2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)練-6四邊形

2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)專題練一一6四邊形

選擇題（共7小題）

1.（2021?建湖縣一模）如圖，在EL4BC。中，BF平分NA8C,交AD于點凡CE平分NBCr）

交AO于點E,AB=6,BC=IO,則E尸長為（）

3.（2022?濱?？h一模）如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在線段BC的延長線

D.66°

4.（2021?濱?？h二模）如圖，菱形A8C3中,NB=60°,AB=3,則以AC為邊長的正方

D.20

5.（2021?濱?？h一模）如圖，矩形ABC。的對角線AC、8。相交于點O,ZABO=60o,

若矩形的對角線長為6.則線段4。的長是（）

B

A.3√3B.4C.2√3D.3

6.（2021?鹽城模擬）如圖，在菱形中，AC與BO相交于點。，點P是A8的中點,

PO=2,則菱形A8C。的周長是（）

A.4B.8C.16D.24

7.（2021?鹽都區(qū)三模）如圖，在菱形ABC。中，E是AB的中點，F(xiàn)點是AC的中點，連接

EF.如果EF=4,那么菱形48CD的周長為（）

A.9B.12C.24D.32

二.填空題（共7小題）

8.（2022?建湖縣二模）一個正多邊形的一個內(nèi)角是與其相鄰的一個外角的3倍，則這個正

多邊形的邊數(shù)是.

9.（2021?鹽城二模）如圖，點A是邊長為2的正方形。EFG的中心，在aABC中，ZABC

=90°,A8=2,8C=4,DG//BC,點P為正方形邊上的一動點，在BP的右側(cè)作NPBH

=90°且BH=IPB,則AH的最大值為.

10.（2021?射陽縣二模）如圖，菱形A8C。中，A8=5,AC=6,E為AO上一點且AE=1,

連接BE、AC交于點F,過點F作FGlBC于點G,則FG=.

11.（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=13,BC=17,點E是線段A。上一

個動點，把aBAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點A的對應(yīng)點4恰好落在NBC。的平分線

上時，AE的長為.

12.（2021?射陽縣模擬）如圖，回ABC。的對角線AC、BO相交于點。，點E是A8的中點,

?ABC的面積是16,則48Eo的面積為.

13.（2021?亭湖區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形ABCC中，AB=AE.若AE平分ND48,

NEAC=25°,則NAEO的度數(shù)為.

14.（2021?阜寧縣二模）已知正方形A8C。的邊長為4,點E,F分別在AD,DC±,AE

Ξ.解答題（共8小題）

15.（2022?亭湖區(qū)校級三模）如圖，在aABC中，點。是BC邊的中點，點F,E分別是

AC及其延長線上的點，CF//BE,連接BF,CE.

（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形.

（2）當(dāng)AABC滿足條件時，四邊形BEC尸為菱形.（填寫序號）

?AB=AC.②NBAC=90°,?AB=BC,④NBCA=90°.

A

16.(2022?亭湖區(qū)校級三模)定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個

角的夾邊稱為鄰余線.

(1)如圖1,在AABC中，AB=AC,4。是AABC的角平分線，E,尸分別是BO,AD

上的點.

求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形.

(2)如圖2,在5X4的方格紙中，A,B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形

ABER使AB是鄰余線，E,F在格點上.

(3)如圖3,在(1)的條件下，取EF中點連接QM并延長交A8于點Q,延長EF

交AC于點M若N為AC的中點，DE=ABE,Q8=6,求鄰余線AB的長.

圖1圖2圖3

17.(2022?濱?？h模擬)如圖，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,點E是AQ邊上的動點，

將矩形48CD沿BE折疊，點A落在點A'處，連接8Z).

(1)如圖1,當(dāng)A'點恰好落在BC上，則折痕BE的長為；

(2)如圖2,若點A'恰好落在80上.

①求證：ZDEA'=2∕ABE;

②求tan/ABE的值；

(3)如圖3,若將圖1中的四邊形ABA'E剪下，在AE上取中點R將AABF沿B/折

疊得到AMBE點P、。分別是邊A'E、A'B上的動點(均不與頂點重合)，將4A'

PQ沿PQ折疊，點A'的對應(yīng)點N恰好落在上，當(dāng)PQ的一個內(nèi)角與/4'BM

相等時，請直接寫出A'。的長度.

18.(2022?亭湖區(qū)校級一模)小明學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，積極思考，利用兩個大小不同的

直角三角形與同學(xué)做起了數(shù)學(xué)探究活動.如圖1,在AABC與AOEP中，AC=BC=a,

ZC=90°,DF=EF=b,(a>b),NF=90°.

【探索發(fā)現(xiàn)】將兩個三角形頂點C與頂點尸重合，如圖2,將ADEF繞點C旋轉(zhuǎn),他發(fā)

現(xiàn)BE與AD的數(shù)量關(guān)系一直不變，則線段BE與AD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；

【深入思考】將兩個三角形的頂點C與頂點。重合，如圖3所示將ADE尸繞點C旋轉(zhuǎn).

①當(dāng)B、F、E三點共線時，連接BF、AE,線段BF、CF.AE之間的數(shù)量關(guān)系為；

②如圖4所示，連接AF、AE,若線段AC、EF交于點0,試探究四邊形AEeF能否為平

行四邊形？如果能，求出〃、〃之間的數(shù)量關(guān)系，如果不能，試說明理由.

【拓展延伸】如圖5,將ADEF繞點、C旋轉(zhuǎn),連接AF,取AF的中點M,連接EM,則

EM的取值范圍為_______(用含4、〃的不等式表示).

A

BC(D)

圖5

A

ZdjΔ/%A」4

BCEFBC(F)BC(D)BC(D)

圖I圖2圖3圖4

19.(2022?濱?？h一模)在四邊形ABCD中，∕B+NO=180°,對角線AC平分/BAD

(1)推理證明：如圖1,若NOAB=120°,且N￡)=90°,求證：AD+AB=AC;

(2)問題探究：如圖2,若ND48=120°,試探究A。、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，

（3）遷移應(yīng)用：如圖3,若ND4B=90°,AD=2,AB=4,求線段AC的長度.

20.（2022?濱?？h一模）如圖，在正方形ABC。中，對角線AC、8。相交于點。，點￡、F

是對角線AC上的兩點，且AE=CF.連接￡>E、DF.BE、BF.

（1）證明：ZxAOE絲ACBF;

（2）若4B=5√Σ,AE=3,求四邊形BEOF的周長.

21.（2022?東臺市模擬）小明在學(xué)習(xí)矩形知識后，進一步開展探究活動：將一個矩形ABCQ

繞點4順時針旋轉(zhuǎn)α（0°<a≤90o）,得到矩形AB,CO',連結(jié)BD

【探究1】如圖1,當(dāng)a=90°時，點C恰好在QB延長線上.若43=1,求BC的長.

【探究2】如圖2,連結(jié)AC,過點。作。例〃AC交BO于點M.線段Z7M與。M相等

嗎？請說明理由.

【探究3】在探究2的條件下，射線。8分別交A。，Ae于點P,N（如圖3）,發(fā)現(xiàn)線段

DN,MN,PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出這個關(guān)系式，并加以證明.

圖2圖3

22.（2022?建湖縣一模）【問題再現(xiàn)】蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第94頁有這樣一題:

如圖1,在正方形48C。中，E,F,G分別是BC,CD,Af）上的點，GELBF,垂足為

M,那么GEBF.（填”或">，，）

【遷移嘗試】如圖2,在5X6的正方形網(wǎng)格中，點A,B,C,。為格點，AB交CQ于點

M.求/AMC的度數(shù)；

【拓展應(yīng)用】如圖3,點P是線段AB上的動點，分別以AP,BP為邊在AB的同側(cè)作正

方形APC。與正方形PBEF連接。E分別交線段BC,PC于點M,N.

①求NO例C的度數(shù)；

∩H

②連接AC交OE于點”，直接寫出;二的值為

BC-----------

A_G_____DLT.「.―?，D________CD________C

N

BDPB

2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)專題練一一6四邊形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

1.（2021?建湖縣一模）如圖，在E1A5C。中，BF平分NABC,交AD于點F,CE平分NBCD

交AD于點、E,AB=6fBC=IO,則Er長為（）

D.4

【解答】解：?.?四邊形ABCQ是平行四邊形,

：.AD//BC,Ao=BC=10,OC=A8=6.

/.NAFB=NFBC.

:5/平分NABC,

.?.ZABF=ZFBC.

：.ZAFB=ZABF.

.?AF=AB=6.

同理可得。E=OC=6.

：.EF=AF^-DE-AO=6+6-10=2.

故選：B.

2.（2022?濱?？h一模）下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（)

【解答】解：A.三角形的內(nèi)角和為180°；

B.四邊形的內(nèi)角和為360°；

C.五邊形的內(nèi)角和為：（5-2）X180°=540°；

D.六邊形的內(nèi)角和為：（6-2）×180°=720°；

故選：D.

3.（2022?濱?？h一模）如圖所示，四邊形A8CD是平行四邊形,點E在線段BC的延長線

上，若NZ)CE=I32°,則NA=()

【解答】解：CE=I32°,

ΛZDCS=180°-ZDCfi=180°-132°=48°,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

ΛZA=ZDCB=48o,

故選：B.

4.（2021?濱?？h二模）如圖，菱形A8C。中，NB=60°,AB=3,則以AC為邊長的正方

形ACEF的面積為（）

【解答】解：Y菱形ABCQ,

：.AB=BC=rS,

VZB=60o,

∕?∕?ABC是等邊三角形，

...AC=4B=3,

正方形ACEF的邊長為3,

正方形ACEF的面積為9,

故選：A.

5.（2021?濱?？h一模）如圖，矩形ABCr）的對角線AC、B力相交于點O,ZABO=60o,

若矩形的對角線長為6.則線段AQ的長是（）

A.3√3B.4C.2√3D.3

【解答】解：???四邊形A3CQ是矩形，

.'.AC=2AO,BD=2BO,AC=BD=6,

.?A0=0B=3f

VZABO=60o,

∕?AOB是等邊三角形，

：.AB=3=OA,

：.AD='BD2-'82=√36-9=3√3,

故選：A.

6.（2021?鹽城模擬）如圖，在菱形ABC。中，AC與BO相交于點。，點P是AB的中點,

產(chǎn)。=2,則菱形ABCO的周長是（）

A.4B.8C.16D.24

【解答】解：,.?四邊形A3C。是菱形，

：.ACLBD,AB=BC=CD=AD,

?點P是AB的中點,

.?AB=2OP,

?：P0=2,

ΛAB=4,

???菱形ABCD的周長是：4X4=16,

故選：C.

7.（2021?鹽都區(qū)三模）如圖，在菱形ABCO中，E是AB的中點，尸點是AC的中點，連接

EF,如果EF=4,那么菱形ABCO的周長為（）

A.9B.12C.24D.32

【解答】解：?.?點E、JF分別是A5、AC的中點，EF=4,

：?BC=2EF=8,

???四邊形43C。是菱形，

，菱形ABCD的周長是：4×8=32.

故選：D.

二.填空題（共7小題）

8.（2022?建湖縣二模）一個正多邊形的一個內(nèi)角是與其相鄰的一個外角的3倍，則這個正

多邊形的邊數(shù)是8.

【解答】解：設(shè)正多邊形的一個外角等于x°,

；一個內(nèi)角的度數(shù)恰好等于它相鄰的外角的3倍，

.?.這個正多邊形的一個內(nèi)角為：3尤°,

.?.x+3x=180,

解得：x=45,

這個正多邊形的邊數(shù)是：360o÷45o=8.

故答案為：8.

9.（2021?鹽城二模）如圖，點A是邊長為2的正方形。EFG的中心，在aABC中，ZABC

=90°,AB=2,BC=4,OG〃BC,點P為正方形邊上的一動點，在BP的右側(cè)作/P8”

=90°且BH=2PB,則A”的最大值為2√記.

【解答】解：連結(jié)AP,CH,并延長∕?,HC交于點、M,單交BH于點、N,

?,ZPBH=ZABC=90o,

：./PBA=ZHBC,

.PBAB1

BA~BC~2

:APBAsXHBC,

.?CH=2PAfZBPA=ZBHCf

：.ZMAH+ZAHM

=ZMAH+ZAHB+ZBHC

=NPNB+NB%=90°,

ΛZM=90o,

ΛC∕∕±∕?,

TP是以點A為中心的正方形DEFG的邊上的動點，

?,?”的軌跡為以C為中心的正方形0FtG,D,,且正方形DFfG,D'的邊長為

正方形QEFG的兩倍，

如下圖所示:

E

D

\J:1___________」

KG'F"

當(dāng)〃與尸重合時，A”最大，

延長A8,尸G'交于點K,

則AK=4,KF=6,

：.AF,=√42+62=2√13,

.?.A”的最大值為2√∏.

10.（2021?射陽縣二模）如圖，菱形ABC。中，AB=5,AC=6,E為AQ上一點且AE=1,

連接BE、AC交于點F,過點尸作FGLBC于點G,則FG=4.

【解答】解：如圖，連接8。，交AC于點O,

；四邊形ABC。是菱形，

.".AB=BC=5,ACVBD,Ao=Co=3,AD//BC,

：.Bo=7AB2-4。2=√25-9=4,

'JAD∕∕BC,

：.XAEFsXCBF,

,AE__AF_

??—,

BCCF

16-CF

.?一=,

5CF

.?.CF=5,

VsinZACB=阮=元，

.4FG

.?—=,

55

：.FG=4,

故答案為：4.

11.（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=13,BC=17,點E是線段AO上一

個動點，把48AE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點A的對應(yīng)點Ai恰好落在/BC。的平分線

上時，AE的長為■或至.

53

【解答】解：由翻折的性質(zhì)可得，48=48=13,AiE=AE,

平分NBC。，NBeE>=90°,

ΛZDCAi≈ZBCAi=45°,

過點4作AlFJ_BC于點尸，如圖，

則aAiCF是等腰直角三角形，

：.A?CF,

設(shè)CF=m，則AIF=m，

BF=I7-in,

在RtZ∑48尸中，由勾股定理可得，

A?B1^A?F1+BF1,即132=^2+（17-2,

解得m=5或W=12,

當(dāng)機=12時，延長EAi交AO于點G,如圖1；

圖1

此時AIF=CF=12,BF=5,

.'.AiG=FG-AιF=?,

設(shè)AE=f,則AIE=3

VZAiGE=ZAιFB=90°,NEAIB=NA=90°,

ΛZEAιG+ZGEAι=90o,ZBA?F+ZEAιG=90°,

J.ΛGEA?=ZBA?F,

ZVhEGS△BAiF,

ΛA1E:A∣G=BA∣:BF,即，：1=13：5,

?.即AE=當(dāng)；

當(dāng)〃i=5時，延長項1交4。于點G,如圖2；

B

圖2

此時AIF=CF=5,BF=12,

.'.AiG=FG-AιF=8,

設(shè)AE=”，則AιE=”,

VZAiGE=ZAιFB=90°,NEAIB=NA=90°,

ΛZEAιG+ZGEAι=90°,ZBAιF+ZEAιG=90°,

：.ZGEA?=ZBA?F,

.?.△4EGS△84凡

ΛA1E:AIG=B4：BF,即出8=13：12,

?_26日口人口_26

??〃=-?-j即AE=-?-;

故答案為：g或7?

12.（2021?射陽縣模擬）如圖，團ABe。的對角線AC、8。相交于點O,點E是AB的中點,

△ABC的面積是16,則ABEO的面積為4.

【解答】解：：團ABC。的對角線AC、BQ相交于點0,

：.OA=OC,

；點￡是AB的中點，

1

：?0E=；BC,OE//BC,

：.?A0E^ΔACB,

.S-OE_（0E2_?

:△ABC的面積是16,

?*?S"OE=4,

?*?SABEo=4.

故答案為：4.

13.（2021?亭湖區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=AE.若4E平分ND48,

ZEAC=25o,則NAE。的度數(shù)為

【解答】解：Y四邊形A8C。為平行四邊形,

.?AD∕∕BC,AD=BC.

：.ZDAE=NAEB.

λ

:AB=AE9

：.NAEB=NB.

,NB=NDAE.

VffiAABC和△4￡：￡)中，

AB=AE

乙B=?DAE,

AD=BC

：.?ABC^?EAD(SAS),

ΛZAED=ZBACf

TAE平分NZMB(已知平

：.ZDAE=ZBAE；

ZDAE=NAEB,

：.ZBAE=ZAEB=ZB.

：.Z?48E為等邊三角形.

ΛZBAE=60o.

?'ZEAC=25o,

.?.N8AC=85°,

ZAED=S5o.

14.（2021?阜寧縣二模）已知正方形ABCO的邊長為4,點E,b分別在AO,OC上，AE

=DF=1,BE與AF相交于點G,點”為8尸的中點，連接G“，則G”的長為,?

【解答】解：???四邊形ABCQ為正方形,

o

：.ZBAE=ZD=90,AB=AD9

??ABE和產(chǎn)中，

AB=AD

?Λ??BAE=ZD,

AE=DF

：.?ΛβE^?DAF(SAS),

???ZABE=ZDAFf

VZABE+ZBEA=90o,

ΛZDAF+ZBEA=90o,

,NAGE=NBG尸=90°,

I點H為8尸的中點,

IGH=初,

VBC=4.CF=CD-DF=4-1=3,

：.BF=y∕BC2+CF2=5,

15

.*.GH=^BF=∣,

故答案為：~?

≡.解答題(共8小題)

15.(2022?亭湖區(qū)校級三模)如圖，在aABC中，點。是BC邊的中點，點F,E分別是

AQ及其延長線上的點，CF//BE,連接BF,CE.

(1)求證：四邊形BEeF是平行四邊形.

(2)當(dāng)aABC滿足①條件時,四邊形BECF為菱形.(填寫序號)

①AB=AC.②NBAC=90°,?AB=BC,④∕BCA=90°.

【解答】(1)證明：在aABC中，。是8C邊的中點,

：.BD=CD,

,JCF//BE,

：.NCFD=NBED,

在ACFQ和aBEO中，

(ZCFD=NBED

?CD=BD

I乙FDC=LEDB

J.∕?CFD^∕?BED(AAS),

：.CF=BE,

：.四邊形BFCE是平行四邊形；

(2)解：滿足條件①時四邊形BECF為菱形.

理由：若AB=AC時，AABC為等腰三角形，

；A。為中線，

.,.AD±BC,

即FELBC,

由（1）知，ACFD迫ABED,

；.BD=CD,ED=FD,

???平行四邊形BECF為菱形.

故答案為：①.

16?（2022?亭湖區(qū)校級三模）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個

角的夾邊稱為鄰余線.

（1）如圖1,在AABC中，AB=AC,A。是aABC的角平分線，E,尸分別是BD,AD

上的點.

求證：四邊形ABE尸是鄰余四邊形.

（2）如圖2,在5X4的方格紙中，A,8在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形

ABER使AB是鄰余線，E,尸在格點上.

（3）如圖3,在（1）的條件下，取EF中點M,連接QM并延長交AB于點Q,延長EF

交AC于點N.若N為AC的中點，DE=ABE,QB=6,求鄰余線AB的長.

圖1圖2圖3

【解答】解：（1）'：AB=AC,AO是aABC的角平分線，

：.ADLBC,

：.ZADfi=90°,

：.ZDAB+ZDBA=90°,

.：NFAB與NEBA互余，

四邊形ABEF是鄰余四邊形；

（2）如圖所示（答案不唯一），

圖2

四邊形AFEB為所求;

(3)uCAB=AC.Ao是AABC的角平分線,

：.BD=CD,

,

?DE=4BE9

：?BD=CD=5BE,

：.CE=CD+DE=9BE,

???/瓦加=90°,點M是EF的中點,

：,DM=ME,

：?/MDE=/MED,

ΛJAB=AC,

.?ZB=ZC,

MDBQsMCN,

.QBBD5

??NC~CE~9

?.?Q8=6,

54

：.NC=?,

VAN=CN,

17.（2022?濱?？h模擬）如圖，在矩形45Co中，A5=6,3C=8,點E是Ao邊上的動點，

將矩形A8C。沿BE折疊，點A落在點A'處，連接8D.

（1）如圖1,當(dāng)M點恰好落在BC上，則折痕BE的長為」應(yīng)_；

（2）如圖2,若點A'恰好落在8。上.

①求證：NDEA'=2ZABE；

②求tanNABE的值；

（3）如圖3,若將圖1中的四邊形A8A'E剪下，在AE上取中點R將AAB尸沿8尸折

f

疊得到aMBR點P、Q分別是邊A'E、AJB上的動點（均不與頂點重合），將△4'

PQ沿PQ折疊，點A'的對應(yīng)點N恰好落在上，當(dāng)P。的一個內(nèi)角與NA'BM

相等時，請直接寫出A'Q的長度.

【解答】(1)解：如圖1,；將矩形ABCC沿BE折疊，A'點恰好落在BC上，

11

：.BA'=BA=6,NEBA'=ZEBA=^ZABC=?×90o=45°,NBA'E=∕BAE=90°,

C.∕?BEA'是等腰直角三角形，

.".BE=^2BA'=6√2,

故答案為：6√2;

圖I

(2)①證明：如圖2,：四邊形ABCD是矩形,

圖2

ΛZA=ZAfiC=Wo,AD//BC,

：.ZADB+ZABD=90a,

1

由折疊得：/ABE=NDBE=^NABD,ZBA'E=∕A=90°,

ΛZADB+ZDEA'=90°,

：.乙DE￡=NABD,

,NDEA'=2NABE;

②解：；矩形ABCD中，AB=6,8C=8,

NA=90°,Ao=BC=8,

由勾股定理得：BD=IO,

；矩形ABCD沿BE折疊，點A恰好落在8。上點4'處，

ΛZBA,E=NA=90°,BA'=BA=6,A'E=AE,

.?ZDA'E=90o,A'D=BD-BA'=10-6=4,

設(shè)A'E=AE=m,貝IJDE=8-優(yōu)，

在Rt△￡>/!'E中，由勾股定理列方程得：

222

ΠJ+4=(8-W),

解得：m=3,即AE=3,

VZA=90o，

..∕31

??tanNAλdBi7E=而=c

(3)解：由(1)可知43EV是等腰直角三角形，

ΛZBA,E=90°,BA=BA',

VZA,BM<90°,

,NA'≠ZA,BM,

當(dāng)NA'QP=ZA'時，如圖3,連接A'N交PQ于點H,

圖3

：將△4'P。沿P。折疊，點A'的對應(yīng)點N恰好落在上，

???點4'與點N關(guān)于直線PQ對稱，

二尸。垂直平分A'N,

VZA,QP=ZA,BM,

.?PQ∕∕BM,

.AtQ__AiH__1

``A∣B-A∣N—2

：.A'Q=%β=i×6=3i

當(dāng)NA'PQ=ZA'時，如圖4,過點N作NGLA'8于點G,連接FG、A'N,

圖4

；將△?!'P。沿P。折疊，點4'的對應(yīng)點N恰好落在上,

二點A'與點N關(guān)于直線PQ對稱，

二尸。垂直平分A'N,

ΛZA,PQ+ZPA'N=90°,

VZBA,N+ZB4,N=90°,

ΛZA1PQ=ZBA1N,

：.ZA,BM=/BA'N,

LNB=NA',

V7√G±A,B,

1

：.BG=,=3,

VAF=BG=3,AF//BG,ZA=90o,

???四邊形43GE是矩形，

ΛZBGF=90o,

???F、N、G在同一條直線上，

.?FG∕∕AB,

：.ZBFG=ZABF=/FBM,

：.BN=FN,

設(shè)NG=x,則BN=FN=6-%,

9222

?BG-^NG=BN9

9

得X--

4

...NG=9*BN=6十9洋15

?.?尸。垂直平分A'N,

???A，Q=NQ9

設(shè)A'Q=NQ=n,則GQ=3-〃，

在RtZ?NGQ中，GQ1+NG1=NQ1,

：?(3-n)2+(-)2=n2

4f

解得：〃=!|,

Q=梟

75

綜上所述，A'。的長度為3或5.

18.(2022?亭湖區(qū)校級一模)小明學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，積極思考，利用兩個大小不同的

直角三角形與同學(xué)做起了數(shù)學(xué)探究活動.如圖1,在aABC與ADE尸中，AC==BC=a,

ZC=90o,DF=EF=b,(a>b),NF=90°.

【探索發(fā)現(xiàn)】將兩個三角形頂點C與頂點/重合，如圖2,將ADEF繞點C旋轉(zhuǎn),他發(fā)

現(xiàn)BE與AO的數(shù)量關(guān)系一直不變，則線段BE與AD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；

【深入思考】將兩個三角形的頂點C與頂點。重合，如圖3所示將AOE尸繞點C旋轉(zhuǎn).

①當(dāng)8、尸、E三點共線時，連接BkAE,線段BECF、AE之間的數(shù)量關(guān)系為BF

=AE+CF；

②如圖4所示，連接AF、AE,若線段AC、EF交于點、0,試探究四邊形AECF能否為平

行四邊形？如果能，求出〃、6之間的數(shù)量關(guān)系，如果不能，試說明理由.

【拓展延伸】如圖5,將AOE/繞點C旋轉(zhuǎn)，連接AR取A/的中點M,連接EM,則

EM的取值范圍為"節(jié)"≤EM≤(用含〃、b的不等式表示).

2z

A

A

BC(D)

圖5

A

Zd/ΔD」A二4

BCEFBC(F)BC(D)BC(D)

圖1圖2圖3圖4

【解答】解：【探究發(fā)現(xiàn)】BE^AD,BELAD,理由如下：

如圖1,

圖1

VZACB=ZAFD=WO,

.??ZACB-ZACE=ZAFD-NACE,

：?NBCE=/AFD,

在43CE和aATO中，

BC=AC

Z-BCE=?AFD,

CE=FD

：.?BCE^AAFD(SAS),

：.BE=ADx

【深入思考】?BF=AE+CF,理由如下:

如圖2,

在尸B上截取/G=EF,可得ACGE是等腰直角三角形,

：.CF=FG=EF,

由【探究發(fā)現(xiàn)】得：BG=AE,

：.BF=BG+GF=AE+CFi

故答案為：BF=AE+CF；

②四邊形AEC尸可以為平行四邊形，

11

此時OF=OE=?b,OC=OA=^a,

VZCFO=90o,

ΛOC2=CF2+OF2=h2+（工匕產(chǎn)=法2,

24

1757

Λ-α2=-b2

44f

.?.Q=v5b；

【拓展延伸】如圖3,

延長/E至0,是EO=EF,連接。4,

1

ΛEM=∣?O,

在RtZ?CO/中，OF=2EF=2b,CF=A

：.OC=√56,

?,?點。在以。為圓心，逐方的圓上運動，

???當(dāng)點。在AC的延長線上時，Ao最大，最大值為：β+√5b,

當(dāng)點O在射線CA上時，A。最小，最小值為|〃一通加，

?E/α+∕5bE/∣α-∕5b∣

??EM最大=-2一-，EM最小=---2----，

±fr?s??÷τIa一遍0=G~?α+√虧b

故答案為：-------≤EM≤―2—.

19.(2022?濱?？h一模)在四邊形ABCC中，Zδ+ZD=180o,對角線AC平分/BAD

(1)推理證明：如圖1,若ND48=120°,且ND=90°,求證：AD+AB=AC;

(2)問題探究：如圖2,若ND4B=120°,試探究AZ)、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系,

(3)遷移應(yīng)用：如圖3,若∕D48=90°,AD=2,AB=4,求線段AC的長度.

圖I圖2圖3

【解答】(1)證明：：AC平分NB4。，

.?.ZDAC=NBAC=*NBAD.

VZDAB=120",

：.ZDAC=ZBAC=GOa,

又?.?∕B+NZ)=180°,/0=90°,

ΛZB=180o-NO=I80°-90°=90°,

NACO=/ACB=30°,

：.AD=∣AC,AB=∣AC,

.?AD+AB=^AC+^AC=AC.

(2)解：AD+AB=AC,理由如下：

在圖2中，過點C作CEJ_A力于點E,過點C作CAB的延長線于點立

：AC平分NBA。，

：.CE=CF,NDEC=NCFB=90°.

VZD+ZABC=180°,ZABC+ZFfiC=180°,

"D=NFBC.

{ZD=/FBC

在ABFC與ADEC中,LDEC=ZBFC'

(CE=CF

.,.ABFgNDEC(AAS),

J.DF=BF,

：.AD+AB=AE+DE+AF-BF=AE+AF.

由（1）可知：AE+AF^AC,

：.AD+AB=AC.

（3）解：在圖3中，過點C作C于點M,過點C作CNLAO的延長線于點N.

由（2）知：ACDgACBM,

：.DN=BM,

：.AD+AB=AN-DN+AM+BM=AN+AM.

VZDAB=Wo,AC平分NBA。，

：.NNAC=NMAC=NACN=45°,

Λ?ACMZ?4CM均為等腰直角三角形，

：.AN=AM=CN=與AC,

：.AD+AB=AN+AM=孝AC+?AC=√2AC.

又?.,AD=2,AB=4,

圖2

圖1

20.（2022?濱?？h一模）如圖，在正方形ABCO中，對角線4C、BD相交于點。，點E、

是對角線AC上的兩點，且AE=CF.連接。E、DF.BE、BF.

(1)證明：△A。E四△CBF；

(2)若4B=5√Σ,AE=3,求四邊形BED尸的周長.

【解答】(1)證明：；四邊形ABCD是正方形，

.".AB=BC=CD=AD,NAOC=NA8C=90°,ZDAC=ZBCA=45o,

在Z)E與ABCF中，

AD=BC

Z-DAC=乙BCA,

AE=CF

:.AADEmACBF(SAS)；

(2)解：Y四邊形ABC。是正方形，

：.ACLBD,OA=OC,OB=OD,

y.'：AE=CF,

.,.0E=OF,

.?.四邊形。破尸為平行四邊形，

又「AULBQ,

平行四邊形DEBF為菱形,

"：AB=5√2,

.'.OA=OB=孝AB=5,

XVAE=3,

.?0E=2,

：.BE=y∕OE2+OB2=√29,

四邊形DEBF的周長為4BE=4√29.

21.(2022?東臺市模擬)小明在學(xué)習(xí)矩形知識后，進一步開展探究活動：將一個矩形ABCQ

繞點4順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<a≤90o),得到矩形AB,C7J,連結(jié)BD

【探究1】如圖1,當(dāng)a=90°時，點C恰好在。B延長線上.若48=1,求BC的長.

【探究2】如圖2,連結(jié)AC,過點。作。加〃AC交Bz)于點M.線段與OM相等

嗎？請說明理由.

【探究3】在探究2的條件下，射線。B分別交A。，AC于點P,N(如圖3),發(fā)現(xiàn)線段

DN,MN,PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出這個關(guān)系式，并加以證明.

圖1

；矩形ABC。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形AB'C'D1,

，點A,B,O在一條線上，

.".AD'=AD=BC=x,D'C=AB'=AB=?,

：.D1B=AD'-AB^x-1,

".'ZBAD=ZD'=90°,

.?D'C∕∕DA,

又；點C在OB的延長線上，

Λ?D,CB^ΔADB,

DrCfDfB

??.___=____,

ADAB

,解得XI=與匹，X2=L共（不合題意，舍去），

X1Z