高等數(shù)學公式大全與常見函數(shù)圖像

1、導數(shù)公式:(tgx)sec2 x(ctgx) csc2 x (secx)secx tgx(cscx) cscx ctgx (ax)axlnaZl 、1(log a x) xlna基本積分表:tgxdxIn cosctgxdxIn sinxsecxdxIn secxtgxcscxdxIn cscx高等數(shù)學公式dx2- cos xdx_._2 sin xctgx Cdx2 xdx2 a-arctg Ca-lln 2adx22a xdx22a x. x arcsin一 aIn2sin xdxo2_2_,x a dxdx三角函數(shù)的有理式積分:- 2usin x r,1 u2cosx2幺2， ucoso

2、xdx(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx C xaxdx a C In ashxdx chx Cchxdx shx CdxInln( x . x2 a2) C2 a ln( x22 a 一In x.x2 a2) C22 a . x 一arcsin - Cdx2du1 u2.下載可編輯一些初等函數(shù):兩個重要極限:雙曲正弦：shx雙曲余弦：chx雙曲正切：thxlimx 0sin x2shx exlim (1 1)x x xe 2.71

3、8281828459045x xchx e earshx ln(x x2 1)archxln(xx2 1)1 . 1 xarthxIn2 1 x三角函數(shù)公式:誘導公式：和差角公式:sin()sin coscos sincos()cos cossin sintg()tg tg1 tg tg)ctg ctg 1ctg ctgsinsin2 sincos22sinsin2 cos-sin22coscos2 coscos22和差化積公式:cos cos 2 sinsin22F'j!數(shù) 角A、sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90° - acosasinac

4、tgatg a900 +acosa-sina-ctga-tga180° -asina-cosa-tga-ctga180° +a-sina-cosatg actga270° -a-cosa-sinactgatg a270° +a-cosasina-ctga-tga360° -a-sinacosa-tga-ctga360° +asinacosatg actga.下載可編輯倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos2cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg22 cossin2sin3cos3tg3一.33s

5、in 4sin4coJ3cos3tg tg31 3g2.下載可編輯半角公式:1 cossin 一 22x1 cos 1 cos sintg 一2 J cos sin 1 cos1coscos2V21cos 1 cossinctg -Il .2Jcossin1 cos正弦定理：a 上 c- 2Rsin A sin B sinC余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin x - arccosx2arctgx arcctgx2高階導數(shù)公式萊布尼茲( Leibniz )公式：n (n)小女(n k) (k)(uv) Cnu v k 0 (n) (n 1) n(n 1) (n

6、 2)n(n 1) (n k 1) (n k) (k)u v nu v - u v -u v2!k!中值定理與導數(shù)應用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：上-f-(a) fq F(b) F(a) F ()當F(x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。uv(n)曲率:弧微分公式：ds Ji 丫,*,其中丫 tg平均曲率：K I一I :從M點到M點，切線斜率的傾角變 化量;s： MM弧長。M 點的曲率：K lim II II y s 01 s dsl (1 y 2)3直線：K 0;半徑為a的圓：K 1. a定積分的近似計算：b矩形法：f(x)ab梯形法

7、：f(x)ab拋物線法：f (x)aaz(V0 Vi nb a1 /-2(V0Vn)Yn)yn 1 )Vi2(V2y n 1V4Vn 2) 4( Vi V3Vn 1 )定積分應用相關公式:功：W F s水壓力：F p A引力：Fkm粵,k為引力系數(shù) r-1 b函數(shù)的平均值：v 一 f(x)dx b a a均方根：j-1- f2(t)d ,b aa空間解析幾何和向量代數(shù):空間2點的距離：d M 1M 2；(x2 x1)2 ( y2一斤一(z2 斤向量在軸上的投影：PrjuAB AB cos ,是AB與u軸的夾角。Prju(a1 a2) Prja Prja2a b a b cosaxbx ayby

8、azbz,是一個數(shù)量兩向量之間的夾角：cosaxbxaybyazbz222ax ay az,bx2by2ic a b ax bxj k ay az,c by bzaxayaz(a b) cbxbybzcxcycza b sin .例:線速度:向量的混合積：abca b c cos , 為銳角時,代表平行六面體的體積平面的方程：1、點法式：A(xXo)B(yy°)C(zz0)0,其中n A,B,C, M 0(x04。,z°)2、一般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：x y - 1abc平面外任意一點到該平面的距離：d lAx0 By0 CzD.A2 B2 C2空間

9、直線的方程:x x。my y。nz。Px Xot,其中s m,n, p;參數(shù)方程：y y0z z。mt nt Pt二次曲面:1、橢球面:2、拋物面:2 x 2 a2 x2p2 y b22 y2qz,(p,q 同號)3、雙曲面:2單葉雙曲面：今a2雙葉雙曲面：與 a2 L b22 y b22 z 2 c2 zc1(馬鞍面)多元函數(shù)微分法及應用全微分： dz dx dy x y全微分的近似計算：z dz多元復合函數(shù)的求導法：, u u udu dx dy dzx fx(x,y) xy z fy(x,y) yzfu(t),vdzz fu(x,y),v(x,y)uz v tv tz u zx當 u u

10、(x,y), v v(x,y)時，, u . u .du dx dydvdxxdyy隱函數(shù)的求導公式:隱函數(shù)F(x,y) 0,dy dxFyd2y dx2FxF?)十 一 ( yFx) dyFy，dx隱函數(shù) F(x,y,z) 0,FyFz隱函數(shù)方程組：F(x，y，u，v)G(x, y,u,v)(F,G)(u,v)F,GF,G1 J1 J(F,G) (x,v) (F,G) (y,v)1 J1 J(F,G)(u,x)(F,G)(u,y)微分法在幾何上的應用:x空間曲線yz(t)在點M (x0, y0,z0)處的切線方程: x x0(t0)yo(t0)zz0(t0)在點M處的法平面方程:(t

11、6;)(x x°)(t°)(yy0)(to)(z zo)若空間曲線方程為："""0,則切向量T G(x,y,z) 0曲面 F(x, y,z) 0上一點 M (x0,y0,zO),則：FzFxGz'GzGx Gx1、2、過此點的法向量：n Fx(x0, y0,z0), Fy(x0, y。,。), Fz(x°, y°,。) 過此點的切平面方程 ：Fx(x0, y0,zO)(x x°) Fy (x0, y0,zO)( y y°)3、過此點的法線方程:x X0yy0z z0方向?qū)?shù)與梯度:Fz(xo, y

12、o, zo)(z zo) 0Fx(x0, y0,。)Fy(x0,y0,z°)Fz(x0, y0,z°)函數(shù)z f (x,y)在一點p(x, y)沿*方向l的方向?qū)?shù)為： cos sin l xy其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。函數(shù) z f (x, y)在一點 p(x, y)的梯度：gradf (x, y) f-i f- j x y它與方向?qū)?shù)的關系是：一f_ grad f (x, y) e,其中e cos i sin j,為l方向上的單位向量。f是gradf (x, y)在l上的投影。多元函數(shù)的極值及其求法：設fx(xo,yo)fy(xo,yo) 0,令：fxx(xo,yo) A

13、, fxy(xo, yo) B, fyy(x°,yo) CAC B2則：AC B2AC B2A 0,(x0, y。)為極大值0A 0,(x0,y0)為極小值0時，無極值0日t,不確定重積分及其應用:f(x,y)dxdyDf (r cos , rsin )rdrdD2曲面z f(x,y)的面積A 1d ：xy2dxdy平面薄片的重心x (x, y)dx Mx _DM (x,y)dDMyy (x, y)dD(x,y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸Ix y2 (x,y)d , 對于y軸IyD平面薄片(位于 xo產(chǎn)面)對 殍由上質(zhì)點M(0,0,a),(a 0)的引力：F2,、，x (x,

14、y)dDFx,Fy,Fz，其中:Fx f D / 2 (x(x, y)xd3, a2)"匚 (x, y) yd(x,y)xdFy f31Fzfa3D , 222 2d , 222 G(x y a )(x ya)柱面坐標和球面坐標:x r cos柱面坐標：y r sinf (x, y, z)dxdydzF(r, ,z)rdrd dz,其中： F(r, ,z) f (r cos , rsin ,z)x rsin cosdv rd r sin,2 .1,d dr r sin drd d球面坐標： y r sin sin ,z r cosf (x, y, z)dxdydzF(r,)r2sin

15、 drd重心：xx dv,y dv2r(,)d d d F(r, , )r2sin dr000z z dv,其中 M xMdv轉(zhuǎn)動慣量:Ix(y2z2)dv,(x2 z2) dv,Iz (x2 y2) dv曲線積分: 第一類曲線積分(對弧 長的曲線積分)：設f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：x (t)，則:y (t)f (x, y)dsL特殊情況:-22f (t), (t)-.(t) (t)dt (第二類曲線積分(對坐x設L的參數(shù)方程為y標的曲線積分)：二1則：P(x,y)dx Q(x, y)dyL兩類曲線積分之間的關P (t),(t)(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLQ

16、dy(Pcos QcosL)ds其中和分別為L上積分起止點處切向量 的方向角。Q P格林公式：(一 一)dxdy Pdx d x yl當P y,Q x, IP: 2時， x y平面上曲線積分與路徑無關的條件:1、G是一個單連通區(qū)域；Qdy格林公式：(-Q D x得到D的面積：A2、P(x,y), Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)減去對此奇點的積分，注意方向相反! 二元函數(shù)的全微分求積：在工xu(x, y)Px一時,Pdx y(x.y)P(x,y)dx(Xo,y0)曲面積分:對面積的曲面積分:對坐標的曲面積分:R(x,y,z)dxdyDxyP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx)d

17、xdyydxdyD1O2l:Pdx QdyLxdy ydx,且-Q = -P。注意奇點，如(0,0),應 x yQdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中:Q(x, y)dy,通常設 x0 y0 0。f(x,y,z)dsfx,y,z(x,y)J z2(x, y) z2(x,y)dxdyDxyP(x,y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：Rx, y,z(x,y)dxdyPx(y,z), y, zdydzDyzQx, y(z,x),zdzdxDzx取曲面的上側(cè)時取正號;取曲面的前側(cè)時取正號;取曲面的右側(cè)時取正號。兩類曲面積分之間的關系：Pdydz Qdz

18、dx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:/ pQR、z( )dv xyz高斯公式的物理意義散度：div通量：A ndsAnds(Pcos QcosRcos)ds,因此，高斯公式又可寫 成：divAdvAnds斯托克斯公式-(R Q y z曲線積分與曲面積分的關系:)dydzP R( )dzdxz xQ( xP、，)dxdy y:PdxQdy Rdz旋度：rotAdydz dzdx dxdycos cos cosxyzxyzPQRPQR關的條件：_R -_P_R_Q _yzz xx上式左端又可寫成:P空間曲線積分與路徑無k向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量:。Pdx Qdy

19、Rdz - A tdsPdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds一通量與散度：-R,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生 的流體質(zhì)量，若div 0,則為消失z等比數(shù)列：1常數(shù)項級數(shù)1 q等差數(shù)列：11)n2調(diào)和級數(shù)：1級數(shù)審斂法:1、正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判別法）：1時，級數(shù)收斂設： l/mn.U，則1時，級數(shù)發(fā)散01時，不確定2、比值審斂法：1時，級數(shù)收斂設： 1防引，則 1時，級數(shù)發(fā)散 n UUn1時，不確定3、定義法：sn u1 u2un;1imsn存在，則收斂；否則發(fā) 散。n交錯級數(shù)u1u2u3u4（或u1u2u3,un0）的審斂法萊布尼茲定理：un un

20、1如果交錯級數(shù)滿足 ;，那么級數(shù)U斂且其和s u1,其余項rn的絕對值rn un1 lim un 0 n絕對收斂與條件收斂：u1 u2 un ,其中un為任意實數(shù)；（2）3 u2 u3un如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數(shù);如果（2）發(fā)散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：級數(shù)：p級數(shù)哥級數(shù)：1發(fā)散，而（必斂;nn4收斂；n1 y1p 1時發(fā)散np p 1時收斂|x 1時，收斂于對于級數(shù)(3)a。2&x a?x數(shù)軸上都收斂,則必存在R,求收斂半徑的方法：設lim n函數(shù)展開成哥級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):|x 1時，發(fā)散anXan 1an,如果它不是僅

21、在原點收斂，也不是在全R時收斂R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。R時不定其中an, an 1是(3)的系數(shù),0寸，R時，R 0f(X)f(X0)(X X0) flT(X X0)2(n) /T(xX0)nn!f (n 1)()余項：Rn f(-)(x x0)n 1, f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是:(n 1)!lim Rn0nX00時即為麥克勞林公式:f(0)x號x2f (n) (0) n X n!些函數(shù)展開成騫級數(shù):(1 x)mm(m 1) 21 mxx2!m(m 1) (m n 1) n ; :;Xn!(1x1)sinX x2n 1歐拉公式:ixe cosxisinxf(t)Ao其中，a

22、0An sin( nn 1aan1)n1X (2n 1)!cosx或sinxAn sin n，bnix eix eixe2ix e2(an cosnx bn sin nx)n 1An COs n，tX。正交性：1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x sin nx, cosnx 任意兩個不同項的乘積在上的積分=0。傅立葉級數(shù)：a f(x) (an cosnx bn sin nx), 周期2 n 11an 一 f (x)cosnxdx (n 0,1,2 其中,1bn f (x)sinnxdx (n 1,2,311211113T 5281 22 32 42工工工 2 1 ±

23、1 A 22 42 622422 32 422正弦級數(shù)：an 0, bn f (x)sin nxdx02余弦級數(shù)：bn 0, an 一 f (x)cosnxdx2（相力口）62（相減）12n 1,2,3 f (x) bn sin n娓奇函數(shù)n 0,1,2 f (x)曳an cosnx是偶函數(shù)2周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):a0n x n xf(x) (an cos bn sin), 周期2l2 n 1llan其中bn(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )一 f (x)cosdxl ll1n x ,一 f (x)sindxl il微分方程的相關概念：一階微分方程：y f(x, y) 或 P

24、(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy f(x)dx的形式，解法:g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫成dy f (x, y)(x,y),即寫成)的函數(shù)，解法：dxx設u則電u xdu, u包 (u),曲分離變量，積分后將衛(wèi)代替u,x dx dx dxx (u) ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程：dy P(x)y Q(x)dx當Q(x) 0時,為齊次方程,y CeP(x)dx當Q(x) 0時,為非齊次方程，y(Q(x)eP(x)dxP(x)dxdx

25、 C)e2、貝努力方程：dy P(x)y Q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程: 如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即:u_ u 一du(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy 0,其中：一 P(x, y),一 Q(x, y) xyu(x,y) C應該是該全微分方程的通解。二階微分方程：d2y dx2P(x)dx Q(x)yf (x),f(x)f(x)0時為齊次0時為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p, q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2, r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*)式中y ,y , y的系數(shù);2、求出()式的兩個根口心3、根據(jù)r1,r2的不同情況，按下表寫 出(*)式的通解:n,2的形式(*)式的通解兩個不相等實根(p2 4q 0)rixr2xyc1e1C2e2兩個相等實根(p2 4q 0)y (c1 c2x)erix一對共軻復根(p2 4q 0)1i , 2i2