函數(shù)凸性與曲線拐點(diǎn)

§2.10函數(shù)的凸性與曲線的拐點(diǎn)問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?一、函數(shù)凸性的定義點(diǎn)間的弧段，總位于連接這兩點(diǎn)的弦之上，則稱設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若曲線y=f(x)上的任意兩點(diǎn)間的弧段,總是位于連接這兩點(diǎn)的弦之下,則稱函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)為下凸；若曲線y=f(x)上任意兩函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)為上凸;

函數(shù)下凸或上凸的性質(zhì)統(tǒng)稱為函數(shù)的凸性.定義：凸有時(shí)也用這兩個(gè)不等式來(lái)定義函數(shù)上凸、下凸.下凸上凸上凸琴生不等式例1解注意到:2.拐點(diǎn)的求法數(shù),則點(diǎn)是拐點(diǎn)的必要條件是定理2

如果)(xf在內(nèi)存在二階導(dǎo)注意:例2解綜上所述可歸納出求曲線拐點(diǎn)的步驟：例3解下凸上凸下凸拐點(diǎn)拐點(diǎn)例4解解函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞）.下凸非拐點(diǎn)下凸拐點(diǎn)上凸+不存在+0-0yxxyo拐點(diǎn)§2-11函數(shù)作圖一、漸近線定義:.一條漸近線,的距離到某定直線如果點(diǎn)移向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)LP)(,的就稱為曲線那么直線趨向于零xfyL=)(沿著曲線上的一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)曲線Pxfy=1.鉛直漸近線例如有鉛直漸近線兩條:2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:3.斜漸近線其中：記住公式直線y=ax+b是曲線y=f(x)當(dāng)x→±∞時(shí)的證由函數(shù)的極限與無(wú)窮小的關(guān)系可得：同理可證x→-∞時(shí)的情況.漸近線的充要條件是：注意:例1解二、圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形的步驟：域內(nèi)的全部實(shí)根，用這些根同函數(shù)的間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間.偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討論,確定函數(shù))(xfy=的定義域,對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇1.和二階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)

求出方程在函數(shù)定義2.號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的曲線上的點(diǎn)，有時(shí)還需要補(bǔ)充一些點(diǎn)，再綜凸性與拐點(diǎn)（可列表進(jìn)行討論）；

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線4.合前四步討論的結(jié)果畫出函數(shù)的圖形.

3.確定在這些部分區(qū)間內(nèi)的符5.以及其他變化趨勢(shì);描出與方程的根對(duì)應(yīng)的