考研數(shù)學高數(shù)沖刺?？冀Y論公式答題技巧結超贊

1．無窮?。▁(1).sinxxtanxex1ln[1x]arc1(2).11．無窮小（x(1).sinxxtanxex1ln[1x]arc1(2).1cosx2(3).(1x)a1(4).ax1xlnx(5).1n1xn(6).n1x1(7).log(1x)a0x2sinxxtan0|x|2121cosx如果limU1,limVelim(U則Vf(x)ff(x)f22直線Lykxb為函數(shù)yf(x)fxblim[f(x)和k包括6常見函數(shù)的導數(shù)(記熟后解題快(x)'2(1)'(xx)'xx(1lnx7.關于n階導數(shù)的幾個重要公式(sinx)(n)sin(xncos(xn22(cos kcos(x 2 knkx)(n2(xn(ex(ax (1 t(t(t(sinx)(n)sin(xncos(xn22(cos kcos(x 2 knkx)(n2(xn(ex(ax (1 t(t(t(1)n1(n1t[ln(t((t8.泰勒公式(用來求極限sinxx o(x6 cosx ln(1x)x 1x 1axa(a1)x2a(a1)(a2)x3o(x3(131xtanxxcotx arccosxx1x3o(x3arcsinxx1x3o(x36arctanxx o(x33tan(tanx)x2x3o(x339．重要不定積分26sin(sinx)x1x3o(x33(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tan secxdx(sin(tancos (sin(cos[1(cotx)2 dcot dxtanxC1cos2 dxtanxsecxC2 C1sin1tan2n(secd(tan(tanx)dx(tandx(tannn1(tan(sec(csc2dx(cotx)nd(cotn(cotx)dx(cotn1(cottanxdxln|cosx|cotxdxln|sinx|secxdxln|secxtanx|cscxdxln|cscxcotxtanxdxln|cosx|cotxdxln|sinx|secxdxln|secxtanx|cscxdxln|cscxcotx|(sinx)2dxx1sin2x (cox)2dxx1sin2x (tanx)2dxtanxx(cotx)2dxcotxx 1arctanxCx2 a ln|xx2a2|Cx2adx x2 ln| x arcsinxCa2axxa2x2dx a2x22 2x2a2dxaln|x2a2| a22eaxcosbxdxeaxsinbxdxa2(asinbxbcosbx)a210．它的個周期與x軸圍成的面積為把它的半個周期分成三等分,顯然2wS sinwxdxw0wS'3wsinwxdx11.定積分部（1）如果函數(shù)f（x）[-a,a]上連f(x)]dx 0(如果f(x)為奇函數(shù) aaf(x)dx [f(x)a f(x)dx(如果f(x)為偶函數(shù)0f(x)]dx 0(如果f(x)為奇函數(shù) aaf(x)dx [f(x)a f(x)dx(如果f(x)為偶函數(shù)0coskxdx0sinkxdx0(coskx)2dx(sinkx)2dx設klN,且kl,coskxsinlxdx0(4).設f(x)是以周期為T的連續(xù)函T f(x)dxf(x)dx f2Ta02T(5).特殊積f(x)dx f02e201dx (aae0 sinwtdt (p0,wp2 (p0,wp2 cos2sinxdx0(6).關于三角函數(shù)定積分簡化注意f(x)是定義在[0,1]2020f(sinx)dxf(cosx)特別 (sinx)dx (cosx)nn2200200(2)f(sinx)dxf(cosx)f(sinx)dx20特別的(sinx)dx (sinx)nn (cosx)2020f(sinx)dxf(cosx)特別 (sinx)dx (cosx)nn2200200(2)f(sinx)dxf(cosx)f(sinx)dx20特別的(sinx)dx (sinx)nn (cosx)n22000 (n為奇 (cosx)ndx (cosx)n（n(n為奇2020(4 (sinx)ndx0 (sinx)n（n202 0 (n為奇 (cosx)ndxn (cosx)（n2022 (sinx)ndx (cosx)n00n1n3n23(7 (sinx)dxn.........2(n n2n02n1n3n (n n2n20 xf(sinx)dxf(sinx2011.圖像分段的函數(shù)不一定是分段函數(shù)（分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開的曲線（如何證明一個數(shù)列是發(fā)散的？（1）只要找到的兩個子數(shù)列收斂于不同的值（2）找一個發(fā)散的子數(shù)列必記極limnnlimxlnx(4) (5)liman 函數(shù)f(x)在[a,b]有定義，且|f(x)|在[a,b]上可積，此時f(x)在[a,b]上的積分不一定列如：f(x) 15．注意若f'(a0，只能得到結論：f(x)在a點嚴格增加。即x(aa)有f(xfx(aa)有f(xf(a);但不能得到結論：f(x)在U（a,）設f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導應用：求函數(shù)f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可導的點顯然為1,2 函數(shù)取得極值的第二充分條件設f(x)在x處n階可導，且f設f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導應用：求函數(shù)f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可導的點顯然為1,2 函數(shù)取得極值的第二充分條件設f(x)在x處n階可導，且fxfxfxf(n1)()00000f(n))(20n2k且f(nx0fx)為極大0n2k且f(nx)00fx)為極小0f(x0)不是極值點0 拐點的第二充分條件設f(x)在x0處n階可導（n>2且為奇數(shù)若f''(x0)f'''(x0) (x0) (x0)則x0,fx0))為拐19.用求導法判斷數(shù)列的單調性fAn),AnI若f(x)在區(qū)間I設A2{An}則 A2 {An}注意：若f(x)在區(qū)間I則：A2n1與A2n兩數(shù)列具有相反的單調性20.題目中如果出現(xiàn)f''(x0f'(x)21．ln(x 1x2)x(x無窮小小當x00nmxmo(xn0nmo(xmo(xno(xn0nmo(xm)o(xmn(4)當mn0xmo(xn)o(xmno(xm)o(xn))無窮個無窮小之和與無窮個無窮小之積一定都是無窮小嗎？？？？？(1() n(其中nn1,2,kn,)n1n2nn!n! 反三角arctanxarctan1 t,0t2(2)arcsin(sint) t(1() n(其中nn1,2,kn,)n1n2nn!n! 反三角arctanxarctan1 t,0t2(2)arcsin(sint) t2a求A(b) |xb|dx的最小2a1 22 (b) a 4 a (x)dx2a127．lnxdx011(1x)dx (1xmnnm0011作用：x(1x)dx x(19900若f(x)在[a,bbb則f(x)dx f(ababa1bf(x)dx [f(x)f(ab2aa特別的當a0bbf(x)dxf(b001bb（2）f(x)dx [f(x)f(b200若f(x)在[a,b]上可積,則：1f(1)dx 1[f(x) f(1f(x)dx2xx0f231．f(x)f'(x)dxC232f（x）數(shù)就一定不存在f（x）的原f231．f(x)f'(x)dxC232f（x）數(shù)就一定不存在f（x）的原f(sinx)dx 200nbbxf(sinx)dxf(sin2aanbbxf(cosx)dxn2aa（2）若f(x)2bbxf(sinx)dxf(sinaanbbxf(cosx)dx2aa35．線、面積分中的對稱簡化且連續(xù)，L為x0的半個區(qū)域，則：Lf(x,y)ds2Lf(x,若f(-2Lf(x,y)ds若f(-x,y)=- I=L(xyx)ds,L為2a2xyds x2ds02L解：I I=L(xyx)ds,L為2a2xyds x2ds02L解：I=(xyx)ds2LLL22cos2ad I(xy)ds,L為xy203 L解：IL(xy)3ds=Lxds+Ly3ds000自己體會一下，為（2）對坐標的曲線A.設連續(xù)且分段光滑的平面有向曲線弧L關于y軸對稱，函數(shù)P(x,y)在L上有定且連續(xù)，L為x0的半個區(qū)域，則：若P(- LP(x,y)dx2LP(x,2若P(-x,y)=- LP(x,y)dx例 Ixy(ydxxdy),其中L為yR2x2方向為從左L解Ixyydxxdy)xydx2xydy0 x2ydy0(這要用到下面B的結論2LLLL例 I xydy,其中L為雙紐線的右半支：(x+y)=a(x-y2),x0的逆時針 2 L由于圖像關于x軸對稱，則IL(,y)在L上有定義L1L2方向相反，則：若P(- LP(x,y)dy0(上面講到的就是用的這個結論若P(-x,y)=- LP(x,y)dy2L1P(x,注意：這里的方向相反是指：關于哪個軸對稱就關于誰的方向對于關于x軸對稱的情況就不寫了，其實是一個道理！一定要把A,B好好的看看兩者之間的區(qū)別與聯(lián) ILx|y|dx,其中L為yx上從A(1,1)到B(1,1)的一段2解：L關于x軸對稱且方向相反且被積函數(shù)x|y| ILx|y|dx,其中L為yx上從A(1,1)到B(1,1)的一段2解：L關于x軸對稱且方向相反且被積函數(shù)x|y|為y的偶函數(shù)例 I dxdy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)ABCD|x||y 解：IABCD|x||y ABCD|x||y |x||y故(3)對面積的曲面設分片光滑的曲面關于yoz平面對稱，f(xy,z)在上連續(xù)，是中x0的一2f(x,y,z)ds則有：當f(-x,y,z)=-f(x,y,z)時f(x,y,z)ds=2f(x,y,當f(-x,y,z)=f(x,y,z2對于關于zox,xoy的平面對稱有類似的I(xyz)ds其中為球面x2y2z2a2上zh0<ha）的解關于yoz,xoz面對稱，故 zdsa(a2h2例 I(xyyzzx)ds,其中為zx2y2被柱面x2y22ax所截的部解關于xoz面對稱，故Izxds642(4)對坐標的曲面積設分片光滑的曲面關于yoz面對稱，函數(shù)p(x,yz)在上連續(xù)，是中x02一半當f(-x,y,z)=f(x,y,z)時f(x,y,z)dydzf(x,y,z)dydz=2f(x,y,當f(-x,y,z)=-f(x,y,z2I xyzdxdy其中是球面x2y2z21的外側在x0,yI xyzdxdy其中是球面x2y2z21的外側在x0,y25解關于xoy面對稱，故I xyzdxdy2xyzdxdy2Ix2dydzy2dzdxz2dxdy其中為曲線弧段z=y2x0,1z繞z軸旋轉所成的旋轉曲面的非封閉側。解：顯然曲面關于yozzox面對稱，故Iz2dxdy36．輪換對稱性在積分計中的應用舉例1.設函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，D對坐標x,yf(x,y)dxdyf(y,DD例 I(3x2y)dxdy,其中D為xy2與兩坐標軸圍D解：D關于x,y具有輪換對稱性I(3x2y)dxdy=(3y2x)dxdy5(xy)dxdy5xdxdy23DxyDDD例 I(y2x2xy(y2x2)dxdy(x2y2dxdyI,故Ixy y,z)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，對坐標x,y具有輪換對稱性，則2.設函數(shù)f(x,y,z)dvf(y,x,例求(xyz)dv為x0,y y,z)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，對坐標x,y具有輪換對稱性，則2.設函數(shù)f(x,y,z)dvf(y,x,例求(xyz)dv為x0,y0,z0,x2y2z2解：由于積分區(qū)域關于x,y,z具有輪換對稱性，則：xdv=ydv(xyz)dv3zdv3求I(zx2y2)dv為zx2y2和zhh0）例解：積分區(qū)域關于x,y具有輪換對稱性I(zx2y2)dv(zy2x2)dv12zdv233.設L是xoy面上一條光滑的曲線弧，L對坐標x,y具有亂換對稱性，在L上連續(xù)，則f(x,y)dsf(y,LL22223Ix3dsL為星形線x3y3例L解：顯然L對x,y具有輪換對稱性222225121(x3y3)dsa3ds32LLLL求(x2z)dsF是圓周x2y2z2R2xyz例F解：F關于x,y,z具有輪換對稱性FFFFFF211F2y2z2)ds (xyz)ds d3333FFF4.設L是xoy面上一條光滑的或者分段光滑的有向曲線弧，L對坐標x,y具輪換對稱性，f(x,y)在Lf(x,y)dsf(y,LL或者f(xy)ds+fyx)dsLLIydxxdyL為xyR上A(R,0)到B(0,RL解：L對坐標xy具有輪換對稱性，故ydxL22IydxxdyL為xyR上A(R,0)到B(0,RL解：L對坐標xy具有輪換對稱性，故ydxL22L解：L關于xy具有輪換對稱性，則y3dxx3L,,f(x,y,z)dsf(y,x,I(x21y21z2)ds,:x2y2z224x2dsy2dsI(x21y21z2)ds(111)24 (111)1(x2y2z2)ds7 433I(axbycz)ds:x2y2z2R2xdsydsI(abc)zds1R3(ab4f(x,y,z)dydzf(y,x,I(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,為z x2I(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,為z x2(0zh)的外解關于x,y具有輪換對稱性(y(xy)dxdy所以I(x(yx)dydxIxydydzyzdzdxzxdxdy為平面xyz1位于第一掛限的解關于x,y,z具有輪換對稱性xydydzzydydxI3xydydz8 廣義的羅爾定理在區(qū)間(a,)內可導limf(x)limf則： 需要記憶的反例使得f'(f(x)|x|在x0f(x)f(x)xx在x0應用：設f(0)0,則f(x)在x0f(1cosh)f(1eh存(B)hf(2hf(h)h(C)limf(hsinh)(D)(1)若','且lim則：('(2)若',且lim特別要注意的地方f(x)為奇函數(shù)f特別要注意的地方f(x)為奇函數(shù)f(x)任意原函數(shù)F(xxf(x)為偶函數(shù)f(x)的原函數(shù)只有一個是奇函數(shù),即為0ff(x)任意原函數(shù)F(x)為周期函數(shù)f(x)T(4)f(x)以T為周期的函數(shù) f(x)dx0f(x)任意原函數(shù)F(x)以T為周0(5)函數(shù)的單調性與其原函數(shù)的單調性之間沒有邏輯上的因果關系 幾個極限之間的關系則lima1a2an1.若limann2.若limana且an則limna1a2an3.若limana且a則limnannn但要注意：若limnaa且a0，不能推出limannnn反例：an2(n為偶數(shù)3(n為奇數(shù) 函數(shù)與其反函數(shù)圖像交點問題設f(x)是增函數(shù)，其反函數(shù)為f1(x)，如果這兩個函數(shù)圖像有交點，則交點必在函數(shù)yx上設f(x)是減函數(shù)，其反函數(shù)為f1(x)，如果這兩個函數(shù)圖像有交點，則交點不一定都在函數(shù)yx上例如：yx2,43階乘不等式n!e(n)2(1)設n為自然數(shù)，則n!nne(nee 0n!e(n)2(1)設n為自然數(shù)，則n!nne(nee 0l n證明liman0(a為任意實數(shù)證明:a0a0,0 ||an|en|a|nn時|a|e0, |a|nnnliman(2)一些不常用的，可以記憶玩玩n)np1設p2且p為實常數(shù)，則n2。當n4時，n3。當n2時，則nlnn)lnn44中值定理yf(x)滿足在區(qū)間[a,yf(x)滿足在區(qū)間[a,b]上連區(qū)間(a,b)內可(3)f(a)f在區(qū)間(a,b)內至少存在一點使得f'(yf(x)在區(qū)間(a,b)內可導,limf(x)limf在區(qū)間(a,b)內至少存在一點使得f'(yf(x)滿足在區(qū)間[a,b]上連區(qū)間(a,b)內可f(b)f在區(qū)間(a,b)內至少存在一點使得f'()bf(x)及F(x)滿足在區(qū)間[a,b]上連 在區(qū)間(a,b)內至少存在一點使得f(b)f(a)f'( 45．需注意的地方1.f(x)存在原函數(shù)，但其不一定可積，例如f(x)1x(0,x2.f(x)在[ab]上可積，但f(x)46．用泰勒公式分解既約分式用泰勒公式分解既約真分式(以下只給出結P(x)是既約真分式，Q(x)在復數(shù)范圍內可以分解為(x(xa)n(x ,12r12r其能唯一分解bbbbb2bn1 ]]11222n)n2 (x(x(xa (xa (x(xa))111222bbbbbb]46．用泰勒公式分解既約分式用泰勒公式分解既約真分式(以下只給出結P(x)是既約真分式，Q(x)在復數(shù)范圍內可以分解為(x(xa)n(x ,12r12r其能唯一分解bbbbb2bn1 ]]11222n)n2 (x(x(xa (xa (x(xa))111222bbbbbb]iiirrr](x(x(xa(x(xa)nr (xaii1rrr其中bj(i12,r;j12,n)都是待定的iif(j1)(a,且bij 設fi(x)(xa)(xa)n2(x )ni1(x (xan(jnr112r將 分成部分分式(x1)(x例解：令f(x) ,則f(1)311(x4f(x)3x,則f'(13,f(1)222x1421312 (x1)(x 4x (x x將 2x 分成部分分式x(x1)(x解：f(x) 2x ,f(0)711(x1)(x3(x)2x7f(1)f22x(x4(x)2x7f(3)f33x(x 2x =7 x(x1)(x 4(x1)12(x由此可見此法對分母都是一次時特別9x348x分成部分分例(x1)(x9x324x2解：f1(x),f1(1)(x9x324x248x,(2)24,f'(2)12,f222(xf2'''(2)3261(x1)(xx (x (x (x x47．求不定積分的幾種特殊技巧f(x)ff(x)f22af(x)為奇函數(shù)時，f(x)dxaaf(x)dx f02(1)求定積分xln(1exf(x)f(x)xex)47．求不定積分的幾種特殊技巧f(x)ff(x)f22af(x)為奇函數(shù)時，f(x)dxaaf(x)dx f02(1)求定積分xln(1exf(x)f(x)xex)xexxln(1ex1x22(x)22) x]dx 11112222xln(1e)dx xln(1e) x dx[xln(1xx22x22 28320 xdx201ln(x1x2(2)求定積1ln(x1 (xa)(bx)dx(bbaba)2(xab)2是以 解：被積函數(shù)f(x) (xa)(bx) 222bb11 為半徑的上半圓，上半圓的面積為S=r ) 22222 8b根據(jù)定積分的幾何意義 (xa)(bx)dx8(b2a2f(sin00ba2a2bbxf(x)dxfaa48矩陣積分法vi設ui(ui1(i1,函數(shù)序列一：u0,u1u2un,函數(shù)序列二：v0,v1v2,vn,一.形如48矩陣積分法vi設ui(ui1(i1,函數(shù)序列一：u0,u1u2un,函數(shù)序列二：v0,v1v2,vn,一.形如xnsinaxdx的積分函數(shù)序列一：u0xnu1nxn1,un函數(shù)序列二：vsinax,v1cosax,v(1)sin[axn01na2函數(shù)序列一和函數(shù)序列二作為矩陣的一二行，構造一個輔助矩陣，就可以方便的求得結果求(x32x3sinx32x 3x2601sin1cos11sincossin391原式(x32x31cos)(3x22)(1sin3x) cos3x)6(1sin391cos3x(x32x3)(3x22)sin3x2xcos3x sin3x2399注：按unvn1規(guī)則進行斜線相乘，每一項正負交替出二.形如xncosaxdx，xneaxdx的積分三.形如eaxsinbxdx函數(shù)序列一：u0sinbxu1bcosbxu2b2sin函數(shù)序列二：veax,v1eax,v1eax012a求e2xsin3xdx的積9sinsin3cos1e221e24e22015661即limxnlimyn對于任意數(shù)列an，若滿足anAan1A(n2,3...0k12lim即limxnlimyn對于任意數(shù)列an，若滿足anAan1A(n2,3...0k12limanAgxxagx(x)xa連續(xù)而不可導，則xa3在若g(a)若g(a)可導且導數(shù)為ga,f'(x)P(x)f(x)4、證明在存在零點，等價于證明u(x)Q(x)在a,b存在零點，其中u(x)為a,b內任意恒正的函'(x)P(x)ffu(x)eP(數(shù)。受求解一階線性方程積分因子法的啟示，取，F(xiàn)(x)eP(x)dxf(x)eP(x'y''x''y(x'2y'2(1y'2xF(r,s,16yF2(rsdxdydz7、若f(x)T為周期的周期函數(shù)，f(x)的全體原函數(shù)以T為周期的充要條件是Tf(t)dt08、若f(x)If(x)If(xf(xI 旋轉面與柱面方程1：設空間曲線x(ty(tz(t，則z軸旋xyrrxyssxyttyx(x)2(x)2(x)2(x)2y 的曲面方程為：zf(x,x(x)2(x)2(x)2(x)2y 的曲面方程為：zf(x,y)lmn則柱面方程2：準線方程為當母線的方向向量為zf(xlz,ymz)nnxfl,mn，3：若準線方程是yg(t)t()，母線的方向向量是zxf(t)面方程是yg(tzh(t)11X,YXaYba0XY1a0a,,(a,設f(x)，fxa(或xbf(xlim(xapf(xl(lim(bxpf(xlbp1且0l時，瑕積分f(x)dxa知道三邊長求面積用“海倫公式”S (pa)(pb)(pc)p,p1(ab2zf(xyr條件“z與r無關”，潛臺詞就是說zf(xyg(x,yx，yzf(xyDxy求極值（最值） 秩為1的矩陣可以化為兩個向量的積AT，為n維列向量。并且A的自A2aA，a A的行（列）向量相互垂直，且長度相同為a，B1A為正交矩a (AE)(AE)(AE)(AE)滿足交換 ABxBx0由于②的解必是方程組①的解。因此，R（②的解向量23求矩陣的n次冪可化為對角陣（可化為對角陣的矩陣）A~PnA的正負慣性指數(shù)不等于時間A、B相互獨立，A、BA、B相互獨P{a ABxBx0由于②的解必是方程組①的解。因此，R（②的解向量23求矩陣的n次冪可化為對角陣（可化為對角陣的矩陣）A~PnA的正負慣性指數(shù)不等于時間A、B相互獨立，A、BA、B相互獨P{axbF(bF(a時，在這里{}的是對稱矩陣的特征向量相互正交，Q1AQ已知A（AAAA (,,281 1 2 nnXX、Y、Y不 要求陣 的特征值由f()0確31A滿足f（A）=0，矩f(0解出來i只是確定了 矩，對的特征值為非負：陣Ax)TAx0xTATAxATA正定或半正定，A初等矩陣均是可逆的，并且有這樣的表示方法（要會寫出初等矩陣的表示11kEkE1, k ,k xpdx(a0)p>1散時發(fā)b ②反常積分a(xapdx0<p<1p≥11a、bP{YaXb證明一元函數(shù)（x）的極限不存在的一種方法：xnx0xnx0limf(xn1a、bP{YaXb證明一元函數(shù)（x）的極限不存在的一種方法：xnx0xnx0limf(xn)xnx0xnx0ynx0ynx0使得limf(xnlimfynlimf(xx對于任意數(shù)列ananan1A0<k<1liman（求解遞歸數(shù)列的極限，數(shù)列不是單調的，先求A，后證明存在40 設an1f(an)(n123),an區(qū)間I，若f（x）在區(qū)間I單調上升，并且a2)，則an單調上升（單調遞減）I單調遞減，則ana2a1f（x）在區(qū)不具有單調性（對于遞歸系列的復雜的數(shù)列，可以從遞歸函數(shù)入手，PS：先說明有界41“f（x）在xx0鄰域二階可導”換句話“f（x）在xx0（x）在（a，b）至多有nf(x)，f’(x)xTT是周期函數(shù)。只有當f(t)dt0時，f（x）T0A1,兩個矩陣相似可以推出的特征值相同，兩矩陣的特征值相同不能推出相似； 求x時的極限，通常以“抓大頭”的辦法，所謂“抓大頭”就是取分子分母中趨于最快的項（指數(shù)式>冪式>對數(shù)式）≥1時，用到代換可能成功（ D(X2Y)0X2Yc(常數(shù))2Yc, FX(x)為分布函數(shù)，考察xa點是否連續(xù)：P{Xa}P{Xa}0則連續(xù) (r) dx(r0)r的函數(shù)，稱為r10質為(r1)r(r，特別的(n FX(x)為分布函數(shù)，考察xa點是否連續(xù)：P{Xa}P{Xa}0則連續(xù) (r) dx(r0)r的函數(shù)，稱為r10質為(r1)r(r，特別的(n1) D(X)D(X)i相互立D(Xiiiiii iii f(x1,x2,x3)5x125x223x322x1x26x1x36x2x3則f(x1,x2,x3)1表示何種二次曲面？將f(x1x2x31對角化，可以得到f4y229y321，f表示橢圓A0特知y 的曲線，與軸圍成圖形的型心x,已by(bxa0abba12bb y( ay bbaF'2'2F2 對于F(x,y,z)0的隱函數(shù)的形式dSxyzdxdy|Fy' f(x,y)在公共點M0處的法向量為(fx',fy')|Mgrandf(x,y) 63 (kA)*kn1A*;(A*)*|A|n2 若A列滿秩R(AB)R(B)，R(ATA)R(A)（2012年數(shù)學一考過 q1，收斂nlnnq1q2xXxYY第三部分、考研數(shù)學42第三部分、考研數(shù)學42第第四部分、2015考研數(shù)學最?？甲钜族e的結第五部分、總結16首先對極限的 如下極限的保號性很重要1極限分為一般極限就是說在一定區(qū)間內函數(shù)的正負與極限一致（限的一種）2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了?。。。。∧氵€能有補充么1等價無窮小的轉化，（前提是必須證明拆分后極限依然存在eX次方-?；蛘撸?+x）a次方-1（等近等無全成部無熟記）x趨窮的 還原窮小2落筆 法首先他（用有嚴格的使用提！?。。。?！使必須是X趨近情況下的極限，N趨近?。。。。。。。ó斎籲趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的,接用須是無 比疑于第五部分、總結16首先對極限的 如下極限的保號性很重要1極限分為一般極限就是說在一定區(qū)間內函數(shù)的正負與極限一致（限的一種）2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！?。。?！你還能有補充么1等價無窮小的轉化，（前提是必須證明拆分后極限依然存在eX次方-。或者（1+x）a次方-1（等近等無全成部無熟記）x趨窮的 還原窮小2落筆 法首先他（用有嚴格的使用提?。。。。。∈贡仨毷荴趨近情況下的極限，N趨近！?。。。。。。ó斎籲趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的,接用須是無 比疑于找死為！?。”責o則窮大?。。。。。?當然要法能為 無分分不落比筆3候況用12比00窮無窮時直接0乘以無窮無窮減去無窮（）這樣就能變成1中的形式了。通項之后 的無窮3 的 次次方無窮的 次對于（指數(shù)冪數(shù)）0（3LNx0LNX）3泰勒公式意ex次方的時候！，尤其是含有正余旋的加減的時候要）！?。?開展開化展很開E對4的簡比展法目窮有 好的面無大上無 解辦取大頭原看上去則復雜最大項除分子分母?。。。?！處理很簡 ！?。。。。。。。。。。。。?無窮于有界函數(shù)的處理辦法法面對非常復雜的函數(shù)。可能只需要知道它的范圍結果就出來了?。?！6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限！）這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。值符號要小于1）78可等比等差數(shù)列公式應用（對付數(shù)列極限）（q絕對各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化2X0x比值地2個就如果x趨近無窮大。（22要用地 就趨重，近極限的候方時方當非于常無方窮便大不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。?！x的x次方快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于?。。。。。。。。。ǔ鏊俾实目炻齲的比值的極限一這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。值符號要小于1）78可等比等差數(shù)列公式應用（對付數(shù)列極限）（q絕對各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化2X0x比值地2個就如果x趨近無窮大。（22要用地 就趨重，近極限的候方時方當非于常無方窮便大不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。?！x的x次方快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于?。。。。。。。。。ǔ鏊俾实目炻齲的比值的極限一換元法假如要算的 四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中還有對付數(shù)列極限的一種方法，到1對付遞推的形式調數(shù)列時候有使用數(shù)界定的性單調性?。。?！限?。┲苯邮褂们髮У牧x來求極0f（x加減麼個值）f（x）有特別注意（當題目中告訴你F(0)=0時候f（0）導數(shù)表函數(shù) 還皮 質也他體的周 期性。分有復合微如他的奇偶性質函數(shù)的性質2邊的圖形一樣1奇偶性，奇函數(shù)關于原點對稱偶函數(shù)關于軸對稱偶函數(shù)左右（奇函數(shù)相加為0）2的一致關系和34他復合函數(shù)之間是還有個單調性。(（可以導的函自變量與應變量互換的再數(shù)求0的單調性和他的導數(shù)（這個性質！正負相關）而言的二斷點分為第一類 類 點1（的間斷點存在相等但是不等于函數(shù)在這點的值間斷點 震蕩間斷 或者可取這也能是有界的地（說明極限即是不存在也有可下面總結的數(shù)一極極限題型求求1分段函限當函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了?。。。。。?！XexEx負無窮結是不一樣的！?。。。。?！2極限中含它搞有變上下限的積分如何解決類？？？？把！?。〗猓。Q?。∞k！法！?。。。?求導，邊上下限積分求導，當然就能得到結果了但是！?。。。∮?個問題這不是很容易么？注意?。。。〉模。。。?被積分函數(shù)中既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？解決1下面總結的數(shù)一極極限題型求求1分段函限當函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了?。。。。。?！XexEx負無窮結是不一樣的！?。。。。?！2極限中含它搞有變上下限的積分如何解決類？？？？把！?。〗猓?！決?。∞k！法！?。。。?求導，邊上下限積分求導，當然就能得到結果了但是！?。。?！有 個問題這不是很容易么？注意?。。。〉模。。?！2被積分函數(shù)中既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？解決1的方法：就是方法2xt，把x看做常數(shù)提出來求導數(shù)！?。。。?！換元的（3候積分上定積分變化！?。。? 的 或者列分項極求和限求夾逼都不可以極限也滿足這的時候個極限的就考慮x趨近的的時候函數(shù)值，數(shù)列推當所求極 遞數(shù)列的時候定義！?。獮槭请x散的 只能用前后項的比較（前后項相除相減），數(shù)列極限是否有界可以使用歸納法 ！4分子必須是無窮小位置函數(shù)的問題例如當x0否則極限為無窮（x）比x的函數(shù)，可以消掉模些未知數(shù)，求其他的未知數(shù)5最后總結—下間斷點的題型首先遇見間斷點的問題復合函數(shù)的問題，畫圖，你能畫出反例來當然不可以了主要解決辦法是 一個是2中的反應?。。。。。。。ǎㄔ谶€相等但是卻不連續(xù)這個性質就比較特殊?。。獮橐话愕暮瘮?shù)都是連續(xù)的還有個也