最大值為，則下列說法中正確的是（

）A．向量與向量所成角為B．C．D．若，則數(shù)列的前n項和為11．（2022秋·江蘇泰州·高三江蘇省泰興中學校聯(lián)考階段練習）在數(shù)列中，已知是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，是公差為的等差數(shù)列，其中，則下列說法正確的是（

）A．當時， B．若，則C．若，則 D．當時，12．（2022秋·江蘇鹽城·高三鹽城市第一中學校考階段練習）已知數(shù)列{}的前n項和為，，則下列選項正確的是（

）A． B．存在，使得C． D．是單調遞增數(shù)列，{}是單調遞減數(shù)列13．（2022秋·江蘇南京·高三期末）對于伯努利數(shù)，有定義：.則（

）A． B．C． D．14．（2022春·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州第十中學校?？茧A段練習）已知等比數(shù)列首項，公比為q，前n項和為，前n項積為，函數(shù)，若，則下列結論正確的是（

）A．為單調遞增的等差數(shù)列B．C．為單調遞增的等比數(shù)列D．使得成立的n的最大值為615．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學一模）十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎，著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長度記為，則（

）A． B．C． D．16．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）若數(shù)列滿足：對任意的，總存在，使，則稱是“數(shù)列”.則下列數(shù)列是“數(shù)列”的有（

）A． B．C． D．17．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第十三中學?？计谀┮阎黜椂际钦龜?shù)的數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．18．（2023·江蘇南京·模擬預測）設，．若，則稱序列是長度為n的0—1序列．若，，則（

）A．長度為n的0—1序列共有個 B．若數(shù)列是等差數(shù)列，則C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則 D．數(shù)列可能是等比數(shù)列19．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列中，當且僅當時，僅得最大值.記數(shù)列的前k項和為，（

）A．若，則當且僅當時，取得最大值B．若，則當且僅當時，取得最大值C．若，則當且僅當時，取得最大值D．若，，則當或14時，取得最大值20．（2023春·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）已知是等比數(shù)列，公比為，若存在無窮多個不同的，滿足，則下列選項之中，可能成立的有（

）A． B．C． D．21．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”．將數(shù)列、進行“美好成長”，第一次得到數(shù)列、、；第二次得到數(shù)列、、、、；；設第次“美好成長”后得到的數(shù)列為、、、、、，并記，則（

）A． B．C． D．數(shù)列的前項和為22．（2022秋·江蘇連云港·高三江蘇省贛榆高級中學?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為，則（

）A．是等差數(shù)列 B．任意的，C． D．23．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學?？奸_學考試）已知數(shù)列的前項和為，且對于恒成立，若定義，，則以下說法正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．存在使得三、填空題24．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）記為數(shù)列的前項和，已知對任意的，，且存在，，則的取值集合為（用列舉法表示）25．（2022秋·江蘇揚州·高三揚州中學?？茧A段練習）用表示自然數(shù)的所有因數(shù)中較大的那個奇數(shù)，例如9的因數(shù)有1，3，9，則；10的因數(shù)有1，2，5，10，則，那么．26．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學考試）“0，1數(shù)列”是每一項均為0或1的數(shù)列，在通信技術中應用廣泛.設是一個“0，1數(shù)列”，定義數(shù)列：數(shù)列中每個0都變?yōu)椤?，0，1”，中每個1都變?yōu)椤?，1，0”，所得到的新數(shù)列.例如數(shù)列：1，0，則數(shù)列：0，1，0，1，0，1.已知數(shù)列：1，0，1，0，1，記數(shù)列，，2，3，…，則數(shù)列的所有項之和為.四、雙空題27．（2022秋·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考階段練習）已知數(shù)列滿足，，且．則數(shù)列的通項公式為．若，則數(shù)列的前項和為．28．（2023春·江蘇揚州·高三揚州市新華中學校考開學考試）侏羅紀蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成的，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上．設外圍第一個正方形的邊長為1，往里第二個正方形為，…，往里第個正方形為．那么第7個正方形的周長是，至少需要前個正方形的面積之和超過2．（參考數(shù)據(jù)：，）．29．（2023春·江蘇南京·高三校聯(lián)考期末）最早的數(shù)列從何而來，也許結繩記事便是