河南省南陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期終質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題

2023年秋期高中二年級(jí)期終質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.考生做題時(shí)將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效.2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.4.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若，則（）A9 B.8 C.7 D.62.點(diǎn)為兩條直線和的交點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離最大為（）A. B. C. D.53.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）A. B. C. D.4.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4，漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A B.C. D.5.南陽市博物院為國(guó)家二級(jí)博物館，是豫西南最大的地方綜合性博物館、文化新地標(biāo)，是展示南陽悠久歷史和燦爛文化的重要窗口.南陽市博物院每周一閉館（節(jié)假日除外）.某學(xué)校計(jì)劃于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）組織高一、高二、高三年級(jí)的同學(xué)去南陽市博物院參觀研學(xué)，每天只能有一個(gè)年級(jí)參觀，其中高一年級(jí)需要連續(xù)兩天，高二、高三年級(jí)各需要一天，則不同的方案有（）A.20種 B.50種 C.60種 D.100種6.若橢圓和雙曲線的共同焦點(diǎn)為，，是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的面積值為（）A.4 B.8 C.12 D.167.已知過點(diǎn)且法向量為的平面的方程為.若平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.8.在正方體中，點(diǎn)在底面所在的平面上運(yùn)動(dòng).下列說法不正確的是（）A.若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為一條直線B.若，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓C.若點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離比為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓D.若點(diǎn)到直線的距離與到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.10.下列說法不正確的是（）A.過點(diǎn)且在，軸上的截距相等的直線方程為B.過點(diǎn)與圓相切的直線有兩條C.若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則展開式共有7項(xiàng)D設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則11.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.第2023行中從左往右第1011個(gè)數(shù)與第1012個(gè)數(shù)相等C.記第行的第個(gè)數(shù)為，則D.第20行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為12.已知拋物線：的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過的直線交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于弦的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最小值為2C.的面積為定值D.若在軸上，則為直角三角形第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.（寫出一個(gè)即可）14.已知，且，記隨機(jī)變量為，，中的最小值，則______.15.南陽素有“月季花城”的美譽(yù)，是“中國(guó)月季之鄉(xiāng)”和世界月季名城.某社區(qū)對(duì)一個(gè)街心公園進(jìn)行改造，在公園中央有一個(gè)正方形區(qū)域如圖示，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)對(duì)該區(qū)域種植月季，有5種不同的月季可供選擇，要求相鄰區(qū)域種植的月季不同.在所有的種植方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到四種月季的概率是______.16.已知橢圓：，經(jīng)過原點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn).是上異于、的一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且.若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率______.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在下列所給的兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.①與直線垂直；②一個(gè)方向向量為；問題：已知直線過點(diǎn)，且______.（1）求直線的一般式方程；（2）若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng).18.一個(gè)袋子里放有除顏色外完全相同2個(gè)白球、3個(gè)黑球.（1）采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)小球，求兩個(gè)小球顏色不同的概率；（2）采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)小球，求在第1次摸到的是黑球的條件下，第2次摸到的是黑球的概率.19.已知平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，.（1）求對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）求直線與所成角的余弦值.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，且經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若以為直徑圓過點(diǎn)，求證直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).21.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到面的距離；（3）求平面與平面的夾角的余弦值.22.某省年開始將全面實(shí)施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級(jí)統(tǒng)一考試，并對(duì)思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分．（1）某校生物學(xué)科獲得等級(jí)的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：原始分9190898887858382轉(zhuǎn)換分10099979594918886人數(shù)11212111現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則，