2022-2023學年北師大版高一下數(shù)學：立體幾何初步（附答案解析）

2022-2023學年北師大版高一下數(shù)學：立體幾何初步

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?山西期中）下面四個幾何體中，是棱臺的是（）

2.（2020秋?陳倉區(qū)期末）下列命題中正確的是（）

A.用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺

B.兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C.棱臺的底面是兩個相似的正方形

D.棱臺的側棱延長后必交于一點

3.（2021秋?大通縣期末）當我們停放自行車時，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩(wěn)

了，這用到了（）

A.三點確定一平面

B.不共線三點確定一平面

C.兩條相交直線確定一平面

D.兩條平行直線確定一平面

4.（2021秋?工農(nóng)區(qū)校級期末）已知/,機是空間中兩條不同的直線，ɑ,β是空間中兩個不

同的平面，下列說法正確的是（）

A.若/_La,m∕∕l,w?β,W∣Ja±βB.若a“β,l∕∕a,則/〃B

C.若/_L機，ILa,a∕∕β,則機〃0D.若a_Lβ,l∕∕a,貝∣jΛLβ

5.（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）幾何體「的表面上有三條線段/8、CD、EF,有/8、CD.

EF所在直線兩兩異面，則在①棱柱；②棱錐；③圓柱；④圓錐；⑤球中，r有可能

是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.③④⑤

6.（2021秋?金山區(qū)校級期中）棱柱成為直棱柱的一個必要而不充分條件是（）

A.它的一條側棱垂直于底面

第1頁（共19頁）

B.它的一條側棱與底面兩條邊垂直

C.它的一個側面與底面都是矩形

D.它的一個側面與底面的一條邊垂直

7.（2021秋?陳倉區(qū)校級期末）如圖，在棱長為1的正方體NBCD-mBICIZ）I中，三棱錐

c,20-I

8.（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中）圓錐的軸截面為面積為2的直角三角形，則圓錐的側面積

為（）

A.4πB.4Λ∕2TTC.2πD.2y[2μ

9.（2021秋?大通縣期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

C.27D.81

10.（2020秋?興慶區(qū)校級期末）在正方體EFG"-EIFlG1為中，下列四對截面彼此平行的

是（）

A.平面El尸Gl與平面EGaB.平面"/Gi與平面BHG

C.平面FIHIE與平面FHElD.平面ElHGI與平面E，IG

二.填空題（共4小題）

11.（2021秋?南崗區(qū)校級期末）已知球的體積為36π,則該球大圓的面積等于

第2頁（共19頁）

12.（2021秋?朝陽區(qū)校級期中）芻薨，中國古代算數(shù)中的一種幾何形體，《九章算術》中記

載：“芻薯者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.“翻譯為"底面有

長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻蔑字面意思為茅草屋頂”.如圖為一個芻

費的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形，則該茅草屋頂?shù)拿娣e

13.（2021秋?寶山區(qū)校級期中）已知棱錐的高為16,底面積為256,平行于底面的截面面

積為121,則截得的棱臺的高為.

14.（2021秋?巍山縣校級期末）已知4B,C是半徑為2的球。的球面上的三個點，AB

=2,∕C=1,8C=√WP為該球面上的動點，則三棱錐尸-/8C體積的最大值為.

三.解答題（共4小題）

15.（2021秋?大通縣期末）已知圓臺的上下底面半徑分別為2,5,母線長為5.求：

（1）圓臺的高；

（2）圓臺的體積.

注：圓臺的體積公式：V=Λ（S7+√ξrW+S）b其中s,S分別為上下底面面積，h

為圓臺的高.

16.（2021秋?河南期末）如圖，在四棱錐8-/C0E中，AB=AC=√5-AE//CD,2AE=CD

=BC=2,∕4E±5F≡ABC.

（1）在線段8。上是否存在一點尸使得EF〃平面Z8C?若存在，求出尸的位置；若不

存在，請說明理由；

（2）求四棱錐8-48E的體積.

第3頁（共19頁）

17.（2021春?麗水期中）如圖，圓錐尸。的底面直徑和高均是α,過尸。上的一點。，作平行

于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱.

（1）若（7是尸。的中點，求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積和體積；

（2）當O。，為何值時，被挖去的圓柱的側面積最大？并求出這個最大值.

18.（2021秋?陳倉區(qū)期末）如圖所示，在四棱錐P-/8C。中，BC〃平面以。，βC=yAD,

E是尸。的中點.

（1）求證：BC//AD；

（2）求證：CE〃平面片反

第4頁（共19頁）

2022-2023學年北師大版高一下數(shù)學：立體幾何初步

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?山西期中）下面四個幾何體中，是棱臺的是（）

【考點】棱臺的結構特征.

【專題】對應思想；定義法；立體幾何；直觀想象.

【分析】根據(jù)圓臺、棱臺和棱錐的結構特征，即可得解.

【解答】解：選項/是圓臺，

選項C中四條棱的延長線沒有相交于一點，不是棱臺，

選項。是棱錐.

故選：B.

【點評】本題考查簡單空間幾何體的結構特征，考查空間立體感，屬于基礎題.

2.（2020秋?陳倉區(qū)期末）下列命題中正確的是（）

A.用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺

B.兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C.棱臺的底面是兩個相似的正方形

D.棱臺的側棱延長后必交于一點

【考點】棱臺的結構特征.

【專題】計算題；集合思想；定義法；空間位置關系與距離；立體幾何.

【分析】在/中，平面不一定與底面平行；在B中，側棱不一定相交于一點；在C中，

棱臺的底面是兩個相似的多邊形；在。中，由棱臺的性質得棱臺的側棱延長后必交于一

點.

【解答】解：在/中，用一個平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分

第5頁（共19頁）

是棱臺，故力不正確；

在8中，兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺，側棱不一定相交于

一點，故B不正確.

在C中，棱臺的底面是兩個相似的多邊形，故C錯誤；

在。中，由棱臺的性質得棱臺的側棱延長后必交于一點，故。正確.

故選：D.

【點評】本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意棱臺的定義及

性質的合理運用.

3.（2021秋?大通縣期末）當我們停放自行車時，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩(wěn)

了，這用到了（）

A.三點確定一平面

B.不共線三點確定一平面

C.兩條相交直線確定一平面

D.兩條平行直線確定一平面

【考點】平面的基本性質及推論.

【專題】證明題：空間位置關系與距離.

【分析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，使得自行車穩(wěn)定，此時自行車與地面的三

個接觸點不在同一條線上.

【解答】解：自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時三個接觸點不在同一條線上，

所以可以確定一個平面，即地面，從而使得自行車穩(wěn)定.

故選:B.

【點評】本題考查不同線的三個點確定一個平面，屬于簡單題.

4.（2021秋?工農(nóng)區(qū)校級期末）己知/,W是空間中兩條不同的直線，ɑ,B是空間中兩個不

同的平面，下列說法正確的是（）

A.若/_La,m∕∕l,wuβ,貝IJaJB.若a“β,l∕∕a,則/〃B

C.若∕lm,∕±a,a∕∕β,則加〃βD.若a_Lβ,l∕∕a,則LLβ

【考點】空間中直線與平面之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系；空間中直線

與直線之間的位置關系.

【專題】整體思想；分析法；空間位置關系與距離；直觀想象.

第6頁（共19頁）

【分析】由直線與平面垂直的性質、平面與平面垂直的判定判斷4由平面與平面平行、

直線與平面平行分析線面關系判斷8；由直線與平面垂直、平面與平面平行分析線面關

系判斷C；由平面與平面垂直、直線與平面平行分析線面關系判斷。.

【解答］解：若/_La,tn"I,則，"J_a,又muβ,則故力正確；

若Cι“β,l∕∕a,則/〃B或∕u0,故8錯誤；

若Ua,a〃仇則Uβ,又/Ln,加〃β或∕nuβ,故C錯誤；

若al_0,l∕∕a,則∕u0或/〃B或/與B相交，相交也不一定垂直，故。錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定及應用，

考查空間想象能力與思維能力，是基礎題.

5.（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）幾何體「的表面上有三條線段/8、CD、EF,有4B、CD、

E尸所在直線兩兩異面，則在①棱柱；②棱錐；③圓柱；④圓錐；⑤球中，「有可能

是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.③④⑤

【考點】棱柱的結構特征；棱錐的結構特征.

【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理；直觀想象.

【分析】直接利用異面直線的定義，幾何體的特征的應用求出結果.

【解答】解：根據(jù)幾何體的特征：在棱柱中有48、CD、EE所在直線兩兩異面：

在棱錐中有48、CD、EF所在直線兩兩異面；

在圓柱中有/8、CD、EF所在直線兩兩異面；

故選:A.

【點評】本題考查的知識要點：異面直線的定義，幾何體的特征，主要考查學生的空間

想象能力，屬于基礎題.

6.（2021秋?金山區(qū)校級期中）棱柱成為直棱柱的一個必要而不充分條件是（）

A.它的一條側棱垂直于底面

B.它的一條側棱與底面兩條邊垂直

C.它的一個側面與底面都是矩形

D.它的一個側面與底面的一條邊垂直

【考點】棱柱的結構特征；充分條件、必要條件、充要條件.

第7頁（共19頁）

【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理.

【分析】根據(jù)直棱柱的結構特征以及充分條件和必要條件的定義，逐個分析選項即可.

【解答】解：對于選項小棱柱一條側棱垂直于底面是棱柱成為直棱柱的充要條件，故

選項Z錯誤，

對于選項5：棱柱的一條側棱與底面兩條邊垂直是棱柱成為直棱柱的必要而不充分條件,

故選項8正確，

對于選項C：棱柱的一個側面與底面都是矩形是棱柱成為直棱柱的既不充分也不必要條

件，故選項C錯誤，

對于選項。：棱柱的一個側面與底面的一條邊垂直是棱柱成為直棱柱的充分不必要條件,

故選項。錯誤，

故選：B.

【點評】本題主要考查了直棱柱的結構特征，考查了充分條件和必要條件的判斷，是基

礎題.

7.（2021秋?陳倉區(qū)校級期末）如圖，在棱長為1的正方體中，三棱錐

CI-Hl8。的體積為（）

A.?B.?C.?D.2

3423

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】數(shù)形結合；轉化法；空間位置關系與距離；數(shù)學運算.

【分析】由正方體的體積減去四個全等三棱錐的體積得答案.

【解答】解：：正方體∕8CO-∕ι8ιCbOI的棱長為1,...正方體的體積為IXlXl=1,

又VA-AIBD=VCYlBD=VBrA[BC]=VDI-AlDCI=?x]x1義IXIq

三棱錐Ci-4BD的體積為1-4義工=工，

63

故選：A.

【點評】本題考查多面體體積的求法，考查運算求解能力，是基礎題.

第8頁（共19頁）

8.（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中）圓錐的軸截面為面積為2的直角三角形，則圓錐的側面積

為（）

A.4πB.4Λ∕2IΓC.2πD.2Λ∕2R

【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積

【專題】轉化思想；轉化法；立體幾何；數(shù)學運算.

【分析】由題意，求出圓錐的母線長以及底面半徑，由側面積公式求解即可.

【解答】解：如圖，設圓錐的軸截面為△叢8,底面圓心為。,

由題意可知，△以8為等腰直角三角形,

則LPA2=2,解得以=2,

所以/8=2&,即底面半徑為=

所以圓錐的側面積為兀x&x2=2&兀.

【點評】本題考查了圓錐的側面展開圖，解題的關鍵是掌握圓錐側面展開圖的弧長等于

底面周長，半徑等于圓錐的母線長，考查了計算能力，屬于基礎題.

9.（2021秋?大通縣期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

制（左）視圖

A.54B.45C.27D.81

第9頁（共19頁）

【考點】由三視圖求面積、體積.

【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離.

【分析】根據(jù)三視圖可得該幾何體是四棱柱488-381。?！苯厝∫粋€三棱錐8-

A?B?C?,根據(jù)數(shù)據(jù)即可計算.

【解答】解：根據(jù)三視圖可得該幾何體是四棱柱/BS-ZbSCbDi,截取一個三棱錐8

-A?B?C?，

則該幾何體的體積為V=

SABCD?A1B-^×s???g?ɑ?×A1B=3X3X6-

γ×4×3×3×6=45?

【點評】本題考查了空間幾何體的體積計算，由三視圖還原幾何體是關鍵.

10.（2020秋?興慶區(qū)校級期末）在正方體EFG，-EιQGι"ι中，下列四對截面彼此平行的

是（）

A.平面EFGl與平面EG，iB.平面五，Gl與平面QFG

C.平面Q"∣E與平面F"ElD.平面EiHGi與平面G

【考點】平面與平面平行.

【專題】計算題：數(shù)形結合；綜合法：空間位置關系與距離；直觀想象.

【分析】根據(jù)面面平行的判定定理直接求解.

【解答】解：對于4,'：E\G\//EG,EH?∕∕FG?,

EiGi∩EGi=Gi,EGCEHI=E,

.?.根據(jù)面面平行的判定定理得：

面ElFGl與平面EGH?彼此平行，故4正確；

對于8,?.?∕∕Gι與MG相交，；.平面HZGi與平面QHiG相交，故8錯誤;

第10頁（共19頁）

對于C,?.?“E1與"1E相交，.?.平面QME與平面F/ffil相交，故C錯誤；

對于。，："Gi與，IG相交，二平面昂，Gl與平面EHG相交，故。錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查面面平行的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎

知識，考查運算求解能力，是中檔題.

二.填空題（共4小題）

11.（2021秋?南崗區(qū)校級期末）已知球的體積為36π,則該球大圓的面積等于9π.

【考點】球的體積和表面積.

【專題】對應思想；定義法；球.

【分析】設球的半徑為R，由已知球的體積求得半徑，再由圓的面積公式求解.

【解答】解：設球的半徑為凡由4兀R3=36JΓ,得R=3.

3

該球大圓的面積等于nF=%.

故答案為：9π.

【點評】本題考查球的體積公式與表面積公式，是基礎的計算題.

12.（2021秋?朝陽區(qū)校級期中）芻薨，中國古代算數(shù)中的一種幾何形體，《九章算術》中記

載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.“翻譯為"底面有

長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻薨字面意思為茅草屋頂如圖為一個芻

裝的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形，則該茅草屋頂?shù)拿娣e為

32√^?

第11頁（共19頁）

K4>1

側視圖

俯視圖

【考點】由三視圖求面積、體積.

【專題】轉化思想；綜合法：空間位置關系與距離；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】首先把三視圖轉換為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體的表面積.

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為多面體力8CDEE

如圖所示:

過點8作BG_L平面CAM,作G〃J_CD,GKkCF.

所以BK=BH=q22+/=2而

s424

ACBD?××√5=√5'SBCAFaX(4÷8)×2√5=12√5?

所以S屋頂=2X16√ξ=32√ξ.

故答案為：32

【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉換，幾何體的表面積

公式，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

13.（2021秋?寶山區(qū)校級期中）已知棱錐的高為16,底面積為256,平行于底面的截面面

積為121,則截得的棱臺的高為5.

【考點】棱臺的結構特征；棱錐的結構特征.

【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離：邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】直接利用相似比和錐體的性質的應用求出結果.

第12頁（共19頁）

【解答】解：棱錐的高為16,底面積為256,平行于底面的截面面積為121,

設棱臺的高為/?,

則皿陛工

16丫25616

解得h—5.

故答案為：5.

【點評】本題考查的知識要點：錐體和臺體的性質，相似比和面積比的關系，主要考查

學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

14.（2021秋?巍山縣校級期末）已知/,B,C是半徑為2的球。的球面上的三個點，AB

=2,4C=1,8C=√E,P為該球面上的動點，則三棱錐P-NBC體積的最大值為

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】轉化思想：定義法；球；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】先確定AZBC外接圓的半徑，由此求出球心到平面/3C的距離，從而得到球面

上的任意一點P到平面力8C距離的最大值，確定此時四棱錐P-/8C的體積最大，由體

積公式求解即可.

【解答】解：在AZBC中，AB=2,AC=?,BC=43,

所以其外接圓的半徑為1,

又因為球的半徑為2,

所以球心到平面/3C的距離為匠G=百，

所以球面上的任意一點P到平面ABC距離的最大值為2+√^,

此時四棱錐P-ABC的體積最大，

所以VP-ABCqX除X（2+√3）=y÷y->

故三棱錐P-ABC體積的最大值為/4.

故答案為：/耳.

【點評】本題考查了棱錐體積的求解，錐體體積公式的運用，球的幾何性質的運用，三

角形外接圓的理解與應用，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.

Ξ.解答題（共4小題）

第13頁（共19頁）

15.(2021秋?大通縣期末)己知圓臺的上下底面半徑分別為2,5,母線長為5.求：

(1)圓臺的高；

(2)圓臺的體積.

注：圓臺的體積公式：Vq(s，+√s7^+s)?其中s，S分別為上下底面面積，h

為圓臺的高.

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；棱臺的結構特征；旋轉體(圓柱、圓錐、圓臺).

【專題】轉化思想；轉化法；空間位置關系與距離：數(shù)學運算.

【分析】(1)過點N作垂足為H,由O4ι=2,OO2=5,有BH=3,再由/8

=5,可得4，=4,從而得到圓臺的高.

(2)由圓。1的面積Sι=4ττ,圓O2的面積為S2=25n,求出圓臺的體積即可.

【解答】解：(I)如圖，過點/作/"L8θ2,垂足為，，

B

由。∕ι=2,Oo2=5,得BH=3,

又由N8=5,可得N"=4,故圓臺的高為4.

(2)由圓。1的面積Sι=4π,圓。2的面積為S2=25n,

故圓臺的體積Jz=2-(4K+iαπ+25兀)X4=15"τ=52兀-

【點評】本題考查圓臺的高、體積的求法，圓臺的結構特征等基礎知識，考查運算求解

能力，是基礎題.

16.(2021秋?河南期末)如圖，在四棱錐8-4CDE中，AB=AC=√5,AE//CD,IAE=CD

=BC=2,ZEj_平面N8C.

(1)在線段8。上是否存在一點尸使得E/〃平面/8C?若存在，求出產(chǎn)的位置；若不

存在，請說明理由；

(2)求四棱錐8-48E的體積.

D

第14頁(共19頁)

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行.

【專題】計算題：轉化思想；綜合法：空間位置關系與距離；數(shù)學運算.

【分析】（1）取BC的中點“，連接FH,AH,證明四邊形ZEF”為平行四邊形，由線面

平行的判定定理即可證明E尸〃平面ABCi

（2）過點5作C于點G,證明8G，面NCOE,計算四邊形ZCZ）E的面積，即可

求出體積.

【解答】解：（1）線段8。上存在點尸使得EF〃平面/8C,尸為8。的中點，

證明如下：如圖取BC的中點”，8。的中點尸，連接F”,AH,EF,

因為尸，H分別為BD,8C的中點，

所以“〃OC且FHVD0

因為/E〃CO且AEVC0

所以FH〃4E,且E∕∕=4E,

所以四邊形/"H為平行四邊形，可得EF〃4H,

因為EF<t面48C,/Hu面/BC,所以EF〃平面Z8C；

（2）過點8作8GL/C于點G,

因為4E_L平面N8C,/4￡c?ACDE,所以平面ZCDE'，面ZeB,

因為8G_LNC,5G?ffiACB,平面“COE∩面ZC8=∕C,

所以86_1_面力?！?

因為AB=AC=VBC—2,

所以HB=1,AH=√AB2-BH2=√5?=2,

所以SΛABC=?'BC-AH=^AC-BG,即春X2X2=看×√5×BG'

所以即為四棱錐8-48E的高，

V5

所以VB-ACDE=?×?（AEyD）-AC-BG=I×∣（l+2）×√5X泉=2?

第15頁（共19頁）

D

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面平行的判定定理的應用，屬于中

檔題.

17.（2021春?麗水期中）如圖，圓錐尸O的底面直徑和高均是α,過PO上的一點O作平行

于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱.

（1）若。，是尸。的中點，求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積和體積；

（2）當O。，為何值時，被挖去的圓柱的側面積最大？并求出這個最大值.

【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積；棱柱、棱

錐、棱臺的體積.

【專題】轉化思想；定義法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】（1）根據(jù)圓錐、圓柱的側面積、表面積和體積公式求解即可；

（2）設OO，=x,用X的函數(shù)表達式表示出圓柱的側面積，再利用基本不等式即可求出

最大值.

【解答】解：（1）設圓柱的底面半徑為r,

由三角形中位線定理可得，/=曳，圓柱的母線長為0（7=曳，