一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（講義）（解析版）-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）

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考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)一次函數(shù)的相關(guān)概念結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式；一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中考數(shù)學(xué)中比較重要的一個(gè)考點(diǎn)，也是知識(shí)點(diǎn)牽涉比較多的考點(diǎn).各地對(duì)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考察也主要集中在一次函數(shù)表達(dá)式與平移、圖象的性質(zhì)、圖象與方程不等式的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象與幾何圖形面積等五個(gè)方面，年年考查，總分值為5-10分左右，也因?yàn)橐淮魏瘮?shù)是一個(gè)結(jié)合型比較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)，所以其圖象和性質(zhì)也是后續(xù)函數(shù)問(wèn)題學(xué)習(xí)的一個(gè)基礎(chǔ).故考生在復(fù)習(xí)這塊知識(shí)點(diǎn)時(shí)，需要特別熟記對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的方法規(guī)律.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解正比例函數(shù)；能畫一次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0時(shí)圖象的變化情況.會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式.一次函數(shù)與方程（組）、不等式體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系.

考點(diǎn)一一次函數(shù)的相關(guān)概念正比例函數(shù)定義：一般地，形如y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù).一次函數(shù)定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中b=0時(shí)，y=kx，所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的一般形式：y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）.1.一次1.一次函數(shù)一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次數(shù)為1；3）常數(shù)b可以取任意實(shí)數(shù).2.正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但是一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).3.一次函數(shù)本身對(duì)自變量沒有取值范圍的要求，但是如果一次函數(shù)中的自變量x出現(xiàn)在分母，根號(hào)內(nèi)，則需考慮以下情況：1）整個(gè)分母不能等于0；2）根號(hào)里的整個(gè)式子要大于或等于0.4.判斷一個(gè)函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.題型01根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)值【例1】（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？家荒＃┖瘮?shù)y=kx?2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?1,3)，則k的值為（）A．1 B．?5 C．13 D．【答案】B【分析】將圖像上的點(diǎn)代入解析式求解即可．【詳解】∵一次函數(shù)y=kx?2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?1,3)，∴3=?k?2，解得k=?5．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的性質(zhì)，圖像上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)符合解析式方程．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式方程求解參數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023下·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若直線y=kx+k+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)m,??n+3和m+1,??2n?1，且A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意得出n+3=km+k+12n?1=km+k+k+1，求出k=n?4，根據(jù)0<k<2，求出4<n<6【詳解】解：由題意得n+3=km+k+12n?1=km+k+k+1解得：k=n?4，∵0<k<2，∴0<n?4<2，∴4<n<6，∴n可以是5，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)關(guān)系式，用n表示出k，得到關(guān)于n的不等式是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·安徽合肥·?？既＃┮阎c(diǎn)Pm,n在一次函數(shù)y=?2x+1上，且2m?3n≤0，則下列不等關(guān)系一定成立的是（

A．mn≤32 B．mn≤【答案】A【分析】將點(diǎn)Pm,n代入一次函數(shù)y=?2x+1，根據(jù)2m?3n≤0可求出n【詳解】解：將點(diǎn)Pm,n代入一次函數(shù)y=?2x+1∴?2m+1=n，∴m=1?n∴2m?3n=2?1?n∴1?n?3n≤0，∴n≥1∵2m?3n≤0，∴m≤3n不等式兩邊同時(shí)除以n得mn故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與不等式性質(zhì)的綜合，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握不等式的性質(zhì).【變式1-3】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）已知直線y=-4x-6經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，n），且2m-7n≤0，則下列關(guān)系式正確的是（

）A．mn≤27 B．mn≥【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式確定m與n之間的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)不等式的性質(zhì)確定m和n的范圍，最后根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵直線y=-4x-6經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，n），∴n=-4m-6．∴m=?n?6∵2m-7n≤0，∴2m?7?4m?6≤0，∴m≤?75，∴m<0，n可能是正數(shù)，0或者負(fù)數(shù)．∵2m-7n≤0，∴2m≤7n．∴nm故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的解析式，不等式的性質(zhì)，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．71．（2023·黑龍江大慶·大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）若以關(guān)于x，y的二元一次方程組x+y=5x?y=9k的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在一次函數(shù)y=?23【答案】1【分析】解方程組，先用含k的代數(shù)式表示出x、y，根據(jù)以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在一次函數(shù)y=?23x+4【詳解】解：x+y=5①+②得，∴x=5+9k①?②，∴y=把x=5+9k2，y=5?9k5?9k2解得，k=1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，解決本題的關(guān)鍵是用含k的代數(shù)式表示出方程組中的x、y．題型02求一次函數(shù)的自變量或函數(shù)值【例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）點(diǎn)3,b在一次函數(shù)y=2x?7的圖象上，則b的值為（

）A．13 B．1 C．5 D．?1【答案】D【分析】把3,b代入y=2x?7計(jì)算即可．【詳解】∵點(diǎn)3,b在一次函數(shù)y=2x?7的圖象上，即當(dāng)x=3時(shí)，y=b，∴b=2×3?7=?1，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖像與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系．當(dāng)已知函數(shù)解析式時(shí)，求坐標(biāo)中字母的值直接代入解析式求解即可．【變式2-1】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若正比例函數(shù)y=kx，當(dāng)x=1時(shí)，y=2，則下列各點(diǎn)在該函數(shù)圖象上的是（

）A．(?1,?2) B．(?1,2) C．(1,?2) D．(2,1)【答案】A【分析】把x=1，y=2，代入函數(shù)解析式可求得k，再把選項(xiàng)中所給點(diǎn)的坐標(biāo)代入進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵當(dāng)x=1時(shí)，y=2，∴k=2，∴y=2x，當(dāng)x=?1時(shí)，y=2×(?1)=?2，故點(diǎn)(?1,?2)在函數(shù)圖象上，(?1,2)不在函數(shù)圖象上，當(dāng)x=1時(shí)，y=2×1=2，故點(diǎn)(1,?2)不在函數(shù)圖象上，當(dāng)x=2時(shí)，y=2×2=4，故點(diǎn)(2,1)不在函數(shù)圖象上，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）若方程2x?6=0的解，是一個(gè)一次函數(shù)的函數(shù)值為2時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量的值，則這個(gè)一次函數(shù)可以是（

）A．y=2x?4 B．y=?2x+4 C．y=2x?6 D．y=?2x+6【答案】A【分析】由2x?6=0得x=3，再分別求出各選項(xiàng)在x=3時(shí)的函數(shù)值，即可得到答案．【詳解】解：由2x?6=0得x=3，當(dāng)x=3時(shí)，y=2x?4=2×3?4=2，故A符合題；y=?2x+4=?2×3+4=?2，故B不符合題意；y=2x?6=2×3?6=0，故C不符合題意；y=?2x+6=?2×3+6=0，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的表達(dá)式及解一元一次方程，根據(jù)題意得出x=3是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、一次函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)圖象特征正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）必過(guò)點(diǎn)（0,0）、（1，k）.一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）必過(guò)點(diǎn)（0，b）、（-bk增減性k>0k<0從左向右看圖像呈上升趨勢(shì)，y隨x的增大而增大從左向右看圖像呈下降趨勢(shì)，y隨x的增大而減少圖象b>0b=0b<0b>0b=0b<0經(jīng)過(guò)象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四與y軸交點(diǎn)位置b＞0，交點(diǎn)在y軸正半軸上；b=0，交點(diǎn)在原點(diǎn)；b＜0，交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上二、一次函數(shù)圖象圖象關(guān)系一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到：當(dāng)b>0時(shí)，向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度平移口訣：左加有減，上加下減圖象確定因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條直線，由兩點(diǎn)確定一條直線可知畫一次函數(shù)圖象時(shí)，只要取兩點(diǎn)即可，1）畫一次函數(shù)的圖象，只需過(guò)圖象上兩點(diǎn)作直線即可，一般取(0，b)，(?b2）畫正比例函數(shù)的圖象，只要取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)即可.三、k，b的符號(hào)與直線y=kx+b（k≠0）的關(guān)系在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=?bk

，即直線y=kx+b與x軸交于(令x=0，則y=b，即直線y=kx+b與y軸交于(0，b)1）當(dāng)?bk>2）當(dāng)?bk=3）當(dāng)?bk<四、兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式（直線l1：y1=k1x＋b1與l2：y2=k2x＋b2）的位置關(guān)系：1）當(dāng)k1=k2，b1=b2時(shí)，兩直線重合；2)當(dāng)k1=k2，b1≠b2時(shí)，兩直線平行；3）當(dāng)k1≠k2，b1=b2時(shí)，兩直線交于y軸上的同一點(diǎn)（0，b）；4）當(dāng)k1?k2=-1時(shí)，兩直線垂直；5）當(dāng)k1≠k2時(shí)，兩直線相交.五、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式確定一次函數(shù)解析式的方法：1）依據(jù)題意中等量關(guān)系直接列出解析式；2）待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：1）設(shè)出函數(shù)的一般形式y(tǒng)=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根據(jù)已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)代入表達(dá)式得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；3）解方程或方程組求出k，b的值；4）將所求得的k，b的值代入到函數(shù)的一般形式中，從而得到一次函數(shù)解析式.六、正比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別正比例函數(shù)一次函數(shù)區(qū)別一般形式y(tǒng)=kx+b（k是常數(shù)，且k≠0）y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線一條直線k，b符號(hào)的作用k的符號(hào)決定其增減性，同時(shí)決定直線所經(jīng)過(guò)的象限k的符號(hào)決定其增減性；b的符號(hào)決定直線與y軸的交點(diǎn)位置；k，b的符號(hào)共同決定直線在直角坐標(biāo)系的位置求解析式的條件只需要一對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)需要兩對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系1）正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．2）正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫法一樣，都是過(guò)兩點(diǎn)畫直線，但畫一次函數(shù)的圖象需取兩個(gè)不同的點(diǎn)，而畫正比例函數(shù)的圖象只要取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)即可．3）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行．4）一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)：①當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；②當(dāng)k<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。甉UOTE1.1.正比例函數(shù)y=kx中，|k|越大，直線y=kx越靠近y軸；反之，|y|越小，直線y=kx越靠近x軸.2.判斷一次函數(shù)的增減性，只看k的符號(hào)，與b無(wú)關(guān).3.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)而且圖像是一條直線，因此沒有最大值與最小值.但實(shí)際問(wèn)題得到第一次函數(shù)解析式，自變量的取值范圍一般受到限，學(xué)生做題時(shí)要注意具體問(wèn)題具體分析.4.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與x軸交于(?bk,0)，與y軸交于(0，b)，且這兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)軸原點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為s=12??b題型01判斷一次函數(shù)圖象【例1】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）勻速地向一個(gè)容器內(nèi)注水，最后把容器注滿．在注水過(guò)程中，水面高度?隨時(shí)間t的函數(shù)是一次函數(shù)．這個(gè)容器的形狀可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖像中每段的上升速度分析解答即可．【詳解】解：由一次函數(shù)圖像可知，一次函數(shù)圖像為直線，即容器內(nèi)的水面為勻速上升狀態(tài)，A項(xiàng)，杯子的杯身粗細(xì)一樣，勻速注水時(shí)，水面即時(shí)勻速上升，即水面高度?隨時(shí)間t的函數(shù)圖像是直線，故是一次函數(shù)，故此項(xiàng)符合題意；B項(xiàng)，杯子的杯身下細(xì)上粗，勻速注水時(shí)，水面上升速度先快后慢，即水面高度?隨時(shí)間t的函數(shù)圖像不是直線，故不是一次函數(shù)，即此項(xiàng)不符合題意；C項(xiàng)，杯子的杯身下細(xì)上粗，勻速注水時(shí)，水面上升速度先快后慢，即水面高度?隨時(shí)間t的函數(shù)圖像不是直線，故不是一次函數(shù)，即此項(xiàng)不符合題意；D項(xiàng)，杯子的杯身下細(xì)中間粗上細(xì)，勻速注水時(shí)，水面上升速度先快后慢再變快，即水面高度?隨時(shí)間t的函數(shù)圖像不是直線，故不是一次函數(shù)，即此項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了利用函數(shù)圖像判斷容器，正確理解函數(shù)圖像的上升速度與容器的粗細(xì)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）將一圓柱體從水中勻速提起，從如圖所示開始計(jì)時(shí)，直至其下表面剛好離開水面，停止計(jì)時(shí)．用x表示圓柱體運(yùn)動(dòng)時(shí)間，y表示水面的高度，則y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】設(shè)剛開始時(shí)水高為?，大水桶底面積為S1，圓柱體底面積為S2，速度為v，當(dāng)圓柱體上表面未離開水面時(shí)，體積不變，水高不變，y=?，當(dāng)上表面開始離開水面，直至其下表面剛好離開水面時(shí)，由題意得，S1【詳解】解：設(shè)剛開始時(shí)水高為?，大水桶底面積為S1，圓柱體底面積為S2，速度為當(dāng)圓柱體上表面未離開水面時(shí)，體積不變，水高不變，y=?，當(dāng)上表面開始離開水面，直至其下表面剛好離開水面時(shí)，由題意得，S1y=S∵?S∴y隨x的增大而減小，∴可知y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致為y先保持不變，然后y隨x的增大而減小，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象．解題的關(guān)鍵在于正確的表示數(shù)量關(guān)系．【變式1-2】（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖表示光從空氣進(jìn)入水中前、后的光路圖，若按如圖建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)入水前與入水后光線所在直線的表達(dá)式分別為y1=k1x,y2

A．k2<0<k1 B．k1<0<【答案】D【分析】利用兩個(gè)函數(shù)圖象的位置關(guān)系取橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)利用縱坐標(biāo)的大小列出不等式，即可求解．【詳解】解：如圖，在兩個(gè)圖象上分別取橫坐標(biāo)為mm<0的兩個(gè)點(diǎn)A和B，則Am,k1∵k1∴k1當(dāng)取橫坐標(biāo)為正數(shù)時(shí)，同理可得k1綜上所述，0>故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是取橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，利用縱坐標(biāo)的大小關(guān)系得到比例系數(shù)的關(guān)系．【變式1-3】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A2,5，B1,3，C3,1，DA．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】C【分析】在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，再根據(jù)一次函數(shù)圖象是直線，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，由圖可知：點(diǎn)C和點(diǎn)A、B、D不在同一個(gè)一次函數(shù)圖象上．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的圖象是直線．【變式1-4】（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）已知一次函數(shù)y=x+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Pa，b，其中a≠0，b≠0，則關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax+b和y=bx+aA．B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一次函數(shù)y=x+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Pa，b，b=a+2，進(jìn)而推出一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?1，2，則一次函數(shù)y=ax+b一定經(jīng)過(guò)第二象限，同理得到一次函數(shù)y=bx+a的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?1，?2，則一次函數(shù)y=bx+a必定經(jīng)過(guò)第三象限，再由a≠b【詳解】解：∵一次函數(shù)y=x+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Pa∴b=a+2，∴在一次函數(shù)y=ax+b中，y=ax+a+2，即y=ax+1+2，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，恒有當(dāng)x=∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?1，∴一次函數(shù)y=ax+b一定經(jīng)過(guò)第二象限，當(dāng)b=a+2時(shí)，即a=b?2，在一次函數(shù)y=bx+a中，y=bx+b?2，即y=bx+1?b，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有當(dāng)x=∴一次函數(shù)y=bx+a的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?1，∴一次函數(shù)y=bx+a必定經(jīng)過(guò)第三象限，又∵a≠b，∴一次函數(shù)y=bx+a與一次函數(shù)y=ax+b與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)不相同，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，正確判斷出兩個(gè)一次函數(shù)分別要經(jīng)過(guò)第二象限，第三象限是解題的關(guān)鍵．題型02根據(jù)一次函數(shù)圖象解析式判斷象限【例2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y=?kx+2k的圖象所經(jīng)過(guò)的象限是（

）A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四【答案】C【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的增減性得到k<0，得到?k>0,2k<0，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴k<0，∴?k>0,2k<0，∴一次函數(shù)y=?kx+2k的圖象所經(jīng)過(guò)第一，三，四象限，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)與一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正確掌握各函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？级＃┮阎壤瘮?shù)y=kx中，y隨x的增大而增大，則一次函數(shù)y=?kx+k的圖象所經(jīng)過(guò)的象限是（

）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四【答案】B【分析】根據(jù)題意以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，得出k>0，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=kx中，y隨x的增大而增大，∴k>0，?k<0∴一次函數(shù)y=?kx+k的圖象所經(jīng)過(guò)的象限是一、二、四，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)，得出k>0是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模）若一元二次方程x2?4x+4m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則正比例函數(shù)y=（m+2）x的圖象所在的象限是（）A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】B【分析】首先根據(jù)一元二次方程根的判別式確定m的值，進(jìn)而可得m+2的值，然后再根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵一元二次方程x2-4x+4m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=b2-4ac=16-16m=0，∴m=1，∴m+2=3，∴正比例函數(shù)y=（m+2）x的圖象所在的象限是第一、三象限，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程根的判別式，關(guān)鍵是正確確定m的取值．【變式2-3】（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)y=mx+m(m≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)1,2，則該函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先求出一次函數(shù)的解析式，然后判斷一次函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)得象限解題．【詳解】解：把1,2代入y=mx+m(m≠0)得：m+m=2，解得：m=1，∴y=x+1∴一次函數(shù)的圖象過(guò)不經(jīng)過(guò)第四象限，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖像，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)?？既＃┮辉畏匠蘹2?2x?4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a，b，那么一次函數(shù)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出ab與a+b的值，然后根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：a+b=2，ab=?4，∴1?ab=5∴一次函數(shù)解析式為：y=5x+2，故一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過(guò)第四象限．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【變式2-5】（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）若反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,?4，則一次函數(shù)y=kx?kA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先確定反比例函數(shù)解析式，從而可得一次函數(shù)解析式，進(jìn)而求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=kxk≠0∴k2解得：k=?8，∴一次函數(shù)的解析式為y=?8x+8，∴該直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．題型03已知函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限求參數(shù)的值或取值范圍【例3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ak，9A．?9 B．?3 C．3 D．?3或3【答案】B【分析】利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k值，結(jié)合正比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，即可確定k的值．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ak∴9=k∴k=±3，又∵正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，∴k<0，∴k=?3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于k的方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·陜西西安·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)、B(3,?2)、C(m,4)分別在三個(gè)不同的象限．若正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)其中兩點(diǎn)，則m=（

）A．2 B．?6 C．?43 【答案】B【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)得到正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B從而求出正比例函數(shù)解析式，然后代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得到答案．【詳解】解：∵三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,2)、B(3,?2)、C(m,4)，且三個(gè)點(diǎn)在不同的象限，∴點(diǎn)A在第一象限時(shí)，點(diǎn)C在第二象限，∴正比例函數(shù)不可能同時(shí)經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，即正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴3k=?2，∴k=?2∴正比例函數(shù)解析式為y=?2∴正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)二、四象限，∴點(diǎn)C在正比例函數(shù)圖象上，∴?2∴m=?6，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，確定正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知y?m與x?1成正比例，且當(dāng)x=?2時(shí)，y=3．若y關(guān)于x的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限，則m的取值范圍為（

）A．?32<m<0 B．?34<m<0【答案】C【分析】根據(jù)正比例的性質(zhì)列出解析式，根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限求得m的范圍，即可求解．【詳解】解：∵y?m與x?1成正比例，∴y?m=kx?1即y=kx?1當(dāng)x=?2時(shí)，y=3，即m=3+3k，∴y=kx?k+3+3k=kx+2k+3∵若y關(guān)于x的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限，∴k<0解得：k<?∵m=3+3k∴k=即m?3解得：m<?3故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線y=kx+b經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，且點(diǎn)3,1在該直線上，設(shè)m=3k?b，則m的取值范圍是（

）A．0<m<1 B．?1<m<1 C．1<m<2 D．?1<m<2【答案】B【分析】先利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到b=?3k+1，再利用一次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系得到k>0，b>0，則k的范圍為0<k<13，接著用k表示m，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求【詳解】解：把(3,1)代入y=kx+b得3k+b=1，b=?3k+1，因?yàn)橹本€y=kx+b經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，所以k>0，b>0，即?3k+1>0，所以k的范圍為0<k<1因?yàn)閙=3k?b=3k?(?3k+1)=6k?1，所以m的范圍為?1<m<1．故選：B．對(duì)于y=kx+b與y軸交于(0,b)，當(dāng)b>0時(shí)，(0,b)在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b<0時(shí)，(0,b)在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸；當(dāng)k>0，b>0?y=kx+b的圖象在一、二、三象限；k>0，b<0?y=kx+b的圖象在一、三、四象限；k<0，b>0?y=kx+b的圖象在一、二、四象限；k<0，b<0?y=kx+b的圖象在二、三、四象限.題型04一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題【例4】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y=kx?5和y=2x+b（k、b為常數(shù)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則k，b的值分別為（

）A．k=2,b=5 B．k=?2,b=5 C．k=2,b=?5 D．k=?2,b=?5【答案】D【分析】先求出y=kx?5與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入y=2x+b即可求出b的值，再求出y=2x+b與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出y=kx?5與x軸交點(diǎn)，將其代入y=kx?5即可求出k的值．【詳解】解：把x=0代入y=kx?5得：y=?5，∴一次函數(shù)y=kx?5與y軸相交于0,?5，∵一次函數(shù)y=kx?5和y=2x+b（k、b為常數(shù)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴y=2x+b與y軸相交于0,?5，把0,?5代入y=2x+b得b=?5，∴一次函數(shù)y=kx?5和y=2x?5的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，把y=0代入y=2x?5得：0=2x?5，解得：x=5∴y=2x?5與x軸相交于52∴一次函數(shù)y=kx?5與x軸相交于?5把?52,0解得：k=?2，綜上：k=?2,b=?5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【變式4-1】（2023·陜西西安·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，將函數(shù)y=?2x?4的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．(?1,0) B．(1,0) C．(?5,0) D．(5,0)【答案】B【分析】利用一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，得出即可．【詳解】解：將函數(shù)y=?2x?4的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=?2x?3當(dāng)y=0時(shí)，?2x+2=0解得：x=1∴平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）若直線l1:y=kx+2與直線l2:y=?x+b關(guān)于x軸對(duì)稱，則l1A．(0，?2) B．(?2，0) C．(2，0) D．(0，2)【答案】B【分析】求得直線l1與y軸的交點(diǎn)為(0，2)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得出點(diǎn)(0，2)關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定直線l2的關(guān)系式，求出直線l2【詳解】解：由直線l1:y=kx+2可知，直線l1與y∴點(diǎn)(0，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(0，?2)在直線l2∴b=?2，故直線l2的解析式為：y=?x?2令y=0，則x=?2，即l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確得出l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為l1與l【變式4-3】（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線l：y=2x+1與直線l'關(guān)于x軸對(duì)稱，則直線l'的解析式是（A．y=?2x+1 B．y=2x?1 C．y=?x?2 D．y=?2x?1【答案】D【分析】在直線l上找兩點(diǎn)0,1、?12,0，這兩點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為0,?1、?【詳解】∵直線l的解析式為y=2x+1，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=?1∴點(diǎn)0,1、?12,0∵直線l與直線l'關(guān)于x∴點(diǎn)0,1、?12,0關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為0,?1設(shè)直線l'的解析式為y=kx+bk≠0，得b=?1?∴直線l'的解析式為y=?2x?1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法，找到兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直線y=43x+4交兩坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線AB上一點(diǎn)，則線段OP

【答案】125/2.4/【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的最小距離CP⊥AB，再根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)得到OB=4，OA=3，最后利用勾股定理得到AB=5即可解答．【詳解】解：當(dāng)CP⊥AB時(shí)，OP的值最小，∴OP∵直線y=43x+4∴B0，4，A(?3,0)∴OB=4，OA=3，∴AB=OB∵∠AOB=90°，∴S△AOB=1∴12∴OP故答案為125

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的最小距離，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理，直角三角形的面積，學(xué)會(huì)求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,3和點(diǎn)1,?1，(1)求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式，并求出圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，(2)如果正比例函數(shù)y=k1x(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出（1），（2）中的一次函數(shù)圖象和正比例函數(shù)圖象．【答案】(1)y=2x?3，x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：32,0，(2)k(3)見詳解【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式，問(wèn)題隨之得解；（2）將（1）中所得直線函數(shù)，再通過(guò)平移即可得到y(tǒng)=k（3）按要求作圖即可．【詳解】（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,3和點(diǎn)1,?1，∴3k+b=3k+b=?1解得：k=2b=?3即一次函數(shù)的解析式為：y=2x?3，當(dāng)x=0時(shí)，y=?3，當(dāng)y=0時(shí)，2x?3=0，解得：x=3即圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：32,0，作圖如下：

（2）將一次函數(shù)y=2x?3向上平移3個(gè)單位可得正比例函數(shù)y=2x，∵平行的兩條直線通過(guò)平移可以重合，又∵正比例函數(shù)y=k1x∴一次函數(shù)y=2x?3通過(guò)平移得到正比例函數(shù)y=k∴正比例函數(shù)y=k1x∴k1（3）作圖如下：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的平移等知識(shí)，掌握平行的兩條直線通過(guò)平移可以重合，待定系數(shù)法，是解答本題的關(guān)鍵．題型05判斷一次函數(shù)增減性【例5】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，一次函數(shù)y=32x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y

A．點(diǎn)A的坐標(biāo)是?2，0 B．C．當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y>3 D．y隨x的增大而減小【答案】D【分析】A．利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；B．利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式，即可求出△AOB的面積；C．利用不等式的性質(zhì)，可得出當(dāng)當(dāng)x>0時(shí)，y>3；D．利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出y隨x的增大而增大．【詳解】解：A．當(dāng)y=0時(shí)，32解得：x=?2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為?2，B．當(dāng)x=0時(shí)，y=3∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,3，∴△AOB的面積為12C．當(dāng)x>0時(shí)，y>3∴當(dāng)x>0時(shí)，y>3，選項(xiàng)C不符合題意；D．∵k=3∴y隨x的增大而增大，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積，注意分析各選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·浙江·一模）已知x1,y1,x2A．若x1x2>0，則y1C．若x2x3>0，則y1【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律判斷選項(xiàng)的正誤．【詳解】解：∵k>0，∴?2k<0，一次函數(shù)的圖象如圖，

若x1x2>0，則若x1x3<0，則若x2x3>0，則若x2x3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)．【變式5-2】（2023·陜西咸陽(yáng)·二模）已知正比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)第二、四象限，若點(diǎn)A?1,y1，B1,y2都在一次函數(shù)y=kx?2A．y1<y2 B．y1=【答案】C【分析】根據(jù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)第二、四象限，判斷出k<0，可知y=kx?2的圖象中，y隨x【詳解】解：∵y=kxk≠0∴k<0，∴y=kx?2的圖象中，y隨x值的增大而減小，∵?1<1，∴y1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)y=kxk≠0經(jīng)過(guò)的象限判斷出k【變式5-3】（2022下·吉林松原·九年級(jí)校考階段練習(xí)）一次函數(shù)y=kx+1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且y隨x的增大而減小，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（）A．?1，2 B．1，2 C．【答案】A【分析】分別將四個(gè)選項(xiàng)中點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出k的值，根據(jù)一次函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1，2時(shí)，解得：k=?1<0，∴y隨x的增大而減小，選項(xiàng)A符合題意；B、當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，2時(shí)，解得：k=1>0，∴y隨x的增大而增大，選項(xiàng)B不符合題意；C、當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,3時(shí)，2k+1=3，解得：k=1>0，∴y隨x的增大而增大，選項(xiàng)C不符合題意；D、當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,4時(shí)，3k+1=4，解得：k=1>0，∴y隨x的增大而增大，選項(xiàng)D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的增減性，求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的增減性，一次函數(shù)y=kx+bk≠0，當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x【變式5-4】（2023上·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列一次函數(shù)中，其圖象過(guò)點(diǎn)?1,3且y隨x的增大而減小的是（

）A．y=2x+5 B．y=x+2 C．y=?2x+1 D．y=?x+1【答案】C【分析】對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b，k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，找出各選項(xiàng)中k值小于0的選項(xiàng)，再把點(diǎn)?1,3代入，符合的函數(shù)解析式即為答案．【詳解】解：∵y隨x的增大而減小，∴該一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)小于0，由此排除A，B，對(duì)于y=?x+1，當(dāng)x=?1時(shí)，y=2，∴y=?x+1的圖象不過(guò)點(diǎn)?1,3，由此排除D，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)k值判斷一次函數(shù)圖象的增減性．題型06根據(jù)一次函數(shù)增減性判斷參數(shù)取值范圍【例6】（2022·陜西西安·統(tǒng)考二模）若正比例函數(shù)y=1?2mx的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ax1,y1和點(diǎn)Bx2A．m<0 B．m>0 C．m<12 【答案】D【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的大小變化規(guī)律判斷k的符號(hào)：當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減?。驹斀狻拷猓骸弋?dāng)x1<x∴y隨x的增大而減小，則1?2m<0，解得m>1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是根據(jù)正比例函數(shù)的大小變化規(guī)律判斷k的符號(hào)．【變式6-1】（2023·陜西西安·西安市第二十六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y=kx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1，5，若自變量x的取值范圍是?2≤x≤5，則y的最小值是（A．?10 B．?7 C．7 D．11【答案】B【分析】先根據(jù)一次函數(shù)y=kx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1，5求出一次函數(shù)的解析式，從而得到y(tǒng)隨x的增大而減小，由于自變量x的取值范圍是?2≤x≤5，因此當(dāng)x=5時(shí)，y最小為【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1，∴?k+3=5，∴k=?2，∴一次函數(shù)的解析式為：y=?2x+3，∴y隨x的增大而減小，∵自變量x的取值范圍是?2≤x≤5，∴當(dāng)x=5時(shí)，y最小為?2×5+3=?7，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，使用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，從而得到一次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023下·全國(guó)·九年級(jí)期末）已知A(a，b)、B(c，d)是一次函數(shù)y=kx?2x?1圖象上的不同的兩個(gè)點(diǎn)，若(c?a)(d?b)<0，則A．k<3 B．k>3 C．k<2 D．k>2【答案】C【詳解】將點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式可求k?2=d?b【解答】解：∵A(a，b)、B(c，d)是一次函數(shù)∴b=ka?2a?1，d=kc?2c?1，且a≠c，∴d?b=(c?a)(k?2)，∴k?2=d?b∵(c?a)(d?b)<0，∴k?2<0，∴k<2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出k?2=d?b【變式6-3】（2023·河南·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知點(diǎn)Mm,y1,N?1,y2在直線y=?x+1【答案】m<?1【分析】根據(jù)直線y=?x+1中，k=?1<0得到y(tǒng)隨x的增大而減小，由y1>y【詳解】解：對(duì)于直線y=?x+1來(lái)說(shuō)，∵k=?1<0，∴y隨x的增大而減?。遹1∴m<?1．故答案為：m<?1【點(diǎn)睛】此題考查了利用一次函數(shù)的性質(zhì)比較自變量的大小，對(duì)于一次函數(shù)y=kx+bk≠0來(lái)說(shuō)，當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)k<0時(shí)，y隨x【變式6-4】（2023·河南·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知點(diǎn)Mm,y1,N?1,y2在直線y=?x+1【答案】m<?1【分析】根據(jù)直線y=?x+1中，k=?1<0得到y(tǒng)隨x的增大而減小，由y1>y【詳解】解：對(duì)于直線y=?x+1來(lái)說(shuō)，∵k=?1<0，∴y隨x的增大而減?。遹1∴m<?1．故答案為：m<?1【點(diǎn)睛】此題考查了利用一次函數(shù)的性質(zhì)比較自變量的大小，對(duì)于一次函數(shù)y=kx+bk≠0來(lái)說(shuō)，當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)k<0時(shí)，y隨x對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)來(lái)說(shuō)，當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，熟練掌握一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．題型07根據(jù)一次函數(shù)增減性判斷自變量的變化情況【例7】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）一次函數(shù)y=ax?2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,0，當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是．【答案】x>3【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求得a的值，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題意可得：3a?2=0，解得：a=2∵23∴y隨x增大而增大，∴當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是x>3；故答案為：x>3．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是首先正確的確定次函數(shù)的解析式，難度不大．【變式7-1】（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）若2x+y=1，且0<y<1，則x的取值范圍為．【答案】0<x<【分析】根據(jù)2x+y=1可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0進(jìn)而得出，當(dāng)y＝0時(shí)，x取得最大值，當(dāng)y＝1時(shí)，x取得最小值，將y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．【詳解】解：根據(jù)2x+y=1可得y＝﹣2x+1，∴k＝﹣2＜0∵0<y<1，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x取得最大值，且最大值為12當(dāng)y＝1時(shí)，x取得最小值，且最小值為0，∴0<x<故答案為：0<x<1【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學(xué)?？家荒＃┤?x-y＝1．且0<y<1．則x的取值范圍為．【答案】1【分析】根據(jù)2x?y=1可得y＝2x-1，k＝2>0進(jìn)而得出，當(dāng)y＝0時(shí)，x取得最大值，當(dāng)y＝1時(shí)，x取得最小值，將y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．【詳解】解：根據(jù)2x?y=1可得y＝2x﹣1，∴k＝2>0∵0<y<1，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x取得最小值，且最大值為12當(dāng)y＝1時(shí)，x取得最大值，且最小值為1，∴1故答案為：12【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型08一次函數(shù)的平移問(wèn)題【例8】（2023·陜西西安·?？家荒＃⒅本€y=?2x+7向左平移3個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位后得到的直線是（

）A．y=?2x+3 B．y=?2x?5 C．y=?2x+9 D．y=?2x?7【答案】A【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的函數(shù)圖象平移規(guī)律來(lái)解答．【詳解】解：將直線y=?2x+7向左平移3個(gè)單位，得y=?2x+3+7，即再向上平移2個(gè)單位，得y=?2x+1+2，即y=?2x+3．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“左加右減、上加下減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）將正比例函數(shù)y=x向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=?3x+m的圖象的交點(diǎn)不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先求得平移后的一次函數(shù)的解析式為y=x+1，根據(jù)函數(shù)y=x+1不經(jīng)過(guò)第四象限，即可得出結(jié)論．【詳解】解：將正比例函數(shù)y=x向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=x+1，∵一次函數(shù)y=x+1經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限，∴平移后的函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=?3x+m的圖象的交點(diǎn)不可能在第四象限，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知一次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）把直線y=?5x沿著y軸平移后得到直線AB，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)a,b，且5a+b=?2，則直線AB的函數(shù)表達(dá)式是（

）A．y=?5x+2 B．y=?5x?2 C．y=5x+2 D．y=5x?2【答案】B【分析】根據(jù)平移規(guī)律“上加下減”得到直線AB的解析式，然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b的方程組，通過(guò)解方程組求得系數(shù)的值．【詳解】解：設(shè)y=?5x沿著y軸平移后得到直線AB，則直線AB的解析式可設(shè)為y=?5x+k，把點(diǎn)a,b代入y=?5x+k，得b=?5a+k，①．聯(lián)立5a+b=?2，②解得k=?2．∴直線AB的解析式為y=?5x?2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換：一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)的圖象為直線，當(dāng)直線平移時(shí)k不變，當(dāng)向上平移m個(gè)單位，則平移后直線的解析式為y=kx+b+m．【變式8-3】（2023·陜西咸陽(yáng)·校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y=kx+4k≠0向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則k的值為（

A．?2 B．?1 C．2 D．1【答案】C【分析】由題意得，平移后的直線的解析式為y=kx?2+4，將0，【詳解】解：由題意得，平移后的直線的解析式為y=kx?2將0，0代入得，0=k0?2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式8-4】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y=3x+b向右平移2個(gè)單位，平移后的直線經(jīng)過(guò)第四象限，則b的值不可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】先根據(jù)平移規(guī)律得出直線y=3x+b向右平移2個(gè)單位的直線解析式，根據(jù)一次函數(shù)的圖象可得b的取值范圍，即可解答．【詳解】解：將直線y=3x+b向右平移2個(gè)單位，得到直線y=3x?2∵k=3>0且平移后的直線經(jīng)過(guò)第四象限，∴b?6<0，解得：b<6，∴b的值不可能為6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移和一次函數(shù)的圖象，正確求出平移后的直線解析式是解題的關(guān)鍵．【變式8-5】（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）將函數(shù)y=kx的圖像向下平移2個(gè)單位后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0，那么y的值隨x的增大而．（填“增大”或“減小”）【答案】增大【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的平移可知，將函數(shù)y=kx的圖像向下平移2個(gè)單位后表達(dá)式為y=kx?2，把點(diǎn)1,0代入一次函數(shù)y=kx?2得到關(guān)于k的一元一次方程，解之，通過(guò)k的正負(fù)情況即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像的平移可知，將函數(shù)y=kx的圖像向下平移2個(gè)單位后表達(dá)式為y=kx?2，∵y=kx?2圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0，∴0=k?2，解得k=2，即函數(shù)為y=2x，∵k=2>0，∴y的值隨x的增大而增大，故答案為：增大．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移和正比例函數(shù)的增減性，涉及到解一元一次方程，正確掌握代入法和正比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．題型09求一次函數(shù)解析式【例9】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）某個(gè)體戶購(gòu)進(jìn)一批時(shí)令水果，20天銷售完畢，他將本次銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)繪制如下的函數(shù)圖象，其中日銷售量y（千克）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是（

）

A．第10天銷售20千克 B．第7天和第16天的日銷售量相同C．一天最多銷售30千克 D．第16天比第1天多銷售22千克【答案】B【分析】根據(jù)圖象分別求出當(dāng)0≤x≤15時(shí)，當(dāng)15<x≤20時(shí)的函數(shù)解析式，逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】設(shè)y=k把15,30代入，得30=15k解得k1∴y=2x，當(dāng)x=10時(shí)，y=2×10=20，即第10天銷售20千克，故A正確，不符合題意；當(dāng)x=7時(shí)，y=2×7=14，即第7天銷售14千克，當(dāng)x=1時(shí)，y=2×1=2，即第1天銷售2千克，當(dāng)15<x≤20時(shí)，設(shè)y=k把15,30,20,0代入，得解得k2∴y=?6x+120，當(dāng)x=16時(shí)，y=?6×16+120=24，即第16天銷售24千克∴第7天和第16天的日銷售量不相同，故B錯(cuò)誤，符合題意；由圖得，一天最多銷售30千克，故C正確，不符合題意；∵24?2=22千克，∴第16天比第1天多銷售22千克，故D正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，從函數(shù)圖象獲取信息，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2021·廣東廣州·二模）如圖所示，直線y=23x+2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，以線段AB為邊，在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，則過(guò)B

A．y=13x+2 B．y=?15x+2【答案】B【分析】過(guò)C作CM垂直于x軸，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，以及AC=AB，利用AAS得到三角形ACM與三角形BAO全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到CM=OA，AM=OB，由AM+OA求出OM的長(zhǎng)，即可確定出C坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【詳解】解：對(duì)于直線y=23x+2，令x=0，得到y(tǒng)=2，即B(0,2)令y=0，得到x=?3，即A(?3,0)，OA=3，過(guò)C作CM⊥x軸，可得∠AMC=∠BOA=90°，∴∠ACM+∠CAM=90°，∵△ABC為等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，∴∠CAM+∠BAO=90°，∴∠ACM=∠BAO，在△CAM和△ABO中，∠AMC=∠BOA=90°∠ACM=∠BAO∴△CAM≌△ABO(AAS∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，∴C(?5,3)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B(0,2)，∴b=2?5k+b=3，解得k=?∴過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y=?1故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A，B?3,b在一次函數(shù)y=kx+4的圖象上，且點(diǎn)A與點(diǎn)C2,?5關(guān)于x軸對(duì)稱，則b的值為（A．52 B．?192 C．14【答案】A【分析】先由對(duì)稱求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入求出函數(shù)解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象即可求出b的值．【詳解】∵點(diǎn)A與點(diǎn)C2,?5關(guān)于x∴A2,5∵點(diǎn)A在一次函數(shù)y=kx+4的圖象上，∴5=2k+4，解得：k=1∴一次函數(shù)解析式為：y=1又∵點(diǎn)B?3,b在一次函數(shù)y=∴b=1故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的知識(shí)，關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，點(diǎn)的對(duì)稱性，從而完成求解．【變式9-3】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）直線y=12x+2交x軸于A，交y軸于B，直線ABA．y=12x?2 B．y=12x+2【答案】A【分析】先求得A，B的坐標(biāo)，再求得A，B繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：∵直線y=12x+2交x軸于A，交y當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=?4，∴A?4,0，B∴A，B繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后的坐標(biāo)為4,0，0,?2，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的直線解析式為y=kx+b，則4x+b=0b=?2解得：x=1∴旋轉(zhuǎn)后的直線解析式為y=1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與幾何變換，明確關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．【變式9-4】（2022·黑龍江牡丹江·校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，有三個(gè)點(diǎn)A(?3,1)，B(?1,5)，C(0,m)，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最短時(shí)，m的值為．【答案】4【分析】若三角形的周長(zhǎng)最短，由于AB的值固定，則只要其余兩邊最短即可，根據(jù)對(duì)稱性作出B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'、求出AB'【詳解】如圖，作B的對(duì)稱點(diǎn)B'

連接AB'交y軸于點(diǎn)C，此時(shí)設(shè)直線AB則?3k+b=1解得k=1∴m=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱??最短路徑問(wèn)題，利用軸對(duì)稱與待定系數(shù)法求函數(shù)解析式相結(jié)合，考查了同學(xué)們的綜合應(yīng)用能力．正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式9-5】．（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，我國(guó)傳統(tǒng)計(jì)重工具桿秤的應(yīng)用方便了人們的生活．某興趣小組為探究秤桿上秤砣到秤紐的水平距離xx≥4厘米與秤鉤所掛物體質(zhì)量yx41216242836y011.52.534根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式：．【答案】y=【分析】觀察表中數(shù)據(jù)變化特征，設(shè)解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法、二元一次方程組求解．【詳解】解：由表格知，y隨x的增大而增大，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k≠0)，則4k+b=012k+b=1，解得∴y=1經(jīng)檢驗(yàn)，x，y其它組值也滿足解析式．故答案為：y=【點(diǎn)睛】本題考查確定函數(shù)解析式，理解待定系數(shù)法、運(yùn)用方程的思維求解是解題的關(guān)鍵．【變式9-6】（2023·江蘇泰州·?？既＃┮阎本€l過(guò)點(diǎn)A0,?2且平行于x軸，點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,2，將直線l繞點(diǎn)B逆時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)60°，則旋轉(zhuǎn)后的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為【答案】y=【分析】設(shè)A繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，旋轉(zhuǎn)后的直線交直線l于E，過(guò)C作CD⊥直線l于D，根據(jù)A繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，可得△ABC是等邊三角形，故AB=AC=BC=4，∠BAC=60°，從而可得CD=12AC=2，AD=3CD=23，記知C(23，0)【詳解】解：設(shè)A繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，旋轉(zhuǎn)后的直線交直線l于E，過(guò)C作CD⊥直線l于D，如圖：

∵A繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，∴∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC是等邊三角形，∵A(0,?2)，B(0,2)，∴AB=AC=BC=4，∠BAC=60°，∴∠CAD=30°，∴CD=12AC=2∴C(23，0)∵∠CED=60°，∴ED=CD∴AE=AD?ED=4∴E(433設(shè)直線CE解析式為y=kx+b，將C(23，0)，E(4323解得k=3∴直線CE解析式為y=3故答案為：y=3【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何變換?旋轉(zhuǎn)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出旋轉(zhuǎn)后直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式9-7】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知直線y=kx+b中，自變量x的取值范圍是?1≤x≤7，相應(yīng)函數(shù)值的范圍是?12≤y≤8，求該函數(shù)的解析式．【答案】y=2.5x-9.5或y=-2.5x+5.5【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性，分兩種情況進(jìn)行討論．當(dāng)一次函數(shù)y隨x的增加而增加時(shí)，即函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（-1，-12）和（7,8）時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法可求得相應(yīng)函數(shù)解析式；當(dāng)一次函數(shù)y隨x的增加而減少時(shí)，即函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（-1,8）和（7，-12）時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法可求得相應(yīng)函數(shù)解析式．最終得到函數(shù)解析式的兩種結(jié)果．【詳解】解：分情況討論，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)（-1，-12）和（7,8）時(shí)，有?k+b=?12,7k+b=8,解得k=2.5,b=?9.5,則解析式為y=2.5當(dāng)直線經(jīng)過(guò)（-1,8）和（7，-12）時(shí)，有?k+b=8,7k+b=?12,解得k=?2.5,b=5.5,則解析式為y=-2.5綜上，函數(shù)的解析式為y=2.5x-9.5或y=-2.5x+5.5．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，通過(guò)函數(shù)增減性，分兩種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．題型10一次函數(shù)的規(guī)律探究問(wèn)題【例10】（2021·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1,2)，以O(shè)為圓心，OA1的長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線y=12x于點(diǎn)B1；過(guò)點(diǎn)B1作B1A2//y軸交直線y=2x于點(diǎn)A2，以O(shè)為圓心，OA2長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線y=12x于點(diǎn)B2A．(22021,22021) B．(【答案】B【分析】根據(jù)題意可以求得點(diǎn)B1的坐標(biāo)，點(diǎn)A2的坐標(biāo)，點(diǎn)B2的坐標(biāo)，然后即可發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)變化的規(guī)律，從而可以求得點(diǎn)B2021的坐標(biāo)．【詳解】解：由題意可得，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，2），設(shè)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（a，12a∵a2+(∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（2，1），同理可得，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（4，8），點(diǎn)B3的坐標(biāo)為（8，4），……∴點(diǎn)B2021的坐標(biāo)為(2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、點(diǎn)的坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中坐標(biāo)的變化規(guī)律，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式10-1】（2020·河南鶴壁·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l為正比例函數(shù)y=x的圖象，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為1,0，過(guò)點(diǎn)A1作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)D1，以A1D1為邊作正方形A1B1C1D1；過(guò)點(diǎn)C1作直線l的垂線，垂足為A2，交x軸于點(diǎn)B2，以A2B2A．92n B．92n?1 C．【答案】B【分析】由已知，直線l是第一、三象限的角平分線，結(jié)合A1（1，0），根據(jù)勾股定理求出每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，可分別求出正方形A1B1C1【詳解】解：∵直線l為函數(shù)y=x的圖象，∴∠∴D1∴正方形A1由勾股定理得，O∴A∴正方形A2B同理可得，A∴正方形A3B3∵第1個(gè)正方形的面積為1=921?1，第2個(gè)正方形的面積為92∴第n個(gè)正方形AnBn故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、探索規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，運(yùn)用勾股定理求每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵．【變式10-2】（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，…在x軸上且OA1=1，OA【答案】2【分析】當(dāng)OA1=1時(shí)，先求出OA2=2OAS2=223，S3=【詳解】解：當(dāng)OA∵OA∴A2B2=23∵OA∴A3B3=43∵OA∴A4B4=83OA∴A5B5=163?，∴Sn∴S2023故答案為：24044【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)的規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023·山東棗莊·校考一模）如圖△OA1B1、△A1A2B2、△A2A3B3都是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)B1、B2，【答案】2【分析】分別過(guò)點(diǎn)B1、B2，B3作x軸的出現(xiàn)，垂足分別為C,D,E，先求得S△OA【詳解】解：如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)B1、B2，B3作x∵B1在y=13∴B1∴OC=B設(shè)A1D=a，則∴B2的橫坐標(biāo)為2+a∴B2代入y=13x+解得：a=2，∴A1同理可得A2∴S△OA1B……，∴根據(jù)此規(guī)律第n個(gè)等腰直角三角形An故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式10-4】（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=33x+1與直線l2：y=3x交于點(diǎn)A1，過(guò)A1作x軸的垂線，垂足為B1，過(guò)B1作l2的平行線交l1于A2，過(guò)A2作x軸的垂線，垂足為B2，過(guò)B2【答案】3【分析】聯(lián)立直線l1與直線l2的表達(dá)式并解得x=3y=3，故A1(3，3)，依次求出：點(diǎn)A【詳解】解：由y=33x+2∴A1(∴點(diǎn)B1(3設(shè)直線B1A2將點(diǎn)B1坐標(biāo)代入上式解得b=?3∴直線B1A2由y=33x+2∴A2(∴B2(設(shè)直線B2A3將點(diǎn)B2坐標(biāo)代入上式解得c=?∴直線B2A3同理可得A3的縱坐標(biāo)為27…按此規(guī)律，則點(diǎn)An的縱坐標(biāo)為3∴點(diǎn)A2023的縱坐標(biāo)為3故答案為：32023【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線的交點(diǎn)，要求利用圖象求解各問(wèn)題，要認(rèn)真體會(huì)點(diǎn)的坐標(biāo)，一次函數(shù)與二元一次方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系．【變式10-5】（2023·湖南衡陽(yáng)·衡陽(yáng)市華新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A12，2在直線y=x上，過(guò)點(diǎn)A1作A1B1∥y軸，交直線y=12x于點(diǎn)B，以A1為直角頂點(diǎn)，A1B1為直角邊，在A1B1的右側(cè)作等腰直角三角形A1B1C1【答案】2×【分析】先根據(jù)題目中的已知條件求出點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為3=2×32，點(diǎn)C2的橫坐標(biāo)為92=2×322，點(diǎn)C3的橫坐標(biāo)為【詳解】解：∵點(diǎn)A12，2，A1∴B1∴A1B1∵A1∴點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為3=2×∵過(guò)點(diǎn)C1作A2B2∥y軸，分別交直線y=x和∴A23∴A2∴A2∴點(diǎn)C2的橫坐標(biāo)為，9以此類推，A3B3∴點(diǎn)C3的橫坐標(biāo)為27A4B4點(diǎn)C4的橫坐標(biāo)為81∴AnBn∴點(diǎn)Cn的橫坐標(biāo)為2×∴點(diǎn)C2021的橫坐標(biāo)為2×故答案為：2×3【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的規(guī)律探究問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意總結(jié)得出點(diǎn)Cn的橫坐標(biāo)為2×【變式10-6】（2022·山東泰安·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角頂點(diǎn)P13，3，P【答案】9【分析】過(guò)點(diǎn)Pn作PnEn⊥x軸于點(diǎn)En，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得An?1An=2PnEn，結(jié)合點(diǎn)P1的坐標(biāo)可求出S1的值，設(shè)點(diǎn)Pn【詳解】解：過(guò)點(diǎn)Pn作PnE∵△P1OA1∴OA1=2P1E1∵P1∴S1設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為xn，yn∵點(diǎn)P2在直線y=?∴y2∴y2∴S2∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為6+2y2∵點(diǎn)P3在直線y=?∴y3∴y3=34∵y1=3，y2∴yn∴Sn∴S2022故答案為：94【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形以及規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的變化，找出點(diǎn)Pn縱坐標(biāo)的變化規(guī)律“y題型11一次函數(shù)的新定義問(wèn)題【例11】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）定義新運(yùn)算：a◎b=baa≠0．對(duì)于函數(shù)y=3◎xA．函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限 B．函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,3C．y隨x的增大而增大 D．函數(shù)的圖象是雙曲線【答案】C【分析】根據(jù)新運(yùn)算的運(yùn)算方法，得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)關(guān)系式逐一判斷即可．【詳解】解：∵a◎b=b∴y=3◎x=xA．該函數(shù)圖象位于第一、三象限，故本選項(xiàng)不符合題意；B．當(dāng)x=1時(shí)，y=1C．y隨x增大而增大，故本選項(xiàng)符合題意；D．函數(shù)的圖象是直線，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，讀懂題目信息，理解新運(yùn)算的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)Px1,y1，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)Qx2,y2滿足x1+x2=y1+y2時(shí)，稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的等和點(diǎn)．已知：點(diǎn)A．?3,6 B．?1,4 C．4,?1 D．3,0【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)P（2，－1）的等和點(diǎn)為（m，n），A（t，?t＋3），根據(jù)點(diǎn)P的等和點(diǎn)也是點(diǎn)A的等和點(diǎn)列式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P（2，－1）的等和點(diǎn)為（m，n），∴2＋m＝n－1，設(shè)A（t，?t＋3），則點(diǎn)A的等和點(diǎn)為（m，n），∴t＋m＝?t＋3＋n，解得：t＝3，∴A（3，0），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，理解新定義是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）新定義：函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)Px，y，y?x稱為該點(diǎn)的“坐標(biāo)差”，函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”的最大值稱為該函數(shù)的“特征值”．一次函數(shù)y=2x+3【答案】4【分析】由題意知，一次函數(shù)y=2x+3?2≤x≤1的“特征值”為y?x=x+3，當(dāng)x=1時(shí)，y?x【詳解】解：由題意知，一次函數(shù)y=2x+3?2≤x≤1的“特征值”為y?x=x+3當(dāng)x=1時(shí)，y?x=4，∴一次函數(shù)y=2x+3?2≤x≤1故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，一次函數(shù)．解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的運(yùn)算．【變式11-3】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在正數(shù)M，函數(shù)值y都滿足y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)．其中，M的最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．若函數(shù)y=2x+1（a≤x≤b，且a≠b）中，y的最大值是2，邊界值小于3，則a應(yīng)滿足的條件是【答案】?2<a<【分析】根據(jù)2>0可知函數(shù)y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y隨x的增大而增大，再根據(jù)函數(shù)增減性可知當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)值為邊界值，然后由邊界值小于3列關(guān)于a的不等式求解即可．【詳解】解：∵2>0∴函數(shù)y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y隨x的增大而增大∴當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)y=2x+1的函數(shù)值為邊界值，∵邊界值小于3∴?3<2a+1<2，解得：?2<a<1故答案為：?2<a<1【點(diǎn)睛】本題主要考查了閱讀理解、一次函數(shù)的增減性、解不等式等知識(shí)點(diǎn)，理解“邊界值”的定義成為解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三一次函數(shù)與方程（組）、不等式一、一次函數(shù)與一元一次方程思路：由于任何一個(gè)一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a、b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求自變量的值.從“數(shù)”上看：方程ax+b=0（a≠0）的解?函數(shù)y=ax+b（a≠0）中，y=0時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值從“形”上看：方程ax+b=0(a≠0）的解?函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).二、一次函數(shù)與二元一次方程組思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a、b為常數(shù)，且a≠0）的形式.因此，一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，又因?yàn)橐粋€(gè)一次函數(shù)對(duì)應(yīng)一條直線，所以一個(gè)二元一次方程也對(duì)應(yīng)一條直線，進(jìn)一步可知，一個(gè)二元一次方程組對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，因而也對(duì)應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看：解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這兩個(gè)函數(shù)值是何值；從“形”的角度看：解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般地，如果一個(gè)二元一次方程組有唯一解，那么這個(gè)解就是方程組對(duì)應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).二、一次函數(shù)與一元一次不等式思路：關(guān)于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直線y=kx+b和x軸的交點(diǎn)為分界點(diǎn)，x軸上(下)方的圖象所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.從函數(shù)的角度看：解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖像的角度看：就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的橫坐標(biāo)滿足的條件.1）二元一次方程組的圖解法的定義：畫出兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，找出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，即得相應(yīng)的二元一次方程組的解，這種解二元一次方程組的方法叫做二元一次方程組的圖解法1）二元一次方程組的圖解法的定義：畫出兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，找出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，即得相應(yīng)的二元一次方程組的解，這種解二元一次方程組的方法叫做二元一次方程組的圖解法題型01已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求方程的解【例1】（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A?3,0，則關(guān)于x的方程?kx+b=0的解為（

A．x=3 B．x=?3 C．x=0 D．x=2【答案】A【分析】先根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A?3,0，求出b=3k【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A?3,0∴?3k+b=0，∴b=3k，∵?kx+b=0，∴x=b故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系，正確求出b=3k是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）如圖，直線y=ax+ba≠0與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的方程ax+b=0的解為（

A．1 B．?1 C．2 D．?2【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為其相應(yīng)一元一次方程的解，結(jié)合圖象即可解答．【詳解】解：∵直線y=ax+ba≠0與x∴關(guān)于x的方程ax+b=0的解為x=1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求方程的解．掌握一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為其相應(yīng)一元一次方程的解是解題關(guān)鍵．題型02由一元一次方程的解判斷直線與x軸交點(diǎn)【例2】（2021·安徽合肥·統(tǒng)考二模）若x=2是關(guān)于x的方程mx+n=0m≠0,n>0的解，則一次函數(shù)y=?mx?1?n的圖象與xA．2,0 B．3,0 C．0,2 D．0,3【答案】B【分析】直線y=mx+n與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)值為0時(shí)的方程的解，根據(jù)題意得到一次函數(shù)y=mx+n的圖象與x軸的交點(diǎn)為（2，0），進(jìn)而得到一次函數(shù)y=-mx-n的圖象與x軸的交點(diǎn)為（2，0），由于一次函數(shù)y=-mx-n的圖象向右平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=-m（x-1）-n，即可求得一次函數(shù)y=-m（x-1）-n的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵方程的解為x=2，∴當(dāng)x=2時(shí)mx+n=0；∴一次函數(shù)y=mx+n的圖象與x軸的交點(diǎn)為（2，0），∴一次函數(shù)y=-mx-n的圖象與x軸的交點(diǎn)為（2，0），∵一次函數(shù)y=-mx-n的圖象向右平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=-m（x-1）-n，∴一次函數(shù)y=-m（x-1）-n的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系．任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．【變式2-1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，