2023屆高三新高考數(shù)學試題一輪復習 平面向量數(shù)量積及應(yīng)用

7.3平面向量數(shù)量積及應(yīng)用

課標要求考情分析核心素養(yǎng)

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意

新高考3年考題題號考點

義.利用向量數(shù)量

2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)2022(II)卷4積的坐標運算數(shù)學建模

求夾角

系.數(shù)學運算

向量數(shù)量積的

3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向2021(I)卷10坐標運算，向直觀想象

量的模

量數(shù)量積的運算.邏輯推理

向量數(shù)量積的

2021(II)卷15

4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用運算

向量數(shù)量積的

數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.2020(I)卷7

運算和投影

回歸教材

1.向量的夾角

定義范圍共線與垂直圖示

已知兩個非零向量N和另,作瓦？=a,OB=b,

d//b?e=0或7T；

貝INAOB=e（o<e<兀）叫做向量a與3的夾[0,71]

a1b?0=^~

角.2

而］量夾角：共起點

2.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量2與3,它們的夾角為氏我們把數(shù)量同間cos。叫做2與3的數(shù)量積,記作港南

定義

BPa?b=|a||fo|cos0.

特殊情況0?d=0;aLb?a?b=0

d?b=b?a（交換律）;Aa?d=A（a?h）=a?（Ah）（結(jié)合律）；（2+司？己=2?王+而0（分配

運算律

律）

(d+6)=a2+2d?b+b2;(a+h)(a—h)=a2—fo2

運算性質(zhì)2一一

(a+6+c)=a2+Z?2+c2+2d?b+2b?c+2c?a

3.投影向量

如圖，設(shè)匕3是兩個非零向量，通=扇加=3,考慮如下變換:過通的起點a和終點B,分別作訪所在直線

的垂線,垂足分別為&、B1，得到&尻,稱上述變換為向量2向向量3投影，4瓦叫做向量日在向量石上的投影

向量.

若向量2,3的夾角為a則向量R在向量3上的投影向量為回器？3

4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及坐標表示:小石刀

已知非零向量五=B=(%2，丫2)，匕石的夾角為仇

幾何表示坐標表示

數(shù)量積alb=|a||h|cos0

d?b=%1%2+yiy2

ayb?尤14+yiy

夾角cosd=.=.2=

cosd=22x22

\d\\b\7^i+yi?V2+y2

模\d\=|a|=J久/+為2

垂直。

alb?a?b=0aLb?a?b=xrx2+y/2=

共線敏4GR)

a//b?a=a//b?xty2=

不等關(guān)系

\a?b\<\d\\b\不+乃

五方共線時等號成立%!%2+yty2<Jxj+yI2?522

■重要結(jié)論

L向量模長不等式：旭同卜歸士同4口|+同；同同W|N|同

2.兩個向量落3的夾角為銳角？之？3>0且出3不共線;兩個向量出3的夾角為鈍角？宓3<0且出3不共

線

■教材改編

1.【P24T21]在三角形4BC中，已知|荏+而|=|南—左|品|=2,點G滿足鼐+福+前=6,

則向量就在向量嬴方向上的投影向量為(????)

A.|BAB.|BAC.2BAD.3BA

2.[P41T3】設(shè)作用于同一點的三個力瓦，可，可處于平衡狀態(tài)，若|可|=1,|引=2,且，與豆的夾角

02/14

考點一平面向量數(shù)量積的運算

【方法儲備】

1.平面向量數(shù)量積的運算方法

定義法:「對或”|收出可個I，戰(zhàn)的檸?；鹩妙?可小士”川匕;的工（求*;

>1,,,?

■注?薩務(wù)ifT應(yīng)百2點C而曲I」LL.Jr：

*標法"ii''片■‘卜，?卜時."J利用'f杵，J.火斛.I，；dix"）b■（Xj.Xi）,，Idj-小孫?yj1；

1■

幾何法y?il灶MR的兒何卓義求魴

2.已知數(shù)量積求參數(shù)

已知向量的數(shù)量積，用上述方法展開，得出關(guān)于參數(shù)的方程，進而求出參數(shù).

角度1投影向量

【典例精講】

例1.（2022?安徽省期中）已知同=3,向=5,2i=-12,且3是與3方向相同的單位向量，貝皈在3上

的投影向量為?????????？.

【名師點睛】

本題考查向量的夾角、向量的投影，屬于中檔題.

設(shè)江與3的夾角為出求出cos。，根據(jù)投影向量的概念，即可求出結(jié)果.

【靶向訓練】

練1-1（2021?江蘇省無錫市期末）設(shè)平面向量落3滿足同=12,3=（2,隗），a?fo=18-貝哈在a方向上

的投影向量為（????）

；

A./ZB.oC.ZaD.o

練1-2（2022?陜西省模擬）已知△ABC的外接圓圓心為。，且而+而=2而，\AB\=|0X|-則刀在方

上的投影向量為（????）

A.}CBB.^-CBC.D.|CF

4242

角度2平面向量數(shù)量積的概念及運算

【典例精講】

例2.（2022?山東省濰坊市模擬）在梯形48CD中，AB//DC,2D=BC=2,AB=4,4ABe=P是BC的

中點，則說?荏=??????????

【名師點睛】

本題考查了平面向量的線性運算以及數(shù)量積的運算問題,把所求向量轉(zhuǎn)化，再結(jié)合數(shù)量積的運算即可求解

結(jié)論.

【靶向訓練】

練1-3(2022?江西省模擬)已知兩個單位向量窗3的夾角為60。，0=*+(1—.若常3=0，則

t-2222222222

練1-4(2022?北京市期末)已知△48C是邊長為1的等邊三角形，點。、E分別是邊48、的中點，連接DE

并延長到點尸，使得DE=2EF,則衣.前的值為(????)

A」！B.iC.iD.￡

角度3平面向量數(shù)量積的坐標運算

【典例精講】

例3.(2021?新課標I卷.多選)已知。為坐標原點，點尸i(cosa,s譏a),尸2(cos￡,-si印)，

「3(cos(a+/?),?sin(a+S)),4(1,?0),則(????)

A.|西|?二?|西B.|麗|?二?|酒_

C.OA?OP^=OP^?OP^D.~OA?~OP[=~OP^~oK,

【名師點睛】

本題考查平面向量的坐標運算，考查三角函數(shù)的恒等變形公式，屬于中檔題.

根據(jù)平面向量的坐標運算結(jié)合三角函數(shù)公式進行化簡逐個判斷即可.

【靶向訓練】

練1-5(2022?遼寧省大連市模擬)設(shè)向量R=(1即)，3=(2,1)，且3？(2五+母=7，則m=??????????.

練1-6(2022?江西省萍鄉(xiāng)市期末)已知向量記=(2COS3X,—1),n=(V3sina)x一cos3x,l)，其中3>0,

函數(shù)/(%)=布？元+2,且/。)的最小正周期為則的解析式為?????????？.

考點二平面向量的夾角、模長、垂直、共線問題

【方法儲備】

1.求平面向量模的方法

公式法'|a=va?\a|n+b|+S)=V<r+2aft+b*1k,-耳=J(d-6)=\ti--2db+b2

t

逐標法[d=(x,y),啕同=，+"

2.求平面向量夾角的方法

定義法：a>s0="；：I9的以值危HI思他H]

里除法/d=(3.力),b=(孫.力),九“3=,,：

I?九9

”三角形法：=f<i???！?/p>

淤，II

3.向量的垂直、共線問題

04/14

(1)兩個向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,

即：N=(Xi，yi),b=(x2,y2)>則江-Lb?a.-b=0?x1x2+為為=0.

應(yīng)認識到此充要條件對含零向量在內(nèi)的所有向量均成立，因為可視零向量與任意向量垂直.

(2)利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參或最值問題最常用的解題技巧.

【特別提醒】在分析兩向量的夾角時，必須使兩個向量的起點重合，如果起點不重合，可通過“平移”實

現(xiàn).

角度1平面向量的模

【典例精講】

例4.(2022?山東省模擬)已知向量落石夾角為45。，且|砧=1,|2萬一石|貝3?—2222222222

【名師點睛】

利用數(shù)量積的性質(zhì)即可得出.

本題考查了數(shù)量積的性質(zhì)，向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題.

【靶向訓練】

練2-1(2022?湖北省咸寧市期末)已知向量濟石滿足|五|=@=5,且|五+方|=6,則|本一方|=(????)

A.6B.8C.36D.64

練2-2(2022?.山東省濟南市期末.多選)若平面向量入九三兩兩的夾角相等，且|砧=1,住|=2,花|=3,

貝1」|五+3+己|=(????)

A.V3B.3C.5D.6

角度2平面向量的夾角

【典例精講】

例5.(2022?江西省模擬)若非零向量定3滿足|初=早|行|,且@一51(3五+2及，貝4與石的夾角為

(????)

A兀n兀n3兀

A.；B.-C.TD.兀

【名師點睛】

根據(jù)向量垂直的等價條件以及向量數(shù)量積的應(yīng)用進行求解即可.

本題主要考查向量夾角的求解，利用向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量垂直的等價條件是解決本題的關(guān)鍵.

【靶向訓練】

練2-3(2021?湖北省武漢市期末)在平行四邊形ABCD中，4B=3,AD=2,AP=|AB,AQ=^AD,

若而？&=12，貝叱4DC=(????)

A.B.yC.yD.]

練2-4(2022?江蘇省南通市期末)？已知向量落3滿足|弓+3|=S―3|=竽|初，則向量(1+石，a>

=(????)

A.B.vC.5D.￡

6336

角度3平面向量的垂直

【典例精講】

例6.（2021?浙江省溫州市模擬）若|初=1,舊|=2,五與另的夾角為60。，若（3五+5元）1（ma-b），則根

的值為92222222222

【名師點睛】

本題考查向量數(shù)量積的計算公式，兩向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0.

由條件可求得五？3=1，根據(jù)兩向量垂直，則兩向量的數(shù)量積為0,從而會得到關(guān)于稅的方程，解方程即可

求出7n.

【靶向訓練】

練2-5（2021?山東省模擬）已知向量五與另的夾角是?且|初=1,|另|=4,若（3元+高）1為，則實數(shù)

A=（????）

A.一|B,|C.-2D.2

練2-6（2022?上海市期末）已知a、6都是非零向量，且N+3B與7N-53垂直，五一4至與一2至垂直，

則元與浮的夾角為?????????？.

考點三平面向量中的最值、范圍問題

【方法儲備】

1.求最值、范圍問題的思路

（1）將向量的最值、范圍問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的最值、范圍問題，利用平面幾何的知識求解；

（2）將向量坐標化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)、方程、不等式的問題解決.

【典例精講】

例7.（2022?湖北省黃岡市模擬）已知直角三角形力BC中，N4=90。，AB=2,4C=4,點P在以4為圓心

D

且與邊BC相切的圓上，則而？正的最大值為（????）zts_

【名師點睛】I/---于

本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及直線與圓的位置關(guān)系./

根據(jù)題意，設(shè)4D為斜邊BC上的高，求出4D的值，連接P4可得而？正=（兩+四）？（兩+前）=同2+

PA?（AB+AC）^^+PA?（AB+AC）,分析可得當同與（屈+前）同向時，西？（四+冠）取得最大值,

據(jù)此計算可得答案.

【靶向訓練】

練3T（2022?湖北省模擬）己知梯形4BCD中，4B=三,AB=2,BC=4,AD=1,點、P,Q在線段BC上

移動，且PQ=1,則加？麗的最小值為（????）

06/14

’【靶向訓I練彳

練3-2(2022?江蘇省宿遷市期末)在44BC中，角4B,C的對邊分別為a,4的若b(tanA+tanB)=2ctanB,

且G是的重心，AB?AC=2,則|E|的最小值為?????????？.

|素養(yǎng)提升

核心素養(yǎng)系列直觀想象、數(shù)學運算一一平面向量與極化恒等式

【方法儲備】

1.極化恒等式：a?6=i[(a+&)2-(a-K)2]

三角形模型：在△ABC中，D為BC的中點，則存?阮=|AD|2一|而『=|西之一|西之=|XD|2-1|BC|2

平行四邊形模型：在平行四邊形力BCD中：則而?而=[(|河2T畫2)

例8.(2022?山東省模擬)如圖，在AABC中，AC=6,AB=8,^BAC=p。為邊8c的中點.

(1)求同？方的值；

(2)若點P滿足日>=eR)，求而?玩的最小值；

⑶若點P在ABAC的角平分線上，且滿足PA=Hi而+nPC(m,n€R),若1W71M2,求|西|的取值范圍.

師點睛】

本題平面向量的數(shù)量積運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化，考查運算求解能力，是中檔題.

C)由恒等式及向量的加減運算求解；

C)初而、3nl>0,\BC\=2n>0.由己知結(jié)合極化恒等式求解m與n值，進一步可得麗?前的值.

練4-1(2021?湖北省模擬)如圖，已知P是半徑為3,圓心角為方的一段圓弧卷上一點，四=3近,則刀?而

的最小值是(????)

A.—6B.6—9^2C.—8D.6—6V5

練4-2(2022?福建省龍巖市期中)閱讀下一段文字：(a+b)2=a2+2a?b+另2空史互二

b2,兩式相減得0+by-(a-b}2=4超曲宓3=i[(a+b)2-(a-另為，式標叁等式稱作“極化T品

等式”，它實現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個向量的數(shù)量積運算化為“?！钡倪\算.試根據(jù)上面的內(nèi)容解

決以下問題：如圖，在AaBC中，。是BC的中點，E,尸是4。上的兩個三等分點.

(1)若4D=BC=3,求存?左的值；

(2)若荏？前=27，麗?而=一5，求麗?說的值.

口易錯點歸納

易錯點1.投影向量理解錯誤

例9.(2022?湖北省武漢市期末.多選)若4。=1,2，…,m是△力OB所在的平面內(nèi)的點，且可？話=

市？。豆下面給出的四個命題中，其中正確的是(????)

A.|西|+|砥|+…+|西|=|五|

B.AA[?OB=0

C.點4、右、①“.41一定在一條直線上

D.OA,西在向量近方向上的投影數(shù)量一定相等

易錯點2.向量夾角定義理解錯誤

例10.(2021?遼寧省期中)已知|五|=或，\b\=4,當另1(4反一尤)時，向量五與石的夾角為(????)

A.7B.C.vD.多

6434

易錯點3.平面向量的運算律運用錯誤

例11.(2022?江蘇省南通市模擬.多選)關(guān)于平面向量落b，c,下列說法不正確的是(????)

A.^a?c=b?c,則』=3

B.(a+b)?c=a?c+b?c

C.若五2=b2,則=不

D.(a?b)?c=(K?c)?a

易錯點4.混淆平面向量共線、垂直的坐標關(guān)系

例12.(2022?福建省名校聯(lián)考.多選)已知向量五=(—1,2),b=(l,m),則(????)

A.若為與3垂直，則m=|B.若力〃石，則根的值為一2

C.若|布=|3|，則m=2D.若m=3,貝展與方的夾角為45。

答案解析

【教材改編】

1.［解析］SA/15C45,■■■\AB+AC\=\AB-AC\,

■-AB2+2AB?AC+AC2=AB2-2AB?XC+XC2,AB?Zf=0,^AB1AC,

點G滿足及5+林+岳=6,貝|G為△ABC的重心，

設(shè)力C的中點為D,???向量就在向量瓦?方向上的投影向量為：|皆^?原胡

>--->--->--->--->1>>>2)2

vBD?BA=(AD-AB)?BA=-AC?BA+AB=AB,

.響量庶在向量瓦?方向上的投影向量為：|義瀛？裔=|瓦5,

故答案選：B.

08/14

2.【解析】（1）由耳,耳,用處于平衡狀態(tài)，知耳+月+月=6,百=1，兩=2,且可與弓的夾角為|兀,

???|^|=|-K-^I=j（K+^）2=Jl+4+2xlx2x（-j）=V3；

（2）???瓦=-（K+瓦），???瓦?瓦=-K?瓦-瓦?瓦,

設(shè)瓦與耳的夾角為氏...百x2xcose=—1x2x（―》一4,解得cos”—日，

又。6[0,兀],8=9.即無與居的夾角為芍.？

66

【考點探究】

例1.【解析】設(shè)立與另的夾角為仇因為同=3,|瓦=5,a-b=-12,所以cos。=言曾=三=一5

因為3是與3方向相同的單位向量，所以石在3上的投影向量為：同cose2=3x（—93=—

故答案為-

練IT.【解析】因為平面向量詭3滿足回=12,?另=（2,有）,？宓3=18，

所以另在五方向上的投影向量是黑x^-=^x^=ia.

\a\\a\12128

故答案選；D.

練1-2.【解析】因為2南=而+而，所以。為BC中點，又AABC外接圓的圓心為0,「.，

所以三角形為以4為直角頂點的直角三角形，

又|南1=1瓦？所以AdB。為等邊三角形，則"BC=60。，乙4cB=30。，

所以向量襦在向量而上的投影向量為：I,>\\/

CACBCB|G4||CB|COS30°|CB|COS30°|GB|COS30°377^

Wm=一.CB=荷CB=-CB.

故答案選：c.

例2.【解析】???在梯形2BCD中，AB//DC,AD=BC=2,AB=4,UBC=g,P是8c的中點,

----->----->----->>>------------->2----->1>----->21----->----->?1-----------------------1

4B?AP=2B?G4B+BP)=AB+4B?±BC=4B--SX?FC=42--X4X2X-=14,

v----------------------------72----------------------------2-22

故答案為：14.

練1-3.【解析】?.?[=tZ+(l-t)ac?b=0,c?b=ta?b+(l-t)b2=0,

a,3是單位向量，；.同=|K|=1,

又；2與3的夾角為60。，;日？3=1*1*cos60°=

c?b=ta?b+(1—t)b2=|t+(l—t)=0,t=2.

故答案為：2.

練1-4.【解析】如圖，???￡>、E分別是邊AB、8C的中點，且DE=2EF,

???AF?BC=(AD+DF)?BC=+|DF)?BC

1—>3―>—.1—?3—.3—.—>

=(--BA+-AQ7BC=(--BA+-BC--BA)?BC

5—>3—>—>5—>—>3—>2

=(--BA+-BC)?BC=一一BA7BC+-BC

4444

5一一3

=\BC\cos600+-xI2

=--5x1YX1YX-1+.-3=-1.

4248

故答案選：c.

例3.【解析】0力=(1,0),OP；=(cos?a,sin?a)，OP；=(cos?—sin?0)，OP；=(cos?(a+0),sin?(a+0))，

>>

APr=(coscr-l,sina),AP2=(cos￡—1,—sin/?),

對于A,|OP1|=「cos2a+sin2a=1,|OP；I=Jcos2/?+(—sin3)2=1,A正確；

對于8,|AP^|=J(cosa—1)2+sin2a=—2cosa,

IAP^|==J2-2cos/?,因為a,3不一定相等，所以不一定相等，

5錯誤；

對于C,?OP；=cos(cr+S)；OP；?而2=cosacos,+sina(—sin/?)=cos(a+/?),C正確；

對于D,0A-OP；=cosa,OP；?OP；=cos/3cos(a+夕)+(—sin/?)sin(cr+￡)=cos(a+2￡),不一定相等，

0錯誤.

故選：AC.

練1一5.【解析】??,向量d=(l,?n),b=(2,1),/.2a+K=(4,2m+1),

vK?(2a+K)=7,K?(2a+K)=8+2m+1=7,解得m=-1.

故答案為：-L

練1_6.【解析】/(%)=m-n+2=2cos3%?(V3sina)x—costox)—1+2

=V3sin2tox—(1+cos2ax)+1=2sin(2a)%—富

???最小正周期為故3=2,則/(%)的解析式為/(%)=2sin(4%-9

故答案為：/(x)=2sin(4%-

例4.【解析】???向量五，3夾角為45。，且|砧=1,|24一3|=，IU.片+石2一41？3=

化為4+|3|2一引B|cos45。=10,化為—2/|看|-6=0,v|6|>0,解得|3|=3&.

故答案為：3版

練2-1.【解析】因為|五+3|2=百2+2]？石+片=50+2]？3=36,所以1？3=一7.

因為|反一方|2=a2-2a?b+b2=50+2x7=64，所以|五一3|=8.

故選：B.

練2-2.【解析】因為平面向量五、3、m兩兩的夾角相等，所以夾角為0?；?20。，

由題意知：\a\=1,\b\=2,|c|=3,

當夾角為0°時，2a-b=2\a\\b\=4,2b-c=2\b\\c\=12,2a-c=2\a\\c\=6,

貝i][五+3+3=J(a+b+c)2=^a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2a-c

=VI+4+9+4+12+6=6,故選項D正確；

當夾角為120。時，2a-b=2\a\\b\cosl200=-2,2b-c=2\b\\c\cosl200=-6,2a-c=2\a\\c\=-3,

貝”1+3+可=(a+b+c)2=Ja2+b2+c2+2a-b+2b-c+2a-c^Vl+4+9-2-6-3-V3;

故選項A正確.

10/14

故選：AD.

例5.【解析】???位一3)1(3五+2母，二@一母？(3五+2母=0,

即3/一292一方？9=0,即運？9=3五之一2^=-K2,cos<a,b>=粵r=備=—>即<五，b>=

3\a\\b\也才224

故選：A.

練2-3.【解析】根據(jù)題意，因為48=3,AD=2,AP=^AB,AQ^^AD,C

所以審?詼=(CF+BP)?(CD+DQ)=(DA-|^C)-(-0C+jol)

2>21>24>>

=-DC+-DA--DC1DA=12,

323

所以尻？萬1=-3,^\DC\\~DA\cos^.ADC=-3,BPcoszXDC=

又乙4DCe(0,兀)，所以4WC=y.

故答案選：C.

練2-4.【解析】???|日+石|=0+1)2=位一3)2?五？3=0,

又I方+司=告可，G+By=#？㈤=亨同，

(a+b)?a=a2+a-b—a2,

2

,一?二一、Ca+bYaaA/3

??.cos<a+b,a>=而麗=聲=不

故向量8+3與五的夾角為?

故答案選：D.

例6.【解析】v|a|=1,|K|=2,方與另的夾角為60。，.?.日?后=|方|?同?cos6()o=1

(3a+5b)1(m五一b)，

(3a+56)?(ma—b)=3m|a|2+(5m-3)-a-b-5同=3m+(5m—3)—20=0；?,.m=^.

故答案為：號.

o

練2-5.【解析】已知向量N與石的夾角是或且|初=1,向=4,貝I：a?b=|a||K|cos|=2,

已知：(3五+451五，貝U：(3a+/K)?a=0,即：3a2+2a?K=0,解得：Z=-|,

故選：X.

練2-6.【解析】???五+31與73-53垂直，

(a+3b)?(7a—5b)=7a2-15fo+16為？b=0①，

又1a—49與7萬一2后垂直，??.(a-4Z))?(7a—2h)=7a2+8Z)—30a?/?=0②,

由①②得隸=或=2乙？另，又由cos。=易得：cosB=g,則6=60。，

故答案為：60°??

例7.【解析】根據(jù)題意，直角三角形ABC中，乙4=90。，設(shè)4D為斜邊BC上的高,

又由AB=2,AC=4,貝必。=畀=若，

V4+165

連接尸4則圓4的半徑r=|對|=等，

則PB?PC=(PA+AB)?(PA+AC}=PA+PA?(AB+AC)=藍+PA?(AB+AC),

當同與(荏+前)同向時，同？(荏+而)取得最大值，

此時|而|=9，\AB+AC\^V4+16=2V5.

則而？(荏+前)的最大值為gx2花=8,故而？正的最大值為￡+8=?,

故選：D.

練3-1.【解析】如圖，以?B為坐標原點，？BC所在的直線為勿軸，

過點B且垂直與BC的直線為y軸，建立平面直角坐標系，I"

A___

因為AD〃8C,Z-B=pAB=2,AD=1,

所以。(2,8)，不妨設(shè)P(x,O),Q(x+l,0)(0<x<3),

則而?DQ=(x-2,-V3)?(x-1,-V3)[/]

28￡

=(x_2)(久_1)+3=_3x+5=(x_+—,

由二次函數(shù)性質(zhì)得當x=|時，麗？麗取得最小值?.

故選D

練3-2.【解析】由6(tan2+tanB)=2ctanB,得sinB償巴+刊藝)—2sinC■旦旦

\C0Si4cosB/cosB

整理得sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,

即sin(A+B)=2sinCcosA,

又sin(/+B)=sinC,

所以cosZ=i,

由荏？前=2,得荏？前=bccosA=2,所以be=4,

又前=式通+前)，

所以|而|二|J(AB+ZC)2=|V/?2+C2+2X2>|V2Z?c+4=苧二手，

當且僅當b=c時，等號成立，

所以|前|的最小值為手.

【素養(yǎng)提升】

例8.【解析】(1)由勾股定理知，AB=<AB2+AC2=10；

解法一(坐標法)：建立平面直角坐標系，如圖所示：

則4(0,0),B(0,8),C(6,0),BC的中點D(3,4),

所以而=(3,4),CB=(-6,8),

所以而？布=3x(-6)+4x8=14；

12/14

B

解法二(基向量法)：AD7CB^^(AB+XC)?(AB-AC)=|(AB2-Z?2)=|x(82-62)=14；

解法三(定義法)：

AD1~CB=2AD7CD=2X|而|X|加|Xcos2B=2X5X5x(2cos2B-1)=50X[2x(1)2-1]=14；

(2)由題意，點P在AC上，

解法一(極化恒等式)：而?正=(而+時：(而-兩2=帚_字=而2_25,所以當puis時，此時

\PB\=4,

而？正取到最小值，gp(PB?PC)m；n=-9；

解法二(坐標法)：設(shè)PQ,0),則方？同=(一/8)?(6-居0)=Q—3)2-9,所以而？正的最小值是一9；

(3)解法一(坐標法)：以AC,AB為x,y軸建立坐標系，則NB2C的角平分線方程為y=%,可以設(shè)P(a,a),

則24=mPB+nPC可以表示為(—a,—a)=m(—a,8—a)+n(6—a,—a)—(—am+6n—an,8m—am—

an),

所以(m+ri—l)a=8m=6n,m=|n,|同|=V2|a|=V2|/今|=V2|=：

n

當時，|曲|的取值范圍是住魚,8@.

解法二(幾何法)：由已知得(1-m-n)^A=mAB+nZC,

(1—m—n)PA?AB=mAB+nAC?AB口口((1—zn—n)PA?AB=64m①

則有，2，即j--?-->*

-m-n)PA?AC=mAC?AB+nACk(l-m-n)PA?AC=36n(

04日864m匚ur、i3匚rnAB+riAC3nAB+4nAC

由①+②得Z=萩，所以爪=%n,所以==

所以lM=l黑0胃,8兩.？

練4T.【解析】由題意可得AB=V32+32=3V2,

又因為通=3前，則8C=VL所以4C=4位,

取4C的中點M,則方+正=2后