新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè) 練習(xí) 04 空間向量基本定理

04空間向量基本定理

目錄

☆【題型一】空間向量基本定理...................................................................1

☆【題型二】基底的判斷.........................................................................3

☆【題型三】用基底表示向量.....................................................................4

☆【題型四】空間向量基本定理的應(yīng)用：證明線(xiàn)線(xiàn)垂直..............................................7

☆【題型五】空間向量基本定理的應(yīng)用：求線(xiàn)段長(zhǎng)或向量的模.......................................8

☆【題型六】空間向量基本定理的應(yīng)用：求兩條直線(xiàn)所成角的余弦值.................................9

☆【題型一】空間向量基本定理

【例題】如圖，。為ANBC所在平面外一點(diǎn)，〃為BC的中點(diǎn)，若就=癡與。b=lS+l??+l衣同時(shí)

244

成立，則實(shí)數(shù)義的值為.

【答案】~

2

【詳解】OG=OA+AG=OA+λΛf=a4+-(AB+AC)

^OA+~(OB-OA+OC-OA)

=(l-λ)O4+∣δ5+?

^-OA+-OB+-OC,

244

所以?-λ=k2=1，解得2=1.

2242

【變式訓(xùn)練】

I.已知四面體。一∕BC,Gl是448C的重心，G是OGl上一點(diǎn)，且。G=3GG∣,若拉7=x扇+yθ?+z5?,

則(X,?,Z)為()

AR?4)R--斗

B.U44j

C.β,ΓJ(22η

DU,3,?j

【答案】A

【詳解】如圖所示，連接∕G∣并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為8C的中點(diǎn),

----?1----?，A1----?----?----?

/E=j(∕8+/C)=：(。8—201+。。,

AGl^AE=j(0B-20A+0C),

VOG^3GGl^3(OGl-OG),

444

2.如圖，已知空間四邊形/8C。中，AB=a-2c,CD=5a+6bSc,對(duì)角線(xiàn)/C,8。的中點(diǎn)分別為E,F,

則無(wú)'=.（用向量α,h,C表示）

B&------

【答案】3a+3?-5c

【詳解】設(shè)G為BC的中點(diǎn)，連接EG,FG,

則E尸=EG+G尸=?8+：CO=：（a-2c）+1（5a+63-8c）=3a+3b-5c.

1?

3.如圖所示，平行六面體44CD—Z山Q。中，￡,R分別在5歸和。上，旦BE=I?BBι,DF=-DD↑.

33

若濟(jì)=X或+屈）+2與1，則x+y+z等于（）

D∣C1

,M

Il/1/

AB

B.O

C.-

3

【答案】C

—?—?—?—?—?—?—?—??—?—?1—?

【詳解】因?yàn)镋F=/F—ZE=/。+。下一(48+8E)=一/8一：8以

=一AB^?^AD-?--AA?,

3

所以x=—l,y=l,z=g,所以x+y+z=；

☆【題型二】基底的判斷

【例題】已知｛eι,e-L,e3｝是空間的一個(gè)基底，且。l=eι+2e2^-03,。8=-3e1+e2+2e3,OC=e?+e2~e3,

試判斷｛2,仍，次?｝能否作為空間的一個(gè)基底.

【詳解】假設(shè)易,為，公共面.

則存在實(shí)數(shù)九〃使得為=〃+〃花，

/.^1+2e2-ey=λ(—3g+e2+2e3)+4(e1+?2—e3)=(-32+∕z)eι+(z+/z)e2+(2A-/z)e?,

Vei,62,?3不共面，

一3λ~?~μ=1,

.??U+zz=2,此方程組無(wú)解，

2λ一μ=-1,

C.OA,OB,灰?不共面，

：.｛OA,OB,沆｝可以作為空間的一個(gè)基底.

【總結(jié)】基底的判斷思路

(1)判斷一組向量能否作為空間的一個(gè)基底，實(shí)質(zhì)是判斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面，就可以作為

一個(gè)基底.

(2)判斷基底時(shí)，常常依托正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點(diǎn)出發(fā)的

三條棱對(duì)應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷.

【變式訓(xùn)練】

1.(多選)設(shè)X=α+"y=b+c,Z=c+af且｛mb,c｝是空間的一個(gè)基底，則下列向量組中，可以作為空

間一個(gè)基底的向量組有()

｛。,｝

A.b,xB.{x,yfz}

C.｛b,c9z｝D.{x,y,a~?-b+c]

【答案】BCD

【詳解】如圖所示，令a=贏,b=AAι9c=AD,

W∣JX-AB?,y-AD?,z—AC,

a+b+c^AC?,由于4B∣,C,Dl四點(diǎn)不共面，

可知向量x,y,Z也不共面，同理6,c,Z和X,y,α+b+c也不共面.

2.在長(zhǎng)方體一小BlGA中，可以作為空間向量的一個(gè)基底的是()

KAB,AC,ADB.AB,AA\,AB↑

C.D?A?,D?C?,D?DD.AC?>A?C>CC∣

【答案】C

【詳解】由題意知,萬(wàn)力，萬(wàn)苕，方方不共面，

可以作為空間向量的一個(gè)基底.

2.若｛m｝為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是.(填序號(hào))

①α,a+b,a-h；②b,a+h,a-b；③c,a+b,a-b；?a+h,a-b,a+2b,

【答案】③.

【詳解】由空間向量基本定理得：對(duì)于①，設(shè)Z=X僅+5)+y(Z-B),即Z=(X+癡+(X-防，則"‘二

'/'/yX—y=O

解得X=V=；,即α=；(￡+5)+；(2-另)，所以￡,a+h>G-方三個(gè)向量共面；

對(duì)于②，I=I("+B)-](α-B)，所以b，a+b>萬(wàn)一B三個(gè)向量共面；

對(duì)于③，設(shè)c=x(α+B)+y(α-B),x,V無(wú)解，所以"，a+h>Z-B不共面，故&a+h-Z-B可以作

為一組基底；

對(duì)于④，a+26=∣(a+?)-i(α-?),所以Z+B，a-b，￡+2區(qū)三個(gè)向量共面，故答案為③.

☆【題型三】用基底表示向量

【例題】如圖，在正方體。ZDS-CHZXB'中，點(diǎn)E是力8與。。的交點(diǎn)，M是0。'與CE的交點(diǎn)，試分

別用向量)，OB,1表示向量防和兩.

BD,

D

【答案】OD'=OA+OB+OC?.

OM-OA+-OB+-OC.

333

【詳解】因?yàn)镺D=OA+OB,所以O(shè)D'OD+DD'OA+0B+OC.

OMOE

由4OΛ∕ESADMC,可得山_=空.

D'MD'C

又OE=Lo'C,則OΛ√=LJD'N=1。0',

223

所以?xún)?L9=!而+1赤+工歷.

3333

【總結(jié)】用基底表示向量時(shí)

(1)若基底確定，要充分利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律.

(2)若沒(méi)給定基底，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看

基向量的模及其夾角是否已知或易求.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖所示，在平行六面體Z8CD-45∣CQ∣中，設(shè)刀∣=α,AB=b,AD=c,M,N,尸分別是44∣,BC,

GOl的中點(diǎn)，試用a,b,C表示以下各向量：

(I)AP;(2而V;(3)MP.

【答案】/P=4+??+c;A?N=—α+?+?;MP=~a^ir^-b-?-c.

2222

【詳解】⑴；尸是C0的中點(diǎn),

'.AP=AA?-?-A?D?-?-D?P=a-?^AD-?--D?C?=a-\-c-\--AB=a-\--b-\-c.

222

(2)：N是BC的中點(diǎn)，

^.A?N-A?A^?^AB-?^BN—-a^?^b^?^^BC—-a^1rb^ir~AD—-a-?^b^?^-c.

222

(3)?.?M是/小的中點(diǎn),

：.MP=MA+AP^-A^A+AP^--aj?^+c+2^?=-a+-b+c.

2222

2.如圖，四棱錐尸。/8C的底面為一矩形，尸。，平面O48C,設(shè)力=α,OC=b,OP=c,E,尸分別是尸C

和PB的中點(diǎn)，試用”,b,C表示俞,屣,亞,EF.

P

【答案】BF^--a--b+-c↑BE^-a--b+-c;EF,^-CB=-OA^~a.

22222222

【詳解】連接80,則赤=?>=4歷+δ?)=4眉+J?+δ?)=???→-")=一4一4+4

2222222

BE^BC+CE^-a+-CP^-a+?cb+OP^-a--b+-c.

2222

崩=萬(wàn)+成=i?+?>+/歷+歷)=一α+c+/—c+b)=-α+/+氐

EF=-CB=-0A=-a.

222

P

3.三棱柱NBC-4山IG中，若己4=a,CB^b,CC1=c,則施等于()

A.a+b-cB.a-b+c

C.—α+?+cD.~a+b~c

【答案】D

【詳解】A^B=~A^^aC+CB=-&-CC↑+CB=-a^b~c.

4.如圖，在正方體48CO-48Cgi中，用戰(zhàn)τ,施1,歷1作為基向量，K∣JJCι=.

【答案】?(j/)?-?~AB?+√4Q

【詳解】V2ACl=2AAi+2AD+2AB=(AA∣+AD)+(AA∣+AB)+(AD+AB)=AD?+ABi+AC,

.'.ACι=^ADi+AB↑+AQ.

5.如圖，在空間四邊形0/8C中，已知E是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，G在ZE上，且∕G=2GE,試用向量方，

方，方表示向量麗.

【答案】OG=-OA+-OB+-OC.

333

［詳解］δG=δf+fG=∣δc+∣δs+?=∣δc+∣oβ+∣(Λ4-oiε)

=-OC+-OB+-OA--×-(OC+OB?=-OA+-OB+-OC,^OG=-OA+-OB+-OC.

22332、,333333

☆【題型四】空間向量基本定理的應(yīng)用：證明線(xiàn)線(xiàn)垂直

【例題】如圖，在正方體/88—小8C∣O∣中，E,尸分別是8S，O∣8∣的中點(diǎn)，求證：EFLAB1.

【詳解】證明設(shè)法=α,AA?=h,AD=c,

則旗=麗∣+麻=/防與1+礪）=3與1+施一法）=；（一α+6+c）,

AB?=AB+BB?=AB+AA?=a+b.

-*--?1!

所以EFXBl=4一Q+b+c)?(α+b)=蕓砰一I砰)=0,

所以壽，成1,BPEFΔ-AB↑.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知三棱柱∕8C-48Cι的側(cè)棱垂直于底面，N8/C=90。.

求證：ABlACi.

Ci

4∣Bl

/∕<

AB

【詳解】證明設(shè)前=q,AC=b,AA↑=c,

則北=AC+CC↑=b+c.

所以∕8∕Cι="?(b+c)="?b+<rc,

因?yàn)?4」平面ZBC,ZBAC=90o,

所以ab—O,ac—O,

得法?太ι=0,HLABLACI.

☆【題型五】空間向量基本定理的應(yīng)用：求線(xiàn)段長(zhǎng)或向量的模

【例題】如圖，在四棱錐。一/8。。中，底面488是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱刃的長(zhǎng)為2,且以與/8,

的夾角都等于60。.若M是PC的中點(diǎn)，則I前）等于（）

A遍B.近

23

r√6n√6

45

【詳解】記AD=h,AP=c,

因?yàn)楱M5=∕f>=l,PA=2f

所以同=Ibl=1,?c?=2.

o

又因?yàn)閆3"LZD,ZPAB=ZPAD=60f

所以。〃=0,ac=hc=2×1×cos60°=1.

易得8A/=；(—a~?~b~?~c),

所以I的2=j_a+8+c)2=#a2+62+c2+2X(-a6-ap+"c)]=：X口2+12+22+2X(0-1+1)]=}

所以I的=學(xué)，故選A.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在平行六面體488—48CbDl中，以頂點(diǎn)Z為端點(diǎn)的三條邊的長(zhǎng)度都為1,且兩兩夾角為60。.

求/G的長(zhǎng).

【答案】√6.

【詳解】設(shè)48=”,AD—b,AA?-c,則Ial=Ibl=ICI=1,

〈a,b)={h,c)=(.c,a)=60o,

所以ab—bc—ca--.

2

_∏lf∣

∣∕^C∣∣2=(a+A+c)2=a2+?2+c2+2(Λ??+Z(?c+c?Λ)=1+1+1+2×l2+2+2J=6,

所以Ini|=#,即ZG的長(zhǎng)為水

☆【題型六】空間向量基本定理的應(yīng)用：求兩條直線(xiàn)所成角的余弦值

【例題】如圖所示，在正方體Z8C。一/山IGn中，若E為nG的中點(diǎn)，則∕∣C∣'與命夾角的余弦值為

()

A遍B?C也D*

【答案】A

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,記i?=a,AD=b,刀ι=c?,

則同=Iz?|=|CI=1,ah=bc=ca=O.

因?yàn)?C；=AC=AB+AD=a+h,

DE=DD↑+D^E=DDl+^D^=c+-a,

22

所以7百方方=(a+Z()(c+5")="+"c+??+Lrb=Lι2=l.

2222

又因?yàn)榍骉=S,?DE?=等,

___.一1

----------?4CιDEH--------、/Y5

所以CoS{A?C?,DE)=r--------P=-----,

M∣CIιmSX在10

2

所以赤為夾角的余弦值嚕

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知直三棱柱∕5C-48∣C∣中，N/8C=120。，AB=2,BC=CG=I,則異面直線(xiàn)∕8∣與BCl所

成角的余弦值為.

【詳解】設(shè)A4=α,BC—b,BB?-c,

則<a,b>=120。,cla,cLb,

因?yàn)槌搔?i?+詬ι=-α+c,BCl^BC+CC↑^b+c,

_/BiBG_(—α+c)Q+c)-a，b-