新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用課件新人教A版選擇性必修第三冊

第六章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)1．進一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別．(數(shù)學(xué)抽象)2．會正確應(yīng)用這兩個計數(shù)原理計數(shù)．(數(shù)學(xué)運算)關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難01類型1組數(shù)問題類型2抽取(分配)問題類型3涂色與種植問題【例1】有0，1，2，3，4五個數(shù)字．(1)可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？[解]

三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)．◆

類型1組數(shù)問題(2)可以排成多少個三位數(shù)？[解]

三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)．(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？[解]

被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；另一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．[母題探究]1．(變設(shè)問)由本例中的五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？[解]

完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個還有3個可任取一個，有3種方法；第三步、第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個數(shù)字，先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理可知共有2×3×3×2＝36(個)．2．(變設(shè)問)在本例條件下，能組成多少個能被3整除的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？[解]

一個四位數(shù)能被3整除，必須各位上數(shù)字之和能被3整除，故組成四位數(shù)的四個數(shù)字只能是0，1，2，3或0，2，3，4兩類．所以滿足題設(shè)的四位數(shù)共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36(個)．反思領(lǐng)悟

常見的組數(shù)問題及解題原則(1)常見的組數(shù)問題：奇數(shù)、偶數(shù)、整除數(shù)、各數(shù)位上的數(shù)的和或數(shù)字間滿足某種特殊關(guān)系等．(2)常用的解題原則：首先明確題目條件對數(shù)字的要求，針對這一要求通過分類、分步進行組數(shù)；其次注意特殊數(shù)字對各數(shù)位上數(shù)字的要求，如偶數(shù)的個位數(shù)字為偶數(shù)、兩位及其以上的數(shù)首位數(shù)字不能是0、被3整除的數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除等；最后先分類再分步從特殊數(shù)字或特殊位置進行組數(shù)．√[跟進訓(xùn)練]1．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(

)A．24

B．18

C．12

D．6B

[由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共3×2×2＝12(種)；如果是第二種情況偶奇奇：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，故1種情況)，共3×2×1＝6(種)．因此總共有12＋6＝18(種)情況．故選B．]2．用1，2，3，4，5可以排成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？[解]

排成一個三位數(shù)，可以分為三步：第一步，確定百位上的數(shù)字，共有5種方法；第二步，確定十位上的數(shù)字，因為數(shù)字不能重復(fù)，所以不能是百位上已有的數(shù)字，共有4種方法；第三步，確定個位上的數(shù)字，共有3種方法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可以排成數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)為5×4×3＝60．◆類型2抽取(分配)問題【例2】

(1)有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是(

)A．11

B．10

C．9

D．8C

設(shè)四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d．法一：設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當(dāng)a監(jiān)考C，D時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法．法二：讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法．若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同安排方法．√(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有(

)A．280種 B．240種C．180種 D．96種√B

由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法．后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案．反思領(lǐng)悟

求解抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接法：直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．②間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．[跟進訓(xùn)練]3．從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是(

)A．9 B．10C．18 D．20√

◆

類型3涂色與種植問題角度1

涂色問題【例3】

(源自人教B版教材)在某設(shè)計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子(如圖所示)，要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？

[解]

用R表示紅色，用B表示藍色，RBRB表示第一個和第三個格子涂紅色，第二個和第四個格子涂藍色．

因為紅色和藍色都要用兩次，為了簡化問題，考慮涂紅色的格子是否相鄰，則填涂結(jié)果可以分為兩類：涂紅色的格子相鄰，涂紅色的格子不相鄰．涂紅色的格子相鄰的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3種；涂紅色的格子不相鄰的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3種．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，李明共有3＋3＝6(種)不同的填涂方法．角度2

種植問題【例4】從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則有________種不同的種植方法．18

[法一(直接法)：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法．故不同的種植方法共有6×3＝18(種)．法二(間接法)：從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有24－6＝18(種)不同的種植方法．]18反思領(lǐng)悟

涂色與種植問題的四個解答策略(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，并用分步乘法計數(shù)原理計算．(2)以顏色(種植作物)為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理計算．(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題．(4)對于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標(biāo)準(zhǔn)．[跟進訓(xùn)練]4．如圖所示的幾何體是由一個三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成的．現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有______種．12

[先涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面，再涂三棱柱的三個側(cè)面，由分步乘法計數(shù)原理知，共有3×2×1×2×1×1＝12(種)不同的涂法．]125．在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共多少種？[解]

將并排的10壟田地從左到右編號為1到10號．由于A，B兩種作物的間隔不小于6壟，依據(jù)題意知也不大于8壟，運用分類討論的思想，根據(jù)兩種作物的左右及間隔進行討論．當(dāng)A種在B種左邊時(括號內(nèi)為田壟的序號)，①間隔6壟時，(1，8)，(2，9)，(3，10)；②間隔7壟時，(1，9)，(2，10)；③間隔8壟時，(1，10)．上述共有6種選壟方法．當(dāng)B種在A種左邊時，同理也有6種選壟方法，綜上所述，總的選壟方法數(shù)為6＋6＝12．學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)021．某乒乓球隊里有6名男隊員，5名女隊員，從中選取男、女隊員各1名組成混合雙打隊，則不同的組隊方法的種數(shù)為(

)A．11

B．30C．56 D．651234√B

[先選1名男隊員，有6種方法，再選1名女隊員，有5種方法，共有6×5＝30(種)不同的組隊方法．]2．從1，2，3，4，5五個數(shù)中任取3個，可組成不同的等差數(shù)列的個數(shù)為(

)A．2

B．4C．6

D．81234√D

[第一類，公差大于0，有①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5，共4個等差數(shù)列；第二類，公差小于0，也有4個．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有4＋4＝8(個)不同的等差數(shù)列．]3．若3名學(xué)生報名參加籃球、足球、排球、計算機課外興趣小組，每人僅選報一個，則不同的報名方案有________種．64

[每名同學(xué)都有4種不同的報名方案，共有4×4×4＝64(種)不同的報名方案．]1234644．如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂1種顏色，要求相鄰的2個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種(用數(shù)字作答)．1234750

[首先給最左邊的一個格子涂色，有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，第三個格子有5種選擇