人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 28.1.3 特殊角的三角函數(shù)值（分層練習(xí)）（原卷版+解析）

28.1.3特殊角的三角函數(shù)值基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題：1．下列三角函數(shù)的值是的是（

）．A． B． C． D．2．已知，則銳角α的度數(shù)是（

）A．60° B．45° C．30° D．75°3．在中，，若，則的值為（）A． B． C．2 D．4．下列各式中不成立的是（

）A． B．C． D．5．若，則的形狀是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形6．式子的值是（

）A．0 B． C．2 D．7．若菱形的周長(zhǎng)為，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

）A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1二、填空題：8．已知是銳角，，則＝______；______．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，則＝____．10．已知，則銳角________．11．計(jì)算：___________．12．﹣|tan45°﹣|＝_____．13．在中，若，則的度數(shù)為__________14．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則的正切值是______．

三、解答題：15．計(jì)算：(1)；(2)．16．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.17．已知：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，G是弧上一動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)A，C重合，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連結(jié)．，．(1)求半徑長(zhǎng)．(2)求扇形的面積．提升篇提升篇1．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD＝BC，若∠BAC＝45°，∠B＝75°，則下列等式成立的是（

）A．AB＝2CD B． C． D．2．如圖，已知點(diǎn)M，N分別是矩形邊和的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，將沿折疊，使點(diǎn)C恰好落在線段上的點(diǎn)F處，得到三角形，則的值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到矩形AB′C′D′，其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．4．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝6，將扇形AOB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，整個(gè)陰影部分的面積______．5．如圖，四邊形是正方形，以為邊向外作為上的一點(diǎn)，連接．若四邊形是菱形，則的度數(shù)為________．6．如圖，中，，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)與的圖象上，則的度數(shù)為______．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作，垂是為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B(1)求證：；(2)若，求∠ADE的度數(shù)．8．已知：如圖，在中，，cm，cm，為邊上的高，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為cm/s；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為cm/s．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)為何值時(shí)，；(2)當(dāng)中點(diǎn)在上時(shí)，求的值；(3)設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求最小值；(4)是否存在某一時(shí)刻，使得，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28.1.3特殊角的三角函數(shù)值基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題：1．下列三角函數(shù)的值是的是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．【詳解】A、＝，符合題意；B、＝，不符合題意；C、＝，不符合題意；D、＝，不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確掌握常見的特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．已知，則銳角α的度數(shù)是（

）A．60° B．45° C．30° D．75°【答案】A【分析】根據(jù)得到即可求解．【詳解】解：∵，為銳角，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答的關(guān)鍵．3．在中，，若，則的值為（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】在直角三角形中，求出的度數(shù)，即可求．【詳解】解：如圖所示，∵，，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值．4．下列各式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值，代入計(jì)算即可．【詳解】A．，此選項(xiàng)不符合題意；B．，，所以，此選項(xiàng)不符合題意；C．，，所以，此選項(xiàng)不符合題意；D．，此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確解答的前提．5．若，則的形狀是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，再由特殊角的三角函數(shù)值求出的度數(shù)，再判斷即可．【詳解】解：∵，∴，即，由特殊角的三角函數(shù)值可知此時(shí)，此時(shí)，則的形狀是鈍角三角形，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．6．式子的值是（

）A．0 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：原式=0故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．7．若菱形的周長(zhǎng)為，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

）A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【答案】D【分析】如圖，為菱形的高，，利用菱形的性質(zhì)得到，利用正弦的定義得到，則，從而得到的比值．【詳解】解：如圖，為菱形的高，，菱形的周長(zhǎng)為，，在中，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．二、填空題：8．已知是銳角，，則＝______；______．【答案】

60°##60度

##0.5【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算求值即可.【詳解】解：∵，∴，∵是銳角，∴，∴，故答案為：60°，.【點(diǎn)睛】本題考查了60°的正切和余弦，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，則＝____．【答案】##0.5【分析】利用直角三角形的兩銳角互余求得∠ABC的度數(shù)，再利用特殊角的三角函數(shù)即可求得的值．【詳解】解：依照題意畫出圖形，如圖所示．∵在Rt△ABC中，，，∴，∴．故答案為∶．【點(diǎn)睛】考查了直角三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．10．已知，則銳角________．【答案】【分析】先由變形為，即可求解．【詳解】解：，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，靈活變形，熟記公式是解題的關(guān)鍵．11．計(jì)算：___________．【答案】##0.75【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入原式，即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．12．﹣|tan45°﹣|＝_____．【答案】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的意義、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值以及絕對(duì)值的定義解答即可．【詳解】原式＝==故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．掌握零次冪，負(fù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)以及絕對(duì)值的定義是解答本題的關(guān)鍵．13．在中，若，則的度數(shù)為__________【答案】##75度【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出，，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵∴，，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則的正切值是______．

【答案】1【分析】連接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的長(zhǎng)，判斷△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．【詳解】解：連接AB，由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝，∴AB＝AO，，∴△ABO是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題：15．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)0(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．16．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.【答案】，【分析】先根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法進(jìn)行計(jì)算，最后代入求出答案即可．【詳解】解：原式∵∴原式【點(diǎn)睛】本題考查了特殊三角函數(shù)值和分式的化簡(jiǎn)與求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．17．已知：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，G是弧上一動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)A，C重合，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連結(jié)．，．(1)求半徑長(zhǎng)．(2)求扇形的面積．【答案】(1)4(2)【分析】（1）連接．設(shè)的半徑為R．在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（2）連接，根據(jù)可得，再由垂徑定理可得，根據(jù)扇形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接．設(shè)的半徑為R．∵，∴，在中，∵，∴，解得．（2）解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴∴，∴扇形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)、圓周角定理的推論和垂徑定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A周角定理的推論、垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)添加常用輔助線．提升篇提升篇1．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD＝BC，若∠BAC＝45°，∠B＝75°，則下列等式成立的是（

）A．AB＝2CD B． C． D．【答案】B【分析】連接OB、OC，過(guò)O作AB的垂線，垂足為E，交CD于點(diǎn)F．由已知可得AB∥CD，則OF⊥CD，且∠BOC=90°，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)；易證△BOE≌△OCF，從而BE與CF的關(guān)系，即可得AB與CD的關(guān)系．【詳解】如圖，連接OB、OC，過(guò)O作AB的垂線，垂足為E，交CD于點(diǎn)F．∵AD=BC，∴，∴∠ACD=∠BAC=45°．∴AB∥CD．∵OE⊥AB，∴AB=BE，OF⊥CD．∴CD=2CF．

∵∠BAC、∠BOC對(duì)著同一弧，∴∠BOC=2∠BAC=90°．∴∠EOB+∠COF=90°．∵∠EOB+∠OBE=90°，∴∠OBE=∠COF．∵∠OEB=∠CFO=90°，OB=OC，∴△BOE≌△OCF．∴OE=CF．∵OB=OC，∴∠OBC=45°．∵∠ABC=75°，∴∠OBE=∠ABC-∠OBC=30°．∴．∴．∵AB=2BE，CD=2CF，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，構(gòu)造輔助線并證明△BOE≌△OCF是問(wèn)題的關(guān)鍵．2．如圖，已知點(diǎn)M，N分別是矩形邊和的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，將沿折疊，使點(diǎn)C恰好落在線段上的點(diǎn)F處，得到三角形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證四邊形是矩形，得到，由折疊的性質(zhì)可，，，得到，可以得到，則，得，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵點(diǎn)M，N分別是矩形邊和的中點(diǎn)，∴，，∴四邊形是矩形，∴，∵沿折疊，使點(diǎn)C恰好落在線段上的點(diǎn)F處，得到三角形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到矩形AB′C′D′，其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接AC'，首先求出tan∠BAC，然后根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，最后根據(jù)S陰＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′代入數(shù)值即可求解．【詳解】連接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∵旋轉(zhuǎn)角為30°，∴A、B′、C共線．∴AC＝＝＝2，∵S陰＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S陰＝﹣＝﹣，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積，銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是要作出輔助線將陰影面積轉(zhuǎn)化成扇形面積減去三角形面積．4．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝6，將扇形AOB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，整個(gè)陰影部分的面積______．【答案】【分析】首先連接OD，由折疊的性質(zhì)，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，則可得△OBD是等邊三角形，繼而求得OC的長(zhǎng)，即可求得△OBC與△BCD的面積，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=6，即可求得扇形OAB的面積，繼而求得陰影部分面積．【詳解】解：如圖，連接OD，根據(jù)折疊的性質(zhì)，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，∴OB=OD=BD，即△OBD是等邊三角形，∴∠DBO=60°，∴∠CBO=∠DBO=30°，∵∠AOB=90°，∴OC=OB?tan∠CBO=6，∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×6×=6，S扇形AOB=π×62=9π，∴整個(gè)陰影部分的面積為：S扇形AOB-S△BDC-S△OBC=9π-6-6=9π-12，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、扇形面積公式以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．5．如圖，四邊形是正方形，以為邊向外作為上的一點(diǎn)，連接．若四邊形是菱形，則的度數(shù)為________．【答案】##15度【分析】過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，四邊形是矩形，得出，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵四邊形是正方形，∴，，如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，∴四邊形是矩形，∵四邊形是菱形，∴∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，求得是解題的關(guān)鍵．6．如圖，中，，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)與的圖象上，則的度數(shù)為______．【答案】##60度【分析】過(guò)A作軸于C，過(guò)B作軸于D，得到，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到，，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出與的比值，從而得到的值，即可得到的值【詳解】過(guò)A作軸于C，過(guò)B作軸于D，則，∵頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)與的圖象上,∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．解題時(shí)注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作，垂是為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B(1)求證：；(2)若，求∠ADE的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）易證∠ADF=∠CED和∠AFD=∠DCE，即可證明△ADF∽△DEC．（2）根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可求得CD的長(zhǎng)，根據(jù)△ADF∽△DEC可得，即可求得DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可以求得AE的長(zhǎng)，根據(jù)tan∠ADE=即可解題．(1)證明：∵平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠DCE，∴△ADF∽△DEC；(2)解：