數(shù)列不等式的常用放縮方法技巧(含答案)

證明數(shù)列不等式的常用放縮方法技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：⑴添加或舍去一些項，如：；⑵將分子或分母放大〔或縮小〕⑶利用根本不等式，如：；⑷二項式放縮:,,(5)利用常用結論：Ⅰ.的放縮：Ⅱ.的放縮(1)：〔程度大〕Ⅲ.的放縮(2)：〔程度小〕Ⅳ.的放縮(3)：〔程度更小〕Ⅴ.分式放縮還可利用真〔假〕分數(shù)的性質:和記憶口訣“小者小,大者大”。解釋:看b,假設b小,那么不等號是小于號,反之亦然.Ⅵ.構造函數(shù)法構造單調函數(shù)實現(xiàn)放縮。例：，從而實現(xiàn)利用函數(shù)單調性質的放縮：。先放縮再求和〔一〕放縮后裂項相消例1．數(shù)列，，其前項和為，求證：解：令，的前項和為當時，點評:此題是放縮后迭加。放縮的方法是加上或減去一個常數(shù)，也是常用的放縮手法。值得注意的是假設從第二項開始放大，得不到證題結論，前三項不變，從第四項開始放大，命題才得證，這就需要嘗試和創(chuàng)新的精神?！捕撤趴s后轉化為等比數(shù)列。例2.滿足：用數(shù)學歸納法證明：，求證：解：(1)略(2)又，迭乘得：點評：把握“”這一特征對“”進行變形，然后去掉一個正項，遞推關系放縮，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項或者用數(shù)學歸納法，似乎是不可能的,為什么？值得體味！三、裂項放縮例3.(1)求的值;(2)求證:.解析:(1)因為,所以(2)因為,所以奇巧積累：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)例6.(1)求證:(2)求證:(3)求證:(4)求證：解析:(1)因為,所以(2)(3)先運用分式放縮法證明出,再結合進行裂項,最后就可以得到答案(4)首先,所以容易經(jīng)過裂項得到再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以例7.求證:解析:一方面:因為,所以另一方面:當時,,當時,,當時,,所以綜上有例8.,,求證:.解析:所以從而四、分式放縮姐妹不等式:和記憶口訣”小者小,大者大”解釋:看b,假設b小,那么不等號是小于號,反之亦然.例9.姐妹不等式:和也可以表示成為和解析:利用假分數(shù)的一個性質可得即例10.證明:解析:運用兩次次分式放縮:(加1)(加2)相乘,可以得到:所以有五、均值不等式放縮例11.設求證解析:此數(shù)列的通項為，，即注：=1\*GB3①應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，假設放成那么得，就放過“度”了！=2\*GB3②根據(jù)所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這里其中，等的各式及其變式公式均可供選用。例11.函數(shù)，a>0,ba.0,假設，且在[0，1]上的最大值為，求證：解析:例12.求證:解析:一方面:(法二)另一方面:六、二項式放縮,,例13.設，求證.解析:觀察的結構，注意到，展開得，即，得證.例14.,試證明：.解析:,從而,一方面,另一方面所以,所以,綜上有.例15.求證：簡證如下：利用二項展開式進行局部放縮：只取前兩項有對通項作如下放縮：故有例16.求證:.解析:參見上面的方法,希望讀者自己嘗試!)七、局部放縮(尾式放縮)例17.求證:解析:例18.設求證：解析:又〔只將其中一個變成，進行局部放縮〕，，于是例19.設數(shù)列滿足，當時證明對所有有；解析:用數(shù)學歸納法：當時顯然成立，假設當時成立即，那么當時，成立。利用上述局部放縮的結論來放縮通項，可得注：上述證明用到局部放縮，當然根據(jù)不等式的性質也可以整體放縮：；證明就直接使用了局部放縮的結論八、數(shù)列遞推關系放縮例20.假設,求證:解析:所以就有例21.求證:解析:設那么,從而,相加后就可以得到所以例22.求證:解析:設那么,從而,相加后就可以得到九、函數(shù)放縮例23.求證：.解析:先構造函數(shù)有,從而因為所以例24.求證:(1)解析:構造函數(shù),得到,再進行裂項,求和后可以得到答案函數(shù)構造形式:,例7.求證:解析:提示:函數(shù)構造形式:例25.證明:解析:構造函數(shù),求導,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以十、分類放縮例26.求證:解析:例27.函數(shù)，假設的定義域為[－1，0]，值域也為[－1，0].假設數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，問是否存在正常數(shù)A，使得對于任意正整數(shù)都有？并證明你的結論。解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故當時,,因此，對任何常數(shù)A，設是不小于A的最小正整數(shù)，那么當時,必有.故不存在常數(shù)A使對所有的正整數(shù)恒成立.練習：1、添加或舍棄一些正項〔或負項〕 例1、求證：證明： 假設多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，到達證明的目的。此題在放縮時就舍去了，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和〔或先求和再放縮〕例2、函數(shù)f〔x〕=，求證：f〔1〕+f〔2〕+…+f〔n〕>n+.證明：由f(n)==1-得f〔1〕+f〔2〕+…+f〔n〕>.此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征,先將分子變?yōu)槌?shù)，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和.假設分子,分母如果同時存在變量時,要設法使其中之一變?yōu)槌Ａ浚质降姆趴s對于分子分母均取正值的分式。如需放大，那么只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，那么只要把分子縮小或分母放大即可。3、先放縮，后裂項〔或先裂項再放縮〕例3、an=n，求證：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))eq\f(eq\r(k),eqa\o(2,k))＜3．證明：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))=eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))＜1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(1,eq\r((k－1)k(k＋1)))＜１＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(2,eq\r((k－1)(k＋1))(eq\r(k＋1)＋eq\r(k－1)))==1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))(eq\f(1,eq\r((k－1)))－eq\f(1,eq\r((k＋1))))=1＋1＋－－eq\f(1,eq\r((n＋1)))＜2＋＜3．此題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標.4、放大或縮小“因式”；例4、數(shù)列滿足求證：證明此題通過對因式放大，而得到一個容易求和的式子，最終得出證明.5、逐項放大或縮小例5、設求證：證明：∵∴∴，∴此題利用，對中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，到達化簡的目的。6、固定一局部項，放縮另外的項；例6、求證：證明：此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。1、設為大于1的自然數(shù)，求證2、設為自然數(shù)，求證3、假設是自然數(shù)，求證證明：==注意：實際上，我們在證明的過程中，已經(jīng)得到一個更強的結論，這恰恰在一定程度上表達了放縮法的根本思想。4、求證：證明：由〔是大于2的自然數(shù)〕得5、假設a,b,c,dR+，求證：證：記m=∵a,b,c,dR+∴∴1<m<2即原式成立。6、當n>2時，求證：證：∵n>2∴∴∴n>2時,7、思路分析：對于學生來說，他們非常清楚證明此題的方向，即先放縮再求和，但是學生的問題就是放縮的誤差過大，而不能判斷是什么原因