2023-2024學(xué)年四川省綿陽高二年級下冊4月月考數(shù)學(xué)（理）模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省綿陽高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)(理)

模擬試題

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足3z=-g(l+i),則Z的共帆復(fù)數(shù)的虛部是()

A.—iB.-i

22

C.--D.；

22

【正確答案】C

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及共軌復(fù)數(shù)的定義得出答案.

【詳解】由題意，得z=4匕i=-?雪2=4+為，所以Z的共軻復(fù)數(shù)的虛部是-工

2z2Z2222

故選：C.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法以及共施復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.下列說法正確的是()

A.命題F∈R,">O”的否定是“3XGRA>命'

B.命題“已知x,yeR,若x+y*3,則XW2或yr1”的逆否命題是真命題

C.+2χ≥ar在xe[l,2]上恒成立“。“(/+2幻而“≥(αx)mhl在xe[l,2]上恒成立”

D.命題“若”=-l,則函數(shù)/(X)=加+2》_1只有一個零點(diǎn)”的逆命題為真命題

【正確答案】B

【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,即可判斷A,根據(jù)原命題與逆否命題的真假性一樣即可判

斷B,根據(jù)恒成立問題的求解即可判斷C,根據(jù)函數(shù)/(x)=a√+2χ7只有一個零點(diǎn)則。=_1或。=0,

可判斷D.

【詳解】A：命題的否定為：3x∈R,e*≤0,故A錯誤；

B：分析題意可知原命題成立，故其逆否命題成立，故B正確；

C：分析題意可知，不等式兩邊的最值不一定在同一個自變量處取到，故C錯誤；

D：若函數(shù)/(X)=ax?+2x-l只有一個零點(diǎn)，則①：a=0,符合題意，②α*0,Δ=4+4?=O=>α=-1,

逆命題是假命題，故D錯誤.

故選：B

3.命題“任意xw[l,2],Y-α≤O"為真命題的一個充分不必要條件是()

A.a≥4B.a≤4C.a>5D.a<5

【正確答案】C

【分析】求出命題“任意xe[L2],α≤0"為真命題的充要條件，然后可選出答案.

【詳解】由/_小0可得“≥Y,

當(dāng)xe[l,2]時(shí)，(χ2)nm=4,所以0≥4,

所以命題“任意Xe[1,2],V-α≤o，，為真命題的充要條件是

所以命題“任意xe[l,2],V-α≤O"為真命題的一個充分不必要條件是C,

故選：C

4.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，則行車路線共有()

A.24利IB.16種C.12利1D.10利∣

【正確答案】C

【分析】分析起點(diǎn)和終點(diǎn)的情況，由乘法原理，即可得出結(jié)論.

【詳解】依題意，起點(diǎn)為4種可能性，終點(diǎn)為3種可能性，

所以行車路線共有4x3=12種.

故選：C

本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意“不允許回頭”條件，屬于基礎(chǔ)題.

5.函數(shù)"x)=gχ2+χinx-3x的極值點(diǎn)一定在區(qū)間()

A.(0,1)B,(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【正確答案】B

【分析】由函數(shù)的極值點(diǎn)即導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及零點(diǎn)存在定理可得.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的極值點(diǎn)即導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，∕,ω=x+lnx+l-3=x+lnx-2,所以

∕,(1)=-l<0,Γ(2)=∣∏2>0,由零點(diǎn)存在定理得到/(X)零點(diǎn)在(1,2)上.

故選：B.

6.正方體ABCO-AgCQ的棱長為小AM=^MCi,N為8田的中點(diǎn)，則IMM=()

?√6√150向√15

A.aOβ.ciC-.-----ciLn).-----ci

6663

【正確答案】C

【分析】利用基底向量4?,A4l分別表示出AM,AN,再根據(jù)向量減法以及向量的模的計(jì)算公式

即可解出.

【詳解】因?yàn)锳M=IMG，所以AM=；AG=；(A8+A。+M)，而N為耳8的中點(diǎn),

所以AN=A8+3N=AB+?∣網(wǎng)=A8+g∕L41.

故222

IMNl=WM=IAN-AM=∣Λβ-∣AD+^AΛ1=lia+la+J-a=^H

故選：C.

7.當(dāng)函數(shù)y=x?2'取極小值時(shí)，X的值為

11

A.B.

liτ21∏2C.In2D.-In2

【正確答案】B

【詳解】分析：對函數(shù)求導(dǎo)，由y'=2'+x?2'7"2=(l+x∕"2)?2'=0,即可得出結(jié)論.

詳解：y=2'+2??Mn=2?x∕"2)O=,

B∣J1+xlnl-O,x-———.

Inl

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，屬于基礎(chǔ)題

8.若函數(shù)/(x)=d-￡+3X在區(qū)間［ι,4］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)「的取值范圍是()

51

A.［―,+∞)B.(YO,3]C.—∞,一D.[3,?κo)

O8

【正確答案】A

【分析】由函數(shù)/(X)在區(qū)間［1,4］上單調(diào)遞減，得到不等式/(x)≤0在xe［l,4卜恒成立，再根據(jù)二次函

數(shù)根的分布，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“力=%3-a2+3》在區(qū)間［1,4］上單調(diào)遞減，

所以F(X)=3∕-2a+3≤0在xe[l,4卜恒成立,

,f(D≤O,4-Z≤0,解得∕≥U

所以即

∕,(4)≤0,51-8r≤0,O

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用二次函數(shù)根的分布求參數(shù)取值范圍，考查邏輯思維能力

和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)要充分利用二次函數(shù)的圖象特征，把恒成立問題轉(zhuǎn)化成只要研究兩個端點(diǎn)

的函數(shù)值正負(fù)問題.

9.已知函數(shù)/(X)=則y=f(χ)的圖像大致為()

In(X+1)-X'

【正確答案】B

【詳解】試題分析：設(shè)g(x)=ln(l+x)-x,則g，(X)=一卷，.?.g(χ)在(―1。上為增函數(shù),在(0,+切

上為減函數(shù)，???g(x)<g(0)=0,/(x)=I<0,得x>0或T<x<0均有f(x)<O排除選項(xiàng)A,C,

而F1中fx'+/1>+0D…?！谩逝懦鼶?綜上，符合的只有選項(xiàng)B.故

又又X)=

選B.

1、函數(shù)圖象：2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

10.已知函數(shù)/(x)=χ3-3xT,在區(qū)間［-3,2］上的最大值為M,最小值為N,則M—N=()

A.20B.18C.3D.0

【正確答案】A

【分析】求解導(dǎo)函數(shù)/'(X),從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)”x)的極大值與極小值，再計(jì)算

/(-3),/(2)的值，從而得函數(shù)/(x)的最大值與最小值，即可得答案.

【詳解】∕,(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1),令洋(X)=0,

解得X=I或X=-1,當(dāng)一3<x<-l和l<x<2時(shí)，>0；

當(dāng)-ICX<1時(shí)，∕,(x)<0,

所以函數(shù)“X)在(-3,-1)和(1,2)上單調(diào)遞增，在(TI)上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)〃x)的極大值為/(-1)=1,極小值為/⑴=-3,

X∕(-3)=(-3)3-3×(-3)-l=-19,/(2)=23-3X2-1=1,

所以M=l,N=—19,.?.M-N=20.

故選：A

11.如圖所示，已知正方體ABCO-AgGD,E,尸分別是正方形AfC。和AD2A的中心，則石尸

和Co所成的角是()

C.30°D.135°

【正確答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,令正方體的棱長為2,則磯1,1,2),尸(1,0,1),D(0,0,0),C(0,2,0),

所以比=(0,T,T),DC=(0,2,0),

?EF-DC?241

設(shè)石產(chǎn)和Co所成的角為α,則COSa=

∣EF∣?∣DC∣^2√2-2

12.已知函數(shù)"x)=e%x-l),若關(guān)于X的方程∣∕(x)-4+∣∕(x)-a-1∣=1有且僅有兩個不同的整數(shù)

解，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

--l,-?-l23_T二-2,二

A.B.C.D.

ee-~2ee

【正確答案】A

【分析】考慮了(x)與。和4+1的關(guān)系，去掉絕對值號后可得"≤/(X)≤。+1,然后再通過導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)/(X)的圖象，結(jié)合圖象可得所求結(jié)果.

【詳解】方程∣∕(x)-4+∣∕(x)-α-l∣=l等價(jià)于

f(x)≤a∣”∕(x)≤α+l[f(x)>a+?

"3)-∕(x)+α+l=產(chǎn)[/(x)-"(x)+α+l=產(chǎn)L(X)-α+f(x)-aT=l

/(x)<a[a<f(x)<a+?[f(x)>a+?

即

/(?)=a[1=1["x)=α+l

所以"≤∕(x)≤q+l.

V∕(A-)=et(x-l),

.?.∕,(x)=e'(x-l)+er=xe',

.?.當(dāng)x<0時(shí)，∕,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，/^x)>O,/(x)單調(diào)遞增.

.?.當(dāng)x=0時(shí)，/(x)取得最小值，且/(x)mta=∕(0)=T?

畫出函數(shù)〃x)的圖象，如下圖所示：

由圖象可得，要使關(guān)于X的方程∣∕(x)-α∣+∣∕(X)-α-l∣=l有且僅有兩個不同的整數(shù)解,

即關(guān)于X的不等式組"M∕(x)≤α+1有且僅有兩個不同的整數(shù)解,

23

只需/(T)≤α+l<∕J2),即-j≤α+i<-],

23

解得——?≤a<---↑

ee~f

.?.實(shí)數(shù)”的取值范圍是-2-i,-W-i)?

Lee-)

故選：A.

二、填空題

13.已知復(fù)數(shù)4=2+3,?=2-i,若團(tuán)<㈤，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為.

【正確答案】(-1,1)

【分析】先求出兩個復(fù)數(shù)的模，再根據(jù)㈤<目|即可得解.

【詳解】由Z∣=2+αi,Z2=2-i,

得IZll=J4+〃、㈤=有>

因?yàn)镮ZlICIZ2∣,

所以J4+/解得T<α<l,

所以實(shí)數(shù)?的取值范圍為.

故答案為.(-1,1)

14.三個人踢健子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過3次傳遞后，鍵子又被踢

回給甲，則不同的傳遞方式共有種.

【正確答案】2

【分析】利用列舉法求解.

【詳解】解：傳遞方式有：甲乙丙甲，甲丙乙甲，共2種，

故2

γ

15.已知函數(shù)/(x)=j,在下列命題中，其中正確命題的序號有.

①曲線y=∕(χ)必存在一條與X軸平行的切線；

②函數(shù)y=∕(χ)有且僅有一個極大值，沒有極小值；

③若方程/(x)-α=O有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是(-∞3}

④對任意的xeR,不等式/(x)<g恒成立；

⑤若“40或，則*,??w(0,y),使不等式/(X)Na的解集恰為[X∣,Λ2].

【正確答案】①②④⑤

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，令r(χ)=o判斷①；利用極大值和極小值的定義求解判斷②；作出函數(shù)/(χ)

的圖象判斷③④⑤.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)“X)=/,

所以r(χ)=二，令rα)=o,得X=1,故①正確；

當(dāng)x<l時(shí)，f↑x)>O,/(x)遞增；當(dāng)x>l時(shí)，∕,(x)<0,f(x)遞減，

所以當(dāng)X=I時(shí)，/(X)取得極大值!，無極小值，故②正確；

作出函數(shù)f(χ)的圖象如圖所示：

由圖象知：當(dāng)時(shí)，方程/(x)-α=0有兩個不同的實(shí)根，故③錯誤；

對任意的XeR,/(x)≤J<g,故④正確；

e2

當(dāng)ae(0,馬時(shí)，肛,x,eR?,使不等式”x)≥”的解集恰為[玉闖，故⑤正確.

2e

故①②④⑤

16.已知函數(shù)4r)="eχ-2x—2α,且“G[l,2],設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間[O,In2]上的最小值為機(jī)，則機(jī)

的取值范圍是.

【正確答案】[-2,-2ln2J

【分析】先根據(jù)兀0是關(guān)于4的一次函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)單調(diào)性得函數(shù),穴好最小值為M(X)=2(eχ-2)

-2x,再求M(X)的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)性，進(jìn)而確定M(X)值域，

即為實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

【詳解】g(a)=?Λx)="(eχ-2)—2X是關(guān)于α的一次函數(shù)，?.?χC[0,In2],Λeχ-2<0,即y=g(α)是減

函數(shù)，

Va∈[l,2],

，g(a)min=2(ex—2)—2x,設(shè)Λ∕(x)=2(eχ-2)—2x,

則ΛΓ(x)=2eχ一2,Vx∈[O,In2],.,.M'(x)≥0,則M(X)在[0,In2J上為增函數(shù)，.?.M(x)n?=M(O)=

—2,Λ∕(x)∣mx=M(ln2)=-21n2,的取值范圍是[―2,—21n2J.

利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用r（χ）=o得可疑最值點(diǎn)，如導(dǎo)函數(shù)不變號，則根

據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最值點(diǎn)在對應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)取得；第二步：比較極值同端點(diǎn)值的大小.

三、解答題

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD,底面ABCf）是邊長為2的正方形，PD=DC,

F,G分別是PB,AQ的中點(diǎn).

⑴求證：GFJL平面PCB；

⑵在4P上是否存在一點(diǎn)M,使得。M與PC所成角為60。？若存在，求出M點(diǎn)的位置，若不存在,

請說明理由.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵在AP上存在一點(diǎn)M,點(diǎn)M為AP中點(diǎn)，使得。M與PC所成角為60。

【分析】（1）以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，建立平面PBC的法向量〃，證

得GFHn,即GFL平面PCB;

（2）設(shè)AM=2AP（4>O）,求得點(diǎn)M坐標(biāo)表示，使用空間向量數(shù)量積公式，求得/1的值，即得到點(diǎn)

M的坐標(biāo).

【詳解】（1）以。為原點(diǎn)，DA,DC、OP分別為x、y、Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則G(l,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),F(Ll,1),

ΛGF=(0,1,1),PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2),

設(shè)平面PCB的法向量為"=(χ,y,z),

∕7?PB=02x+2y-2z=0

則,即2y-=0'令…，則H,z=l,π=(0,1,1),

n-PC=02z

G尸〃〃，故G尸，平面PC8.

(2)設(shè)AM=；IAP(O4/141),則"(2-2∕l,0,2∕l),ΛDM=(2-2A,0,2Λ),

；OM與PC所成角為60。，PC=(0,2,-2),

-".cos60o=ICOS(DΛ∕,PC)∣=X=廣［二=----，解得4=：,

1ZI2

??DM?-?PC?λ∕(2-2Λ)+4Γ×2√22

故在AP上存在一點(diǎn)M,點(diǎn)M為AP中點(diǎn)，使得。M與Pe所成角為60。.

18.已知函數(shù)/(x)=XlnX

⑴求”x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

⑵若對任意XG(O〃》"='?。簧?成立,求實(shí)數(shù)機(jī)的最大值.

【正確答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是(5+/),單調(diào)減區(qū)間是(().極小值/(J=T,無極大值

(2)4

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可求出極值;

(2)對任意x∈(0,田］,f(χ)2士笠口成立，即,*≤辿亨*恒成立，構(gòu)造函數(shù)

g(%)=2Xln72+3(χ>0),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的最小值即可得解.

【詳解】(1)?∕(x)=xlnx(x>0),得洋(X)=I+lnx,

令秋χ)>o,得χ>%令r(χ)<0,得0<x<∕,

.?.”力的單調(diào)增區(qū)間是*+8),單調(diào)減區(qū)間是(θ,J),

故/(χ)在χ=g處有極小值無極大值；

(2)由/(χ)≥*+3及〃X)=XlnX,得〃7≤濁字*恒成立，

令g(x)=2xlnx：f+3(x>0),則g,(x)=2x*2—3,

由g'(x)>O=>%>l,由g'(x)vθnθvx<l,

所以g(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+8)上是增函數(shù)，

所以g(x)n?=g(l)=4,

因此加44,所以，徵的最大值是4.

19.如圖，在四棱錐P-ABeD中，底面ABCD是邊長為2石的菱形，NaW=60°,PD，平面A8C。,

PD=2√3,E是棱PQ上的一個點(diǎn)，OE=2叵，F(xiàn)為PC的中點(diǎn).

3

(1)證明：BF//^ACEi

(2)求直線■與平面ACE所成角的正弦值.

AB

【正確答案】(1)見解析(2)Sine=叵

26

【詳解】試題分析：(1)連接8￡),取PE的中點(diǎn)G,所以O(shè)E//BG,所以BG//平面AEC,尸G〃平

面AEC,所以平面BGF〃平面AEC,所以5尸〃平面AEC；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AeE

的法向量，求得線面夾角的正弦值.

試題解析：

(1)證明：連接3￡),設(shè)BDCAC=O,取PE的中點(diǎn)G,連接8G,OE,尸G,

在ABr)C中，因?yàn)椤?E分別為BQDG的中點(diǎn)，所以O(shè)E//BG,

又3G<Z平面AfC,所以BG〃平面A￡C,

同理，在APEC中，F(xiàn)G"CE,FG"平面AEC,

BG,尸GU平面BGF,BGCFG=G

所以平面BGFH平面AEC

因?yàn)锽FU平面AEC,所以BF〃平面AEC.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以03,0C所在的直線為χ,y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-wz,

在等邊三角形ABD中，因?yàn)锳3=2√5,所以0A=3,0B=√L

/A、(C3

因此4(0,-3,0),40,3,0),芯-百,0,學(xué)7,P(-√3,O,2√3),F-^-,j,√3

且EC=√3,3,-^,OC=(0,3,0),AR=-?,p√3

\/\

設(shè)平面ACE的一個法向量為〃=(χ,y,z),

則卜二「U」?、且唬ざ?取χ=2,得,=(2,0,3),

"=。3尸0

直線AF與平面ACE所成的角為θ,

∣n?ΛF∣∣-√3÷3√3∣

則2同網(wǎng)

λ^^+7+326

20.設(shè)函數(shù)/(x)=[0x2-(4z+l)x+4Λ+3]e*.

(1)若曲線y=∕(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與X軸平行，求〃；

(2)若f(x)在x=2處取得極小值，求。的取值范圍.

【正確答案】(1)1(2)∣+∞

【詳解】分析：(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)廣⑴=。得。；(2)先求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：?,2；再分類討論,

根據(jù)是否滿足f(x)在42處取得極小值，進(jìn)行取舍，最后可得。的取值范圍.

詳解：解:(I)因?yàn)镕(X)=畫一(4α+l)x+4α+3]e),

所以廠(無)=\_2ax-(4α+l)]ex+[0r2-(4〃+1)x+44+3]ex(x∈R)

=[αr2-(2a+1)x+2]ex.

/(D=(IY)e.

由題設(shè)知/⑴=0,即(l-α)e=0,解得α=l.

此時(shí)f(l)=3e∕).

所以”的值為1.

(II)由(I)得廣(X)=[αx2-(24+l)x+2]ex=(ax-l)(x-2)ex.

若a>[,則當(dāng)XG(L2)時(shí)，/(x)<0；

2a

當(dāng)XC(2,+oo)時(shí)，f'(x)>0.

所以f(x)<0在Λ-2處取得極小值.

若aS；,則當(dāng)Xe(0,2)時(shí)，JC-2<0,^x-l<yx-l<0,

所以f(x)>0.

所以2不是/(x)的極小值點(diǎn).

綜上可知，”的取值范圍是(；，+∞).

點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以

平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而

和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.

21.(2017新課標(biāo)全國In理科)如圖，四面體ABCD中，AABC是正三角形，AACO是直角三角形，

NABD=NCBD,AB=BD.

(1)證明：平面AC。，平面A8C；

(2)過AC的平面交8。于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABC。分成體積相等的兩部分，求二面角

D-AE-C的余弦值.

【正確答案】(1)見解析；(2)立.

7

【詳解】試題分析：(1)利用題意證得二面角的平面角為90。，則可得到面面垂直；

(2)利用題意求得兩個半平面的法向量，然后利用二面角的夾角公式可求得二面角

Q-AE-C的余弦值為9.

試題解析：(1)由題設(shè)可得，AAB的ACBD,從而Az)=DC.

又ACo是直角三角形，所以ZAr>C=9()。.

取AC的中點(diǎn)。，連接則DOLAC,DO=AO.

又由于ABC是正三角形，故3。1AC

所以ND。B為二面角D-AC-B的平面角.

在mAO3中，BO2+AO2AB2.

又AB=BD,所以BO?+2=BO2+AO2=AB2=BD1,

故NOOB=90.

所以平面ACQJ_平面ABC.

(2)由題設(shè)及(1)知，OAOB,OD兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04的方向?yàn)閄軸正方

向，|。Al為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-肛z.則

A(l,0,0),β(0,√3,0),C(-l,0,0),D(0,0,l).

由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCO的體積的果從而E到平面4BC的距離

為Q到平面ABC的距離的果即E為02的中點(diǎn)，得0°岑』.

/31

故A。=(TO,l),AC=(-2,0,0),AE=.

k>

-x+z=0,

設(shè)"=(x,Mz)是平面OAE的法向量，則〃,程U'即√31λ

n?AE=O,-χ+——y+-z=O.

22

可取〃∏,ι

m`AC-0,同理可取機(jī)(

設(shè)m是平面AEC的法向量，則,=0,-1,

in?AE=0,

則c°K"㈤=編=￥

所以二面角ZXAE-C的余弦值為日.

【名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二

面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.

(2)設(shè)m,n分別為平面ɑ,少的法向量，則二面角，與〈孫”〉互補(bǔ)或相等，故有

ICOSel=ICOSm,"I=編.求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

22.已知函數(shù)f(x)=(X-2)e*+α(x-1)?有兩個零點(diǎn).

(I)求a的取值范圍；

(II)設(shè)X1,X2是/(x)的兩個零點(diǎn)，證明.x∣+W<2

【正確答案】(I