高中數(shù)學(xué)選擇性學(xué)案第1章1-1直線的斜率與傾斜角

第1章直線與方程1.1直線的斜率與傾斜角1.直線的斜率對(duì)于直線l上的任意兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,則直線l的斜率為:k=

QUOTE.

如果x1=x2,那么直線l的斜率不存在.2.直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí),k=tanαQUOTE.

斜率的正負(fù)與傾斜角范圍有什么聯(lián)系?提示:當(dāng)k=tanα<0時(shí),傾斜角α是鈍角;當(dāng)k=tanα>0時(shí),傾斜角α是銳角;當(dāng)k=tanα=0時(shí),傾斜角α是0°.1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)下圖中標(biāo)的α都不是對(duì)應(yīng)直線的傾斜角. ()(2)任一直線都有傾斜角,都存在斜率. ()(3)傾斜角為135°的直線的斜率為1. ()(4)若直線的傾斜角為α,則它的斜率為k=tanα. ()提示:(1)√.x軸的正向與直線向上的方向之間所成的角是直線的傾斜角,所以圖中的四個(gè)α都不是對(duì)應(yīng)直線的傾斜角.(2)×.傾斜角為90°的直線不存在斜率.(3)×.傾斜角為135°的直線的斜率為1.(4)×.傾斜角α不等于90°時(shí),它的斜率才是k=tanα.2.如圖所示,直線l與y軸的夾角為45°,則l的傾斜角為 ()A.45° B.135° C.0° D.無(wú)法計(jì)算【解析】選B.根據(jù)傾斜角的定義知,l的傾斜角為135°.3.(教材二次開發(fā):例題改編)已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(5,m)和(m,8)的直線的斜率等于1,則m的值是 ()A.5 B.8 C.QUOTE D.7【解析】選C.由斜率公式可得QUOTE=1,解得m=QUOTE.4.已知直線l的傾斜角為30°,則直線l的斜率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選A.由題意可知直線l的斜率k=tan30°=QUOTE.類型一直線的傾斜角、斜率的概念(數(shù)學(xué)抽象)1.設(shè)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為α,如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為 ()A.α+45°B.α135°C.135°αD.當(dāng)0°≤α<135°時(shí),傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時(shí),傾斜角為α135°2.一條直線l與x軸相交,其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°),則其傾斜角為 ()A.α B.180°αC.180°α或90°α D.90°+α或90°α3.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)B,若kAB=4,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ()A.(2,0)或(0,4) B.(2,0)或(0,8)C.(2,0) D.(0,8)【解析】1.選D.因?yàn)?°≤α<180°,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意.通過(guò)畫圖(如圖所示)可知:當(dāng)0°≤α<135°時(shí),l1的傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時(shí),l1的傾斜角為45°+α180°=α135°.2.選D.如圖,當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí),傾斜角為90°+α;當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí),傾斜角為90°α.3.選B.設(shè)B(x,0)或(0,y),因?yàn)閗AB=QUOTE或kAB=QUOTE,所以QUOTE=4或QUOTE=4,所以x=2,y=8,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(0,8).1.求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意事項(xiàng)(1)方法:結(jié)合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)兩點(diǎn)注意事項(xiàng):①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),傾斜角為0°,當(dāng)直線與x軸垂直時(shí),傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.2.解決斜率問(wèn)題的方法(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍),利用定義式k=tanα(α≠90°)解決.(2)由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率,運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k=QUOTE(x1≠x2)求解.(3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問(wèn)題常利用數(shù)形結(jié)合求解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),且不經(jīng)過(guò)第四象限,則直線l的斜率k的取值范圍是 ()A.(1,0] B.[0,1]C.[1,2] D.[0,2]【解析】選D.由圖可知當(dāng)直線位于如圖陰影部分所示的區(qū)域內(nèi)時(shí),滿足題意,所以直線l的斜率滿足0≤k≤2.類型二直線的傾斜角、斜率的計(jì)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.若A(1,0),B(3,m),直線AB的斜率為QUOTE,則m= ()A.8 B.-2 C.2 D.82.若直線過(guò)點(diǎn)C(1,3),D(4,3+QUOTE),則此直線的傾斜角為.

3.已知點(diǎn)M(0,b)與點(diǎn)N(QUOTE,1)連成直線的傾斜角為120°,求b的值.【解析】1.選C.A(1,0),B(3,m),直線AB的斜率為QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得:m=2.2.直線過(guò)點(diǎn)C(1,3),D(4,3+QUOTE),則直線的斜率k=QUOTE=QUOTE,所以此直線的傾斜角是QUOTE.答案:QUOTE3.k=QUOTE=tan120°,解得b=2.利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”,即直線不與x軸垂直,因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時(shí),斜率是不存在的(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1,P2的先后順序無(wú)關(guān),也就是說(shuō)公式中的x1與x2,y1與y2可以同時(shí)交換位置.(3)在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.1.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和點(diǎn)(3,0),則它的斜率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.斜率k=QUOTE=QUOTE.2.若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(m,2),BQUOTE,且傾斜角為45°,則m的值為 ()A.2 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(m,2),BQUOTE的直線的斜率為k=QUOTE,又直線的傾斜角為45°,所以QUOTE=tan45°=1,即m=2.3.已知坐標(biāo)平面內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1,1),B(1,1),C(1,1),求直線AB,BC,AC的斜率.【解析】已知點(diǎn)的坐標(biāo),可代入過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式求斜率,但應(yīng)先驗(yàn)證兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等.kAB=QUOTE=0,kAC=QUOTE=1.因?yàn)锽,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,所以直線BC的斜率不存在.類型三直線的傾斜角、斜率的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理)角度1求斜率的范圍

【典例】已知兩點(diǎn)A(3,4),B(3,2),過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍;(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.【思路導(dǎo)引】作圖,讓直線與線段有公共點(diǎn),可得傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,進(jìn)一步獲得斜率的取值范圍.【解析】如圖所示,由題意可知kPA=QUOTE=1,kPB=QUOTE=1.(1)要使直線l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是k≤1或k≥1.(2)由題意可知,直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又PB的傾斜角是45°,PA的傾斜角是135°,所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.角度2三點(diǎn)共線問(wèn)題

【典例】若三點(diǎn)A(2,3),B(4,3),C(5,k)在同一條直線上,則實(shí)數(shù)k=.

【思路導(dǎo)引】利用AB和AC的斜率相等.【解析】因?yàn)锳(2,3),B(4,3),C(5,k)在同一條直線上,所以kAB=kAC,kAB=QUOTE=3,kAC=QUOTE=QUOTE,所以3=QUOTE,即k=6.答案:61.求直線斜率的取值范圍時(shí),通常先結(jié)合圖形找出傾斜角的范圍,再得到斜率的范圍.2.利用斜率可解決點(diǎn)共線問(wèn)題,點(diǎn)A,B,C共線?kAB=kAC或kAB與kAC都不存在.3.QUOTE的幾何意義是直線的斜率,用之可通過(guò)幾何方法解決函數(shù)的值域問(wèn)題.1.若三點(diǎn)A(3,1),B(2,b),C(8,11)在同一直線上,則實(shí)數(shù)b等于 ()A.2 B.3 C.9 【解析】選D.因?yàn)槿c(diǎn)A(3,1),B(2,b),C(8,11)在同一直線上,所以kAC=kAB,即QUOTE=QUOTE,解得b=9.2.已知A(3,3),B(4,2),C(0,2).若點(diǎn)D在線段BC上(包括端點(diǎn))移動(dòng),則直線AD的斜率的變化范圍是.

【解析】如圖所示.當(dāng)點(diǎn)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí),直線AD的斜率由kAB增大到kAC,又kAB=QUOTE=QUOTE,kAC=QUOTE=QUOTE,所以直線AD的斜率的變化范圍是QUOTE.答案:QUOTE3.已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M(m+3,2m+5),N(m2,1).(1)當(dāng)m為何值時(shí),直線MN的傾斜角為銳角?(2)當(dāng)m為何值時(shí),直線MN的傾斜角為鈍角?(3)直線MN的傾斜角可能為直角嗎?【解析】(1)若傾斜角為銳角,則斜率大于0,即k=QUOTE=QUOTE>0,解得m>2.即當(dāng)m>2時(shí),直線MN的傾斜角為銳角.(2)若傾斜角為鈍角,則斜率小于0,即k=QUOTE=QUOTE<0,解得m<2.即當(dāng)m<2時(shí),直線MN的傾斜角為鈍角.(3)當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí),直線的傾斜角為直角,此時(shí)m+3=m2,此方程無(wú)解,故直線MN的傾斜角不可能為直角.1.已知一條直線過(guò)點(diǎn)(3,2)與點(diǎn)(1,2),則這條直線的傾斜角θ是 ()A.0° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.因?yàn)閗=QUOTE=0,所以θ=0°.2.若過(guò)兩點(diǎn)A(4,y),B(2,3)的直線的傾斜角為45°,則y等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.1【解析】選C.kAB=QUOTE=tan45°=1,即QUOTE=1,所以y=1.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知直線AB與直線AC有相同的斜率,且A(1,0),B(2,a),C(a,1),則實(shí)數(shù)a的值是.

【解析】依題意:kAB=kAC,即QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE.答案:QUOTE4.已知傾斜角為45°的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2m,3),B(2,3),則