數(shù)形結(jié)合-研究三角函數(shù)的主要數(shù)學(xué)思想

數(shù)形結(jié)合------研究三角函數(shù)的主要數(shù)學(xué)思想我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化。三角函數(shù)是根本初等函數(shù)之一，它是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它的認(rèn)知根底主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識(shí)，在數(shù)學(xué)必修一中建立的函數(shù)概念以及函數(shù)的研究方法。主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)是概念、圖象和性質(zhì)，以及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用；研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析。因此，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)了。1.三角函數(shù)線作為三角函數(shù)的幾何表示，它給三角函數(shù)的定義有了直觀的理解，加深了學(xué)生形與數(shù)的結(jié)合。對(duì)同角三角函數(shù)關(guān)系可予以幾何解釋，還能幫助學(xué)生更好地理解掌握誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律。三角函數(shù)線在解決許多三角問(wèn)題中都起到了重要的作用。從它的應(yīng)用中讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，從而培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”的良好習(xí)慣。

2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可更好的理解三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。如三角函數(shù)的定義域，值域，周期性，奇偶性，單調(diào)性，對(duì)稱性等都可以從三角函數(shù)的圖象上直觀的顯現(xiàn)出來(lái)，而利用三角函數(shù)的圖象又非常容易理解三角函數(shù)的這些性質(zhì)。因此，明確研究三角函數(shù)問(wèn)題都可用代數(shù)和幾何相結(jié)合的思想方法，拓寬思維空間，提高解決問(wèn)題的能力。3.例題分析，下面列舉幾例來(lái)體會(huì)三角函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想。例1.如果那么函數(shù)的最小值是多少？分析：從三角函數(shù)的角度來(lái)看，求的最小值是一個(gè)較難的問(wèn)題，是一個(gè)比擬陌生的問(wèn)題。但是，如果把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，畫(huà)出相應(yīng)的圖像，從幾何的直觀性入手，那么可立刻看出結(jié)論。圖1令因?yàn)樗阅敲磮D像為圖中實(shí)線局部。所以當(dāng)即時(shí)，有最小值，且最小值為。例2.在〔〕內(nèi)，使成立的x取值范圍為〔〕A.B.C.D.分析1：作出在區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖像，解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖2可得〔C〕答案。圖2圖3分析2：在單位圓上作出二、三象限的對(duì)角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選〔C〕。例3.假設(shè)角α滿足條件，那么α在〔〕A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限分析：所以即即與異號(hào)所以α在二、四象限又所以由圖4，滿足題意的角α在第二象限。圖4數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能